八年级上册第十三章轴对称单元卷（含解析）

八年级上册 第十三章 轴对称 单元卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在和中，与交于点E，，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，已知，点……在射线上，点……在射线上，……均为等边三角形，若 ，则的边长为（ ）
A．6 B． C． D．
5．如图，（和是对应角），，若，．当时，与之间的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点是延长线上一点，且，已知，，则的面积为（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
8．在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是），点在坐标平面内，以，，为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为，则满足条件的点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．27 C．16或27 D．21或27
10．如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．等腰三角形的两边长为和，则该三角形的周长为 ．
12．如图，在中，，点D在上，．若，则 ．

13．点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是 ，点关于轴对称的点的坐标是 ．
14．已知一个等腰三角的两个角度数分别是，，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ．
15．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
16．如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为 ．
17．如图，在第一个△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法依次进行下去，第2021个三角形中以A2021为顶点的内角的度数为 ．
18．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ．
三、解答题
19．以虚线为对称轴画出下列图形的另一半．
20．如图，为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作，DE与的外角平分线CE交于点E，连接AE，且．求证：是等边三角形．
21．已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=EC．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）FG=CG．
22．如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．
(1)使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；
(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，是______三角形；
(3)若，则的周长为______．
23．如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，连接．
(1)若，求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
24．中，，点P在BC边上运动（P不与B．C重合），连接AP，作，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当时，判断的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．
25．如图，在四边形中，．求的度数．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解本题的关键．
根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先根据得出，再结合，，得出，再利用全等三角形的性质判断即可．
【详解】解：，
，故D选项结论正确；
又，，
，
，，故A选项、C选项结论正确；
现有条件不能够得出，故B选项结论不正确；
故选B．
3．C
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由是等边三角形，可得，则，，，由，是等边三角形，同理可得，，，，…，进而可推导一般性规律为，的边长，然后求解作答即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，是等边三角形，
同理，，，，…
∴可推导一般性规律为，的边长，
∴的边长为，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，平行线的性质，熟练掌握相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据，，，可知，，结合和等腰三角形性质可得，，将展开为求解，即可解题．
【详解】解：（和是对应角），，
，，
，
，
，，
，
，
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可
【详解】解：如图，延长至点，使，连接．
因为，，
所以．
所以，．
因为，
所以．
又因为，
所以，
所以．
所以．
故选B．
7．A
【分析】过点A作于点E，根据，，得到，结合，得到，过点C作于点F，根据角的平分线的性质，得到，代入面积公式计算即可．
【详解】如图，过点A作于点E，
因为，，
所以，
因为，
所以，
过点C作于点F，
根据角的平分线的性质，得到，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，角的平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
8．D
【分析】本题应该分几种情况讨论，已知的边可能是底边，也可能是腰．当是底边时，则点可能位于的两侧，就有两个满足条件的三角形；当是腰时再分点是顶角顶点或点是顶角顶点，两种情况讨论．本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；正确地进行分类，要考虑到所有的可能情况是解题的关键．
【详解】解：(1)当是底边时，过作与成夹角的直线，这样的直线有条，再作的垂直平分线交前直线与点，点可能位于的两侧，就有两个满足条件的三角形即为，；
(2)当是腰时且点是顶角顶点时，点一定在经过点且与成角的直线上，这样的直线有两条，则以点为圆心为半径作弧，与两条直线有两个交点，则
可作出两个满足条件的三角形，此时点为，．同理当是腰时且点是顶角顶点时也有个满足条件的三角形，此时点为，．
因此满足条件的点共有个，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，三角形三边关系，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，分别计算即可．
【详解】解：①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，
周长；
②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，
，
∴不能组成三角形，综上所述，三角形的周长为27．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质，连接，由等边三角形的性质可得垂直平分，得出，进而得出，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，由是边的中点，得出，进而得出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，，
是等边三角形，是中线，
垂直平分，
，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，
是边的中点，
，
，
的最小值为，
故选：B．
11．10
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是，底边是时，，不能构成三角形，
②当底边是，腰长是时，能构成三角形，
则其周长，
所以，这个三角形的周长是．
故答案为：10．
12．70
