九年级上册数学22.1二次函数的图象和性质同步卷（含解析）

九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质 同步卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是抛物线上的点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数y＝﹣（x+h）2，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，当x＝0时，y的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣9 C．1 D．9
6．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
8．函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
9．已知点，是抛物线上的两点，若，则 （填“”“”或“”）．
10．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）2＋a＋2，当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 ．抛物线与y轴交点为C，当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为 ．
11．若抛物线经过点，，抛物线在E，F之间的部分为图象（包括E，F两点）图象上点的纵坐标的最大值与最小值的差t为1时，m的值为 ．
12．已知二次函数，当时，的值随的值增大而增大，当时，的值随的值增大而减小，则实数的值为 ．
三、解答题
13．求二次函数的最小值．
14．已知二次函数
(1)将二次函数的解析式化为的形式．
(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
15．已知点是抛物线上的点，且点在第一象限内，求的值．
16．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（2，－5），与轴交于点A（0，3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当时，直接写出函数的取值范围．
17． 已知点A（－2，n）在抛物线上．
（1）若b＝1，c＝3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数的最小值是－4，请画出点P（，）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用二次函数的定义进行逐一判断即可：一般地，形如是常数，的函数叫做二次函数．
【详解】解：A、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
B、未知数的最高次不是2，该函数不符合二次函数的定义，故本选项不正确；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，，然后根据“开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值就越小”可进行求解
【详解】解：根据题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上．
∴，，，
∵，且开口向上，
∴；
故选B．
3．D
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式得到二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵点在二次函数的图象上，且，
∴，
故选D．
4．B
【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线：，
∵，
∴当时，函数值最大，
又∵到的距离比到的距离小，
∴，
故选：B．
5．B
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-3，进而可得h的值，从而可得函数解析式y=-（x-3）2，再把x=0代入函数解析式可得y的值．
【详解】解：由题意得：二次函数y=-（x+h）2的对称轴为x=-3，
故h=3，
把h=3代入二次函数y=-（x+h）2可得y=-（x+3）2，
当x=0时，y=-9，
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式y=a（x-h）2+k，对称轴为x=h．
6．B
【分析】先确定抛物线的开口方向，再判断它的增减性，即可求出答案．
【详解】解：二次函数为，
二次函数的对称轴为，
，
二次函数的开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的增减性．
7．B
【分析】根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当x=2时，位于x轴上方，
∴，故②正确；
若，当y=c时，x=-2或0，
根据二次函数对称性，
则或，故③正确；
当时，① ，
当时，② ，
①+②得：，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上：②③正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系．
8．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的顶点式，即可求解．
【详解】解：函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是．
故答案为：；
9．＜
【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当点，是抛物线上的两点，且，则；
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10． y＝x+2
【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标，再根据坐标特征可求得顶点所在直线的解析式；在抛物线解析式中令x＝0，可求得C点坐标，再由a的取值范围，可求得OC的取值范围，可求得C点经过的路径的长．
【详解】解：∵y＝﹣（x﹣a）2+a+2，
∴顶点坐标为（a，a+2），
∴当a取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y＝x+2；
在y＝﹣（x﹣a）2+a+2中，令x＝0可得y＝﹣a2+a+2，
∴OC＝﹣a2+a+2＝﹣（a﹣）2+，
∴OC是关于a的抛物线，开口向下，对称轴为a＝，
当﹣1≤a≤时，OC随a的增大而增大，当a＝﹣1时，OC＝0，当a＝时，OC＝，此时点C经过的路径长为；
当≤a≤2时，OC随a的增大而减小，当a＝时，OC＝，当a＝2时，OC＝0，此点C经过的路径长为；
∴当﹣1≤a≤2时，C点经过的路径长为+＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，解题关键是会求抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质求得点C经过的路径长．
11．或7
【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质，根据题意得出，，进而根据的取值范围，分四种情况讨论，根据题意列出方程，解方程，即可求解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴，，抛物线对称轴为轴，顶点为，即最小值为，
∵图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况：
如图，当，即时，的值随的值的增大而减小，
，，即，
解得：；
如图，当，即时，
，，即，
解得：（舍去）；
如图，当，即时，
，，即，
解得：（舍去）；
如图，当时，
，，即，
解得：；
综上所述，或，
故答案为：或．
12．1
【分析】根据题意确定二次函数的对称轴，得到以a为未知数的分式方程，解方程求得a的值即可.
【详解】解：∵，
∴其对称轴为x= ，
又当x>1时，y的值随x的值增大而增大，当x<1时，y的值随x的值增大而减小，
∴其对称轴为x=1，
∴=1，解得a=1，经检验a=1是分式方程的解.
故答案为1．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性，根据二次函数的增减性确定抛物线的对称轴为x=1是解决本题的关键．
13．－9
【分析】将二次函数解析式化成顶点式，即可得到其最小值．
【详解】解：∵，
∴二次函数的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握配方的方法，会将二次函数的一般形式化成顶点式是解题的关键．
14．(1)；
(2)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）根据二次函数的图象结合顶点式解决问题．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵中，，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【点睛】本题考查了配方法，二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
15．2
【分析】本题考查了抛物线与点的关系，代入解析式计算，结合第一象限的条件取舍即可．
【详解】∵点是抛物线上的点，
∴，
解得或
∵点在第一象限内，
∴．
16．（1）；（2）当时，
【分析】（1）由顶点坐标M（2，-5）可设二次函数解析式为，再将（0，3）代入解方程即可；
（2）先求解二次函数的最小值，再求解时的函数值，从而可得答案.
【详解】解：（1）由顶点坐标M（2，-5）可设二次函数解析式为
，
将（0，3）代入得
，
解得，.
∴抛物线对应二次函数的解析式为.
（2） 当时，
当时，函数取最小值
当时，
当时，
当时，.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握“利用数形结合求解二次函数值的范围”是解本题的关键.
17．（1）5；（2）作图见试题解析，理由见试题解析．
【分析】（1）代入b=1，c=3，以及A点的坐标即可求得n的值；
（2）根据题意求得抛物线的解析式为，从而求得点P（，）的纵坐标随横坐标变化的关系式为，然后利用5点式画出函数的图象即可．
【详解】（1）∵b=1，c=3，A（﹣2，n）在抛物线上，
∴n=4+（﹣2）×1+3=5；
（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），
∴抛物线的对称轴，
∵二次函数的最小值是﹣4，
∴抛物线的解析式为，令，
∴点P（，）的纵坐标随横坐标变化的关系式为，
点P（，）的纵坐标随横坐标变化的如图：
考点：1．二次函数的性质；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数的最值．
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