九年级上册数学22.2二次函数与一元二次方程同步练习（含解析）

九年级上册数学 22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．已知二次函数的图象如图所示，那么一元二次方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
3．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)

A． B． C．或 D．或
5．已知函数的图象上有两点和，则的值等于（　　）
A．22 B．20 C．17 D．0
6．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（　　）
A．或 B． C． D．无法确定
7．二次函数（是常数且）自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，对应的函数值，有以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③关于的方程有两个异号的实根，而且负实数根在和之间．其中正确的结论是（ ）
0 1 2
2 2
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
8．已知抛物线的图像与x轴分别交于点，，则关于x的方程的根为 ．
9．如果关于x的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则 .
10．二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，方程的解为 ；不等式的解集为 ．
11．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．

12．已知抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的值是 ．
三、解答题
13．已知，，取什么值时，与相等？
14．已知关于x的一元二次方程x2+x m=0．
(1)设方程的两根分别是x1，x2，若满足x1+x2=x1 x2，求m的值．
(2)二次函数y=x2+x m的部分图象如图所示，求m的值．
15．已知函数y＝x2＋(m－3)x＋1－2m（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
16．已知二次函数的图象和x轴有两个交点．
(1)求实数的取值范围；
(2)在（1）的前提下，取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．
(3)在（2）的条件下，若请直接写出的取值范围．
17．如图，已知抛物线，过点D（0，）的直线与抛物线交于点M、N，与轴交于点E，且点M、N关于点E对称，求直线MN的解析式．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质；
一元二次方程的根即为二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标，
结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
2．C
【分析】此题主要考查了二次函数图象的交点与一元二次方程的解的关系，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案．
【详解】解：∵，由函数图象可得：的图象与有两个交点，
∴关于x的方程即有两个不相等实数根，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为：，图象与x轴的一个交点坐标是，
∴根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点是，
∴关于x的一元二次方程的两个实数根是：，，
故选：A．
4．D
【分析】，令，则或，则点，二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，联立，消去整理得：，令，求得，结合图象即可求解．
【详解】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，
，令，则或，则点，
将点的坐标代入并解得：，
二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，
联立，消去整理得：，
，
解得：，
当或时，直线与这个新图象有三个交点，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象判断根的情况，数形结合是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．
由题意可得m，n是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可．
【详解】解：∵函数的图象上有两点和，
，
把代入得，，
∵函数的图象上有两点和，
∴m，n是方程的两个根，
，，
，
∴
．
故选：A．
6．A
【分析】由图象判断x=2是对称轴，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（﹣1，0），结合函数图象即可求解ax2+bx+c＜0．
【详解】由图象可知二次函数的对称轴是x=2，与x轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得：与x轴另一个交点是（﹣1，0），∴ax2+bx+c＜0的解集为x＞5或x＜﹣1．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式．能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点是，数形结合解不等式是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的根等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由表可知，当时，；当时，
对称轴为直线
和关于对称轴对称
①正确；
当时，对应的函数值
当时，
，即抛物线的开口向下
时随的增大而增大
时随的增大而增大
②正确；
当时，；当时，对应的函数值
抛物线与轴的一个交点在和之间
即方程有一个正根
对称轴为直线
抛物线与轴的另一个交点在和之间
即方程有一个负根
③正确；
故选：D．
8．，
【分析】根据的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），即可得．
【详解】解：∵的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴的根为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是理解题意．
9．
【分析】把代入得：，二次函数的图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等的实数解，从而得出，求出k的值即可．
【详解】解：把代入得：，
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数解，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是根据题意得出．
10． ， 或
【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．
【详解】∵抛物线的对称轴为，抛物线与x轴一个交点为（5，0）
∴抛物线与x轴另一个交点为（-1，0）
∴方程的解为：，
由图像可知，不等式的解集为：或．
故答案为：，；或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．
11．，
【分析】由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，根据对称性，可求，得解为或；
【详解】解：由图知，抛物线对称轴，与轴交于点，设另一个交点为，则，解得
∴的解为或；
故答案为：，
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
12．0或9/9或0
【分析】分过原点和不过原点两种情况，当过原点时可求得，当不过原点时，则可知抛物线与x轴只有一个交点，可求得a的值．
【详解】解：当过原点时，可得，满足条件；
当不过原点时，
∵抛物线与坐标轴有两个公共点，
∴抛物线与x轴只有一个公共点，
∴有两个相等的实数根，
∴，解得，
综上可知a的值为0或9，
故答案为：0或9．
【点睛】本题主要考查二次函数与方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的个数一致是解题的关键，注意分类讨论．
13．当为1或4时，与相等
【分析】本题考查了求一次函数与二次函数的交点问题,解一元二次方程，根据题意，列方程，按照因式分解法解一元二次方程即可得到答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，即，解得：，
当为1或4时，与相等．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据根与系数的关系求得x1+x2、x1 x2，然后代入列出方程，通过解方程来求m的值；
（2）把点（1，0）代入抛物线解析式，求得m的值．
【详解】（1）解：由题意得：x1+x2=-1，x1 x2=-m，
∴-1=-m．
∴m=1．
当m=1时，x2+x-1=0，
此时Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合题意．
∴m=1；
（2）解：图象可知：过点（1，0），
当x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得
12+1-m=0．
∴m=2．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，解题的关键是掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-，x1x2=．
15．（1）见解析；（2）(2，－1)
【分析】（1）令y＝0得到关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋1－2m＝0，然后用根的判别式即可解答．
（2）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点.
【详解】（1）证明：令y＝0，则x2＋(m－3)x＋1－2m＝0．
因为a＝1，b＝m－3，c＝1－2m，
所以b2－4ac＝(m－3)2－4(1－2m)＝m2＋2m＋5＝(m＋1)2＋4＞0．
所以方程有两个不相等的实数根．
所以不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．
（2）解：y＝x2＋(m－3)x＋1－2m＝(x－2)m＋x2－3x＋1．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以x－2＝0，解得x＝2．
当x＝2时，y＝－1．
所以该函数图像始终过定点（2，－1）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、二次函数图像与x轴的交点问题等知识点，掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系是解答本题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，二次函数的图象和性质：
（1）根据题意，得到，进行求解即可；
（2）求出的值，将一般式转化为顶点式，即可得出结果；
（2）根据增减性，求出函数值的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象和x轴有两个交点，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴的最大整数解为：2，
∴，
∴顶点坐标为：；
（3）∵，
∴对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴当时，值最小为：，
当时，值最大为：，
∴．
17．y=x.
【分析】设直线MN的解析式为y=kx（k≠0）．根据一元二次方程x2-4x+3=0的根求得点E的坐标．把点E的坐标代入求得k的值即可．
【详解】过点D(0，)的直线与抛物线交于M(xM,yM)、N(xN,yN)两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．
设直线MN的解析式为：y=kx，
则有：YM+YN=0,
由 ，
x2 4x+3=kx，
移项后合并同类项得x2 (k+4)x+=0，
∴xM+xN=4+k.
∴yM+yN=kxM+kxN=k(xM+xN) 5=0，
∴yM+yN=k(xM+xN)=5，
即k(k+4) 5=0，
∴k=1或k= 5.
当k= 5时,方程x2 (k+4)x+=0的判别式△<0，直线MN与抛物线无交点，
∴k=1，
∴直线MN的解析式为y=x.
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于把点E的坐标代入求得k的值.
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