九年级上册数学21.3实际问题与一元二次方程同步练（含解析）

九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 同步练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使道路的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
3．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在宽为22m、长为30m的矩形地面上修建两条宽度相同的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要560m2，则修建的路宽应为( )
A．1m B．1.5m C．2 D．2.5m
6．为执行“两免一补”政策，某地区2024年投入教育经费2500万元，预计2026年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（ ）
A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元
二、填空题
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
9．如图，利用一面墙（墙的长度不限），要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地．应怎样设计篱笆的边长？设垂直于墙的边长为，则可列方程为 ．
10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为 ．
11．用一条长30cm的绳子围成一个面积为60cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为 ．
12．一个小球以速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动．小球滚动约用了 秒（结果保留小数点后一位）
三、解答题
13．台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
(2)按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
14． 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问：
(1)经过_____________________秒后，的面积等于？
(2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？
15．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）．
(1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？
(2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？
16．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料．
(1)当矩形花园的面积为300平方米时，求的长；
(2)能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）
17．2024年5月24日上午10点，巴南区何区长通过网络平台直播，化身带货达人，为巴南优质特色产品宣传推广.已知黑蜂土蜂蜜每盒60元，巴南银针绿茶每盒100元．统计显示，本次直播，共卖出黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶共计1000盒，黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶的总销售额为76000元.
（1）2024年5月24日何区长的直播，共卖出巴南银针绿茶多少盒？
（2）国庆节间，巴南茶厂为了回馈顾客，举行了线上半小时秒杀促销活动，巴南银针绿茶每盒降价，销量比5月24日区长直播时巴南银针绿茶的销量增加了，最终，该次秒杀活动巴南银针绿茶的销售额比5月24日区长直播时巴南银针绿茶的销售额多80a元，求a的值.
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数除以2．
关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可．
【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用．观察图形，根据题意“道路的面积为”列出方程即可．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：
，
故选：C．
3．A
【分析】设到会的人数为x，则每个人都需要与人握一次手，再根据两人之间的握手只算做一次列出方程即可．
【详解】解：设到会的人数为x，
由题意得，，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，由题意得出门的高为尺，宽为尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺，
根据题意得：．
故选：B．
5．C
【分析】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
【详解】设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：30×22﹣(22x+30x﹣x2)＝560，
解得：x1＝50(不合题意，舍去)，x2＝2．
故选：C．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意：矩形面积在减路的面积时，22x+30x中有一个小正方形的面积是重复计算的，所以要再减去x×x面积．
6．B
【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x），
∴可列方程为：2500（1+x）2=3600；
故选：B．
7．A
【分析】根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在结合销售利润不能超过50%，即可确定x的值．
【详解】解：根据题意得：（x﹣50）[80-2（x-60）]＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0．
解得：x1＝70，x2＝80．
当x＝70时，利润率＝×100%＝40%＜50%，符合题意；
当x＝80时，利润率＝×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去．
所以要获得1200元利润，每盒口罩的售价应定为70元．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程．
8．9
【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程．
【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去）．
∴．
故答案为：9．
9．
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据矩形场地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，垂直于墙的边长为，
∴平行于墙的边长为，
根据题意，可得．
故答案为：．
10．（40﹣x）（20+2x）＝1250
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得(40﹣x)(20+2x)＝1250
故答案：（40﹣x）（20+2x）＝1250
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11．x（15﹣x）＝60．
【分析】根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
【详解】解：设长方形的长为xcm，则宽为（15﹣x）cm，
根据面积为60cm2可得：x（15﹣x）＝60，
故答案为x（15﹣x）＝60．
【点睛】此题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．
12．1.2．
【分析】利用等量关系：速度时间=路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可．
【详解】由题意得：小球的平均滚动速度是，
设小球滚动5时约用了，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
故小球滚动用了1.2秒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，读懂题意是解题的关键．
13．(1)捐款增长率为
(2)第四天该单位能收到元捐款
【分析】（1）设捐款增长率为x，根据“第一天收到捐款元，第三天收到捐款元，第二天、第三天收到捐款的增长率相同”列方程，解方程即可得到答案；
（2）用第三天收到的捐款乘以即可得到答案．
【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
，
解得，（不合题意，舍去）；
答：捐款增长率为.
（2）第四天收到捐款为：
（元），
答：第四天该单位能收到元捐款．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
14．(1)2或4
(2)秒
【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果．
【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，，
由可得，
解得，；
答：经过2秒或4秒后，面积为．
（2）解：设秒后，，两点间距离是，
由勾股定理，得，即，
解得：（舍去）；
答：秒后，，两点间距离是．
15．(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元
(2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
（1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，
根据题意得，，
解得，
答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元．
（2）解：设每箱大果的售价应该降低元，
根据题意得，
即：
解得：，（舍）
∴，
答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元．
16．(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．
（1）设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”可列出方程求解，且根据题意得到，即可得到的长；
（2）根据题意可得方程，将其转化为一般形式，再利用根的判别式即可判断．
【详解】（1）解：设矩形花园，则，
则有，
解得：或，
墙最长可利用28米，
，
，
的长为；
（2）解：不能，理由如下：
根据题意则有，即，
，
不能围成500平方米的矩形花园．
17．（1）400盒；（2）a的值7.5．
【分析】（1）据“卖出黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶共计1000盒；黑蜂土蜂蜜和巴南银针绿茶的总销售额为76000元”两个等量关系，列二元一次方程组求解；
（2）在（1）的基础上依题意据“销售额=单价×销售量”，列方程求解．
【详解】（1）设直播当日，共卖出巴南银针绿茶x盒，黑蜂土蜂蜜y盒，由题意得
解之得
答：直播当日共卖出巴南银针绿茶400盒．
（2）依题意得方程
化简得
解之得（舍去），．
答：a的值7.5．
【点睛】此题考查列方程（组）解决实际问题．此类问题除了找相等关系外，一定要注意检验方程（组）的解符合应用题描述的实际情况．
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