高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第1章第03讲1.3集合的基本运算(学案+练习)

第03讲 1.3集合的基本运算
课程标准 学习目标
①理解并集、交集的概念，能进行交、并的混合运算. ②理解全集与补集的意义，能求在给定全集下任何子集的补集 1．能综合运用集合的运算性质，并能正确地进行交、并、补集的综合运算. 2． 理解集合运算的思想，能运用补集思想解题.
知识点01：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
【即学即练1】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．或 B．或
C． D．
知识点02：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
【即学即练2】（23-24高一下·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
知识点03：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【即学即练3】（浙江省县域教研联盟2023-2024学年高二下学期学业水平模拟考试数学试题）设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点04：德摩根律
(1)
(2)
知识点05：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
题型01交集的概念及运算
【典例1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024高一·全国·）已知集合，，则 ．
【变式1】（2024·辽宁·二模）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【变式3】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ．
题型02根据交集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【典例2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若且，求实数m的值．
【变式1】（23-24高三上·上海·阶段练习），或，且，则的取值范围是 .
【变式2】（2024届河南省新高考联盟5月联考模拟预测数学试题）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【变式3】（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
题型03并集的概念及运算
【典例1】（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2024·四川绵阳·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【变式2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则 .
题型04根据并集的运算结果求集合或参数
【典例1】（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【典例2】（2024高一·全国）已知集合，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式4】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知集合.
(1)若，求实数的值及集合；
(2)若且，求实数和满足的关系式.
题型05补集的概念及运算
【典例1】（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知集合，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型06根据补集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2024·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．．
(1)若，求实数m的取值范围：
(2)若，求实数m的取值范围．
【变式1】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 .
【变式2】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知集合，，求实数的值.
【变式3】（2024高一·全国·专题练习）已知全集；
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【变式4】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
题型07交集、并集、补集的混合运算
【典例1】（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．或
题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
【典例1】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【典例2】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，.
(1)求；
(2)若，且，求a的值；
(3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求m的取值范围.
【变式2】（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式3】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【变式4】（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）已知全集，集合.
(1)求；
(2)已知集合，若，求实数的取值范围.
题型09容斥原理
【典例1】（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人
【典例2】（多选）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
【变式1】（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位.
【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 .
【变式3】（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ．
题型10新定义题
【典例1】（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
(2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；
(3)设，证明A是数域.
【变式1】（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ．
【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性；
(2)若集合具有“包容”性，求的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．
【变式3】（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
题型11方法一（韦恩图的应用）
【典例1】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【典例2】（23-24高一上·浙江·课后作业）已知全集小于的正整数，，，且，，.
（1）求集合与；
（2）求（其中为实数集，为整数集）.
【变式1】（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下：
优秀 合格 合计
除草 15
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 .
【变式2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．

(1)求和；
(2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出．
【变式3】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）设全集，集合，或．

(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合，若，求a的取值范围．
14．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设全集为，集合．
(1)求及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
B能力提升
1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（23-24高一·全国·单元测试）设，，其中，如果，则实数的取值范围 .
4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空集合，.
(1)当时，求，；
(2)求能使成立的实数的取值范围.
满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
4．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
5．（23-24高三下·北京·开学考试）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”.
(1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；
(2)若集合为“满集”，求的值：
(3)若为满集，，求的最小值.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第03讲 1.3集合的基本运算
课程标准 学习目标
①理解并集、交集的概念，能进行交、并的混合运算. ②理解全集与补集的意义，能求在给定全集下任何子集的补集 1．能综合运用集合的运算性质，并能正确地进行交、并、补集的综合运算. 2． 理解集合运算的思想，能运用补集思想解题.
知识点01：并集
一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：.
并集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
【即学即练1】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可.
【详解】由题意知，，，
所以图中阴影部分表示或.
故选：A.
知识点02：交集
一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：.
交集的性质：,,,,.
高频性质：若.
图形语言
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
【即学即练2】（23-24高一下·云南保山·期中）已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据交集运算的定义求解即可.
【详解】因为集合A和集合B没有公共元素，故.
故选：D
知识点03：全集与补集
全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合.
补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即.
补集的性质： , , .
【即学即练3】（浙江省县域教研联盟2023-2024学年高二下学期学业水平模拟考试数学试题）设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
知识点04：德摩根律
(1)
(2)
知识点05：容斥原理
一般地，对任意两个有限集,
进一步的：
题型01交集的概念及运算
【典例1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
【典例2】（2024高一·全国·）已知集合，，则 ．
【答案】
【分析】先化简两个集合，再求这两个集合的交集即可.
