江西省吉安市青原区2025届高三上学期第一次月考数学试题（含解析）

江西省吉安市青原区2025届高三上学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．16
6．函数在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在R上的奇函数满足：，且当时，（a为常数），则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
8．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数
B．在区间和上单调递增
C．在处取得极大值2
D．函数的值域是
11．函数与之间的关系非常密切，是高中阶段常见的函数，则关于函数、，以下说法正确的为（ ）
A．函数的极大值点为
B．函数在处的切线与函数在处的切线平行
C．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．数在上可导，若，则 .
13．函数的图像恒过定点，若点在直线上，且为正数，则的最小值为 ．
14．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)当时，的解集为，求.
16．已知是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
17．设函数的定义域是，且对任意的正实数、都有恒成立，已知，且时.
(1)求与的值；
(2)求证：对任意的正数、，；
(3)解不等式.
18．函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．
19．已知函数的最大值为，的图像关于轴对称.
(1)求实数，的值.
(2)设，则是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】先求集合，再利用交集概念求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．A
【分析】本题可依次判断“，”是否是“为递减数列”的充分条件以及必要条件，即可得出结果.
【详解】若等比数列满足、，则数列为递减数列，
故“，”是“为递减数列”的充分条件，
因为若等比数列满足、，则数列也是递减数列，
所以“，”不是“为递减数列”的必要条件，
综上所述，“，”是“为递减数列”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查等比数列以及递减数列的相关性质，体现了基础性和综合性，考查推理能力，是简单题.
3．D
【分析】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可.
【详解】因为，所以为奇函数；
又因为，所以关于直线对称；
由知的一个周期为.
因为当时，，所以在上单调递增，
函数的图象如图所示，
根据图象可知，若，则，，
解得，，
所以实数的取值范围是，.
故选：D．
4．C
【分析】利用导数的几何意义计算可得，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得.
【详解】，令，则，有，
即，即，
又为正实数，则，
当且仅当，即时，等号成立.，
故的取值范围是.
故选：C.
5．C
【分析】设，判定其零点再分类讨论去绝对值符号得出解析式，结合二次函数与一次函数的单调性分类讨论即可.
【详解】设，∴函数一定有两个零点，
设的两个零点为，则，
当时，在上为单调递减函数或常函数，不符合题意；
则，又有，故，∴在上单调递增，
要满足上单调递增，只需，可解得.
故选：C．
6．C
【分析】利用导数分别求解和时的单调性，再结合在上递增，可得，即可求解.
【详解】由题意，函数在上单调递增，当时，，依题需使恒成立，则；
当时，由在上递增，需使在上恒成立，则，即；
又由在上递增，可得，解得.
综上可得，的取值范围是.
故选：C.
7．C
【分析】根据在上的奇函数，求得其解析式，再根据，由的周期为6及对数运算求解.
【详解】因为在上的奇函数，所以，解得，
所以，
因为，所以的周期为6，
所以，
，
故选：C
8．A
【分析】根据函数定义域，将函数分类讨论，借助于求导判断函数单调性，判断极值点和图象趋势，作出函数的简图，将函数分解因式，根据零点定义，结合图象，确定有两个根，转化为有3个零点，由图即得参数范围.
【详解】函数的定义域为，
若时，由求导得，，
故当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，当时，；
若时，由求导得，，
因，故恒有，即在上单调递增，
且当时，，当时，，即时，恒有.
作出函数的大致图象如图所示.
又由可得或，
由图知有两个根，此时有2个零点；
要使函数恰有5个不同的零点，
需使有3个零点，由图知，需使，即，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数由函数的零点个数求参问题，属于难题.解题的关键在于将函数按照定义域分类讨论，通过求导作出函数的图象；第二个关键是，将函数的零点个数转化为两个函数的图象交点个数问题解决.
9．ABD
【分析】借助奇偶性的定义逐项判断即可得.
【详解】对于选项A：定义域，关于原点对称，，
所以为奇函数，故A正确；
对于选项B：定义域或，关于原点对称，
，
所以为奇函数，故B正确；
对于选项C：定义域，关于原点对称，，
所以为偶函数，故C错误；
对于选项D：定义域，关于原点对称，
，所以为奇函数，故D正确．
故选：ABD.
10．ABC
【分析】用奇偶性的定义来判断A选项；利用导数研究函数的单调性即可判断B选项；根据极大值概念求出极大值即可判断C选项；结合单调性求最大值和最小值，即可判断D选项.
