九年级上册第二十四章圆单元卷（含解析）

九年级上册 第二十四章 圆 单元卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句中正确的有(　　)
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴：④三点确定一个圆．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是（不考虑缝隙等因素）（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，，，都是上的点，与交于点，过点且与相切的直线与的延长线交于点．，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，若AC＝2cm，则⊙O的半径为（ ）
A．1 cm B．2 cm C．cm D．4 cm
9．如图，是的切线，点A为切点，交于点B，，点C在上，．则等于（ ）

A．20° B．25° C．30° D．50°
二、填空题
10．若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为 ．
11．如图，正方形内接于，，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）

12．如图，是的弦，是上一动点，连接，，若的半径为5，，则点到距离的最大值为 ，面积的最大值为 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于 ．
14．如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ．
15．如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，如果，那么图中阴影部分的面积是
16．如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，，则的度数是 ．
17．如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
18．如图，内接于，为的直径．，，求的长．

19．已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R．
(1)若，，求：
①______（用R的代数式表示）；
②的半径长．
(2)求证：．
20．如图，是 的外接圆，且 过点 B作，垂足为点E， 延长交于点D， 连接， 并延长交于点F．
(1)写出图中一个与相等的角∶ ；
(2)求证∶
(3)若 ， 求的半径．
21．如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，且，过D作，垂足为F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
22．如图1，四边形内接于，E为延长线上一点，平分.

(1)求证：；
(2)若为等边三角形，则 度；（直接写答案）
(3)如图2，若为直径，过A点作于E，且，求的半径.
23．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径．
24．已知四边形ABCD是的内接四边形，AC是的直径，，垂足为．
(1)延长DE交于点，延长DC，FB交于点，如图．求证：是等腰三角形；
(2)过点B作，垂足为G，BG交DE于点，连接OH，且点和点A都在DE的左侧，如图．若，，
①求的半径；
②求的大小．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.
【详解】解：∵，
∴
故选：C
2．A
【分析】根据圆心角定理、垂径定理、圆的性质逐个判断即可．
【详解】①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，说法错误
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，说法正确
④不在同一条直线上的三点确定一个圆，说法错误
综上，正确的个数为1个
故选：A．
【点睛】本题考查了圆心角定理、垂径定理、圆的性质，熟记各定理与性质是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了求圆锥的侧面积；根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可：
【详解】灯罩的铁皮的面积是（）．
故选B．
4．D
【分析】根据直径所对圆周角为直角，结合可得，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案；
【详解】解：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
故选：D；
【点睛】本题考查直径所对圆周角为直角与圆内接四边形对角互补．
5．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
6．A
【分析】本题考查切线的定义、圆周角定理和平行线的判定与性质，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据切线的性质可得，由圆周角定理得，所以，所以，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：根据切线的性质可得，
，
，
，
，
，
故答案为：A
7．A
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案．
【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接，
则，，
∴四边形是正方形，
∴，
由切线长定理得：，
∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
∴，
即的周长是
，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】先证明四边形ADOE为正方形，且边长为1，对角线AO的长即为半径．
【详解】∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB．
同理AE＝CE＝AC．
∵AB＝AC，
∴AD＝AE．
连接OA，
∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，
∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，
∴ADOE为矩形．
又∵AD＝AE，∴ADOE为正方形，
∴OA＝＝（cm）．
故选C．
【点睛】考查垂径定理、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
9．B
【分析】连接OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，
∵是的切线，
∴∠PAO=90°，
∵，
∴∠POA=90°-∠P=80°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∵，
∴∠BOC=∠ABO=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=25°，
∵，
∴∠BAC=∠C=25°．

故选：B
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段或角的转化．
10．
【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式：是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
11．
【分析】用圆的面积减去正方形的面积除以4即可．
【详解】解：连接如图所示：