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【详解】解：，
∴是的平分线，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：70．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13．
【分析】根据轴对称的性质，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，
点关于轴对称的点的坐标是，
关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，
点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为，．
【点睛】本题考查了坐标与轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
14．或或
【分析】和有可能是两个底角，即，也有可能是一个底角，一个顶角．因此分三种情况讨论，根据三角形内角和定理列方程求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质；分类讨论是正确解答本题的关键．
【详解】①当和是两个底角时，
，
解得，
则底角为，
顶角为：；
②当是顶角，是底角时，
，
解得，
则，
∴顶角为；
③当是顶角，是底角时，
，
解得，
则，
∴顶角为．
综上，这个等腰三角形的顶角的度数为或或，
故答案为：或或
15．/度
【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
16．2
【分析】过P作交于F，证明，再证明，得证，根据证明即可．
【详解】解：过P作交于F，如图所示：
∵，是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
17．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数．
【详解】解：∵在△ABA1中，∠B＝30°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝75°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝＝37.5°；
同理可得∠DA3A2＝18.75°，∠EA4A3＝9.375°，
∴∠An＝，
∴∠A2021＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
18．7.8
【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长．
【详解】解：过点作于，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：
19．见解析
【分析】此题考查了轴对称的知识，解答此题要明确轴对称的性质：
（1）对称轴是一条直线；
（2）垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
（3）在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等；
（4）在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份；
（5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
根据轴对称的性质，右侧和左侧对折后重合，进而画出图象即可．
【详解】解：如图所示：
20．见解析
【分析】根据题意证明可得，进而根据即可证明是等边三角形．
【详解】证明：是等边三角形
是的外角平分线
又
是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的应用，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
21．见解析
【分析】（1）首先利用等式的性质可得BC=EF，再有条件AC=DF可利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DFE，根据等腰三角形的性质即可得到结论
【详解】证明：（1）∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B=∠E=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴FG=CG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
22．(1)见解析
(2)垂直平分线；等腰
(3)8
【分析】（1）根据题意直接作图即可；
（2）根据（1）的作图过程可得DE垂直平分AB，由以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH，可得AF=AH，即可判定的形状；
（3）利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质可得AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC,最后根据三角形的周长公式解答即可．
【详解】（1）解：作图如下所示：
（2）解：由（1）的作图过程可知，DE垂直平分AB且AF=AH，即△AFH是等腰三角形．
故答案为：垂直平分线，等腰．
（3）解：由（1）基本作图方法得出：DE垂直平分AB
∴ AF＝BF，
∵AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4
∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8．
【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，运用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得到AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解答本题关键．
23．(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）先求出，再根据角平分的定义得出，再根据等角对等边得出，根据含30度的直角三角形的性质即可得出答案；
（2）根据三线合一得出， 再根据含30度的直角三角形的性质得出，进而可得出结论．
【详解】（1）解： ，，
，
平分，
，
，
，
；
（2）是等边三角形，
理由：，，
，
在中，，
，，
是等边三角形．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，掌握这些知识点是解题的关键．
24．（1）是直角三角形，理由见详解；（2）的形状可以是等腰三角形，的度数为60°或105°
【分析】（1）先由等腰三角形的性质得∠C=∠B=30°，则∠BAC=120°，再由平行线的性质得∠PAC=∠APQ=30°，进而求出∠BAP=90°，即可；
（2）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可．
【详解】（1）是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°，
∵，=30°，
∴∠PAC=∠APQ=30°，
∴∠BAP=120°-30°=90°，
∴是直角三角形；
（2）的形状可以是等腰三角形，理由如下：
①当QA=QP时，∠QAP=∠QPA=30°，
∴=∠QAP+∠QPA=60°，
②当PA=PQ时，∠PQA=，
∴=180°-75°=105°，
③当AQ=AP时，∠AQP=∠APQ=30°，
∴∠QAP=120°=∠BAC，即点P与点C重合，不符合题意，
综上所述，的度数为60°或105°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定定理，等腰三角形的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质定理以及分类讨论思想，是解题的关键．
25．
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质；
在四边形外取一点P，使且，连接，证明，，是等边三角形，进而即可求解
【详解】在四边形外取一点P，使且，连接，
在和中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即
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