【详解】因为对，故A正确；
对于B，，令可得或，令可得，
所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；
对于，由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，故正确；
对于，由可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，
所以无最大值，无最小值，如图，故D错误.

故选：ABC.
11．BCD
【分析】对于A：对求导，利用导数判定原函数的单调性和极值点；对于B：利用导数的几何意义即可判断；对于C：利用分析即可判断；对于D：结合已知条件可得，构造函数利用函数的单调性求解最值即可.
【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，且，
令，解得，单调递增；
令，解得，单调递减；
可知函数的极大值点为，故A错误；
对于选项B：由题意可知，，，，
因为，，
所以函数在处的切线为，函数在处的切线为，
所以两切线平行，故B正确；
对于选项C：令解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当，即时，显然有，
令，则，
令，则，
令解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即恒成立，所以在上单调递减，
又，所以当时，
所以当时，，即，
又因为，所以结合单调性可知方程仅有一个根，
结合图象可知，
因为，所以或，
令，则，
令解得，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，则无解，所以舍去，
同理可得，所以（即）或（与矛盾舍去），
所以，
又由即可得，所以，故C正确；
对于选项D：的定义域为，
根据对数函数的性质当时，，当时，，
所以时得，，
又，所以，，
令，则，由解得，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，，即的最小值为，D说法正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题关键点在于根据解析式找到和的关系，即，并由此进一步分析求解.
12．12
【分析】利用导数的定义计算代入可得结果.
【详解】根据导数定义可
.
故答案为：12
13．4
【详解】函数的图象恒过定点，，点在直线上，，，当且仅当时取等号，时，的最小值为，故答案为.
【易错点晴】本题主要考查指数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
14．
【分析】将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可.
【详解】由题意可知，则，
即，
又，
所以，则．
设，则，
所以在上单调递增，
所以，则，
所以，
所以．
设，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以的最大值为．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用等式同构函数，化简，同构函数；再利用导数分析单调性并求出最值.
15．(1)或
(2)
【分析】（1）根据得到方程，求出或；
（2）解分式不等式，求出解集.
【详解】（1），则，即，
解得：或.
（2）当时，，
等价于，
解得：，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数即可求出结果；
（2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果.
【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以，所以．
此时，经验证，，故．
（2）由（1）可知，
任取，
则，
因为，则，
所以
所以是上的增函数．
由恒成立，
得恒成立，
则，
所以恒成立，
因为，
所以．
实数的取值范围为：．
17．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用题中已知条件可求得与的值；
（2）推导出，再利用题中已知条件可证得结论成立；
（3）分析可知，在上为增函数，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围.
【详解】（1）解：对任意的正实数、都有恒成立，
所以，，则，
，可得，
，可得.
（2）证明：对任意的正实数、都有恒成立，
令，则，可得，
对任意的正数、，则，
所以，，
故.
（3）解：由，可得，
由（2）可知，函数在上为增函数.
所以，，解得或.
故原不等式的解集为.
18．(1)见解析；(2) 或
【分析】（1）先求得函数的导函数和定义域，对分成等种情况，分类讨论函数的单调性.（2）将分离常数化为，构造函数，利用导数求得的单调性和最值，由此求得的取值范围.
【详解】（1），
（i）当时，，令,得，令,得，
函数在上单调递增，上单调递减；
（ii）当时，令，得,
令,得，令,得，
函数在和上单调递增，上单调递减；
（iii）当时，，函数f(x)在上单调递增；
（iv）当时，
令,得，令,得
函数在和上单调递增，上单调递减；
综上所述：当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）当时，，由，得，
又，所以，要使方程在区间上有唯一实数解，
只需有唯一实数解，
令，∴，
由得；得，
∴在区间上是增函数，在区间上是减函数.
，，，故或
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19．(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】(1)利用导数求函数的最大值得b，由对称性得a作答.
(2)利用导数探讨单调性，结合给定值域建立方程组，构造函数并探讨其零点推理作答.
【详解】（1）依题意，，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
则当时，，解得，
又的图像关于轴对称，即，解得，
所以，.
（2）由(1)知，，即，求导得，
令，，则，即在上单调递增，
则有，有函数在上单调递增，
假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，
则有，于是得关于的方程在内存在两个不相等的实根，
即方程在内存在两个不相等的实根，
令，，则，
设，，则，
即函数在上单调递增，于是得，即，
从而得函数在上单调递增，因此，方程在内不存在两个不相等的实根，
所以不存在区间，使得函数在区间上的值域是.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，把双变量转化为一个变量问题求解，途径都是构造一元函数.
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