∵四边形为正方形，
∴，
∴为圆的直径，
∵,
∴，
∴，
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了的圆周角所对的弦为直径，阴影部分面积的计算，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理和圆周角定理，求出圆的直径，
12． 8 32
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，点到直线的距离，掌握垂径定理是解题的关键．
过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【详解】解：如解图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴点到距离的最大值为8，
∴面积的最大值为．
故答案为：8，32．
13．
【分析】根据题意连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理求出∠AOC的度数，再由垂径定理得出AD=AC，∠AOD=∠AOC，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，进而分析求解可得出结论．
【详解】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°．
∵OD⊥AC，OA=4，
∴AD=AC，∠AOD=∠AOC=60°，
∴AD=OA sin60°=，
∴AC=2AD=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理及直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
14．
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为
，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案
【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为，
外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，
∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)
[另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)]
；
故答案为∶．
15．
【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM=CM，∠COB=∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC=60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC=OD，
∴DM=CM，∠COB=∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB=∠OBD，
∴∠BOD=∠OBD，
∴OD=DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=60°，
∵DM=CM，
∴S△OBC=S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD=S△CBD，
∴S△OBC=S△DBC，
∴图中阴影部分的面积==2π，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键．
16．38
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与圆心角的关系，连接，由垂径定理得出，由弧与圆心角的关系得出，再由圆周角定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
∵是上的一条弦，直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．
设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果．
【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，，
∴，
∴以为直径作半圆时，圆心为点，
设弓形，连接，，即，如图：
∴为等边三角形，
∴，
故阴影部分面积为，
代入数值可得，
故答案为．
18．3
【分析】证明，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用，熟记直径所对的圆周角是直角是解本题的关键．
19．(1)①；②5
(2)见解析
【分析】（1）①利用减去即可表示；②连接，设的半径为．在中，根据，构建方程即可解决问题；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可．
【详解】（1）解：①设的半径为．
∴；
②连接．
，
，
在中，，
，
解得．
（2）证明：连接，
弦
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，以及圆内接四边形的性质，掌握相应定理，学会添加常用辅助线是解题的关键．
20．(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)的半径为
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质；
（1）根据圆周角可得；
（2）延长交于，根据垂径定理的推论可得，，即可由得到，进而得到，由三线合一即可得到
（3）连，由勾股定理求得，进而依次得到，，，再求出，最后在中利用勾股定理求半径即可．
【详解】（1）由圆周角可得：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）延长交于，
∵延长交于点F
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）连，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
中，，
∴
解得，
∴的半径为．
21．(1)详见解析
(2)的半径为5
【分析】（1）连接，由，，得到为的中位线，得到，根据，得到，即可得证；
（2）由直角三角形两锐角互余求出的度数，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再由，利用等边对等角求出，的度数，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出圆的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴，
∴，
则的半径为5．
【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
22．(1)见解析
(2)60
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义，再根据圆内接四边形的任一外角等于它的内对角以及圆周角定理证得，进而利用等腰三角形的判定可得结论；
（2）根据等边三角形的性质和圆内接四边形的任一外角等于它的内对角得到即可求解；
（3）先根据等弦对等弧和垂径定理的推论得到，，再证明四边形是矩形，得到，进而求得，在中利用勾股定理求得可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，又，
∴，
∴；
（2）解：∵为等边三角形，
∴,
又∵四边形是圆内接四边形，
∴，
故答案为：；
（3）解：在图2中，连接延长交于H，交于 K，

∵，
∴，则，
∴，，
∵为直径，
∴，又，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
∴的半径为．
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理的推论、圆内接四边形的性质、等弦对等弧、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识的联系与运用是解答的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；
（2）作于D，并延长交于C，则D为的中点，则，设这个圆形截面的半径为，在中，运用勾股定理求出x即可．
【详解】（1）如图所示；

（2）作于D，并延长交于C，则D为的中点，
∵，
∴．
设这个圆形截面的半径为，
又∵，
∴，
在中，
∵，即，
解得．
∴圆形截面的半径为．
【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键．
24．(1)见解析
(2)①1，②
【分析】（1）通过证明，再根据圆内接四边形对角互补以及邻补角互补即可得出结论；
（2）①先根据直径所对的圆周角为，以及，得出，，从而证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；②连接，根据等腰三角形的性质得出的度数，再根据三角形的外角定理求出的度数，最后根据同弧所对圆周角以及平行线的性质得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：①∵AC是的直径，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为1．
②连接，令、相交于点M；
∵的半径为1．
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
答案第1页，共2页
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