【详解】提示：由，则是偶数，故；
再由，则是奇数且不小于，即，
故．
故答案为：.
【变式1】（2024·辽宁·二模）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据交集定义即可求解.
【详解】设，
因为，，
所以，故，故,
所以,所以.
故选：C.
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）已知集合，，，若，则的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题根据B、C两集合相等，则元素相同，然后分类讨论求出参数m，进而求出两个集合，再求集合A、B的交集，然后可求子集的个数.
【详解】由题意得，，又集合，
若，则，此时，
则，故子集个数为；
若，则，此时显然集合不成立，舍去；
若，，同理舍去.
综上得：时，子集个数为4个；
故选：B.
【变式3】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知集合，若为单元素集，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据为单元素集，所以，即可求解.
【详解】因为，且为单元素集，所以，
所以的最小值为．
故答案为：．
题型02根据交集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2024·辽宁·二模）已知集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据交集的结果，根据端点值的大小，列式求解.
【详解】因为，所以，则．
故答案为：．
【典例2】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若且，求实数m的值．
【答案】(1)
(2)或1
【分析】（1）根据集合的并集定义求解即可；
（2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑并验证即得.
【详解】（1）当时，，则；
（2）因为，，，且，
①当时，则，解得，
此时，此时，满足题意；
②当时，有，解得，
则，此时，不满足题意，舍去；
③当时，有，解得，
此时，，满足题意．
综上，实数m的值为或1．
【变式1】（23-24高三上·上海·阶段练习），或，且，则的取值范围是 .
【答案】或
【分析】根据条件及集合的运算，借助数轴，即可求出结果.
【详解】因为，或，且，
由图知或，得到或，
故答案为：或.
【变式2】（2024届河南省新高考联盟5月联考模拟预测数学试题）已知集合，，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
由于，且，则，
所以，则实数的取值范围是，
故答案为：
【变式3】（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）化简集合，根据补集、交集的运算求解；
（2）分类讨论，根据交集为空集列出不等式求解即可.
【详解】（1）当时，，，
所以，
所以.
（2）由（1）知，
当时，，解得，此时满足；
当时，由可得：或，
解得或,
综上，实数的取值范围为或.
题型03并集的概念及运算
【典例1】（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由并集的定义可得出答案.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
【典例2】（2024·四川绵阳·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义，即可求解.
【详解】由，可知，.
故选：D
【变式1】（23-24高三下·四川德阳·期末）已知集合，集合，则的子集个数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据并运算可得，即可根据子集个数公式求解.
【详解】,所以子集个数为，
故选：A
【变式2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则 .
【答案】．
【分析】根据并集的概念与运算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故答案为：
题型04根据并集的运算结果求集合或参数
【典例1】（多选）（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】ABD
【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可.
【详解】，
因为，所以，
当时，，
当时，，
则或，所以或，
综上所述，或或.
故选：ABD.
【典例2】（2024高一·全国）已知集合，
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或．
【分析】（1）因为，所以，将代入，求出即可得出答案；
（2）利用得到，分和四种情况讨论即可得出结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以将代入，整理得，
解得：或，
当时，，所以；
当时，，所以；
经检验，或都满足条件．
（2）因为由可得：
当时，，解得或；
当时，是方程的两个相等的根，
所以，所以，所以无解．
当时，是方程的两个相等的根，
所以，所以，所以无解．
当时，是方程的两个不相等的根，
所以，所以，所以无解．
综上：或．
【变式1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.
【详解】
因为或，，且，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：B．
【变式2】（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合并集定义可得，将中所有元素代入计算即可得.
【详解】由，则，
故有，解得，即.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知集合，，全集．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求解出，然后根据交集运算求解出结果；
（2）根据条件先判断出的关系，然后根据进行分类讨论，由此求解出的取值范围.
【详解】（1）当时，，或，
所以
（2）若，则，
①当时，；
②，则，.
综上所述，或．
【变式4】（23-24高一上·广东梅州·期末）已知集合.
(1)若，求实数的值及集合；
(2)若且，求实数和满足的关系式.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接将代入集合计算即可；
（2）求出集合中元素，代入集合计算即可.
【详解】（1）若，
则，
所以，
解得，
所以，
综上：，；
（2）若，则，此时，
又，所以，
即，
所以，
所以实数和满足的关系式为.
题型05补集的概念及运算
【典例1】（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知集合，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由并集和补集的运算得出即可.
【详解】由，所以，
故选：A．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义，即可求解.
【详解】由题意知.由，得.
故选：D.
【变式1】（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出全集，然后根据补集运算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：D
【变式2】（2024·四川凉山·三模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断出两个集合和之间的关系，再根据补集运算的定义求解即可．
【详解】因为集合或，，
所以，
故选：B．
题型06根据补集的运算结果求集合或参数
【典例1】（2024·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解.
【详解】由集合，，
因为，可得.
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．．
(1)若，求实数m的取值范围：
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可.
（2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可.
【详解】（1）时，知：
当时，得；
当时，或，
解得；
综上，∴的取值范围为或
（2）因为，所以，所以，
当时，得；
当时，解得；
综上可得，即m的取值范围是；
【变式1】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 .
【答案】
【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解.
【详解】由可得，由于，所以，所以，解得，
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知集合，，求实数的值.
【答案】
【分析】根据题意得或，再解方程求解即可.
【详解】解：由题意得：
①当时，解得：
代入检验，得，，满足条件
②当时，无解
综上所述，.
【变式3】（2024高一·全国·专题练习）已知全集；
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据已知条件可得，且，根据集合中元素的确定性列方程即可求解；
（2）根据，可得且，可得或，再结合元素互异性即可求解.
【详解】（1）因为，所以
因为，
所以或，
解得：或无解，所以，
（2）因为，，所以且，
所以或，
解得：或或，
当时，与集合中元素的互异性相矛盾，
所以或.
【变式4】（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知集合，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）化简得到和，代入计算得到答案.
（2）根据题意得到，计算得到或，再验证互异性得到答案.
【详解】（1）因为，，所以.
（2）因为，所以中有两个元素，即，所以，
解得或，由元素的互异性排除可得.
【点睛】本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.
题型07交集、并集、补集的混合运算
【典例1】（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】由题得：，，，
或，或，
所以，故A错误；
或，故B错误；
或，故C错误；
，故D正确；
故选：D.
【典例2】（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断.
【详解】图中阴影部分表示的集合为.
故选：D．
【变式1】（23-24高三下·天津·阶段练习）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求，再根据并集运算求解.
【详解】由题意可得：，所以.
故选：C.
【变式2】（2024·湖北·模拟预测）已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解.
【详解】由不等式，解得或，所以或，
又由，可得且，
又因为.
故选：B.
题型08根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数
【典例1】（23-24高二下·江西南昌·期中）设集合，，
(1)若，求，；
(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果；
（2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果.
【详解】（1）因为，所以，
又，所以或，
所以，．
（2）由（1）知或，又中只有一个整数，
由图知，，且，+
解得，所以实数m的取值范围是．
【典例2】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，.
(1)求；
(2)若，且，求a的值；
(3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.
【答案】(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）求出全集和集合A，根据补集的运算即可求得答案；
（2）根据元素和集合的关系即可求得答案；
（3）判断C中的元素个数，确定，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，，
故；
（2）由，且，可得若，则，不合题意；
若，则，又，故；
（3）由于，
集合，C的真子集共有3个，
则C中必有2个元素，故.
【变式1】（23-24高一上·北京·期中）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算；
（2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围．
【详解】（1）当时，，
因为，
所以；；
（2）因为，
所以或，
因为，所以，
因为，
所以或，
得或，
所以m的取值范围为或.
【变式2】（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由集合的交、并运算即可得解. （2）由得列出不等式组，求解即得.
【详解】（1）因为，所以，，
所以，
（2）由得，得解得，
所以，故实数的取值范围为
【变式3】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用交集的定义求解；
（2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果.
【详解】（1）集合，，，
则由交集的定义可知，且，解得.
（2）当，即时，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，或，
若，则，解得，
综上，实数的取值范围是.
【变式4】（23-24高一上·湖北恩施·阶段练习）已知全集，集合.
(1)求；
(2)已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集的定义即可得解；
（2）先求出，再根据列出不等式组即可得解.
【详解】（1）全集，集合，
∴；
（2）∵或，
又集合，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围是．
题型09容斥原理
【典例1】（23-24高一上·湖南张家界·期末）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ）
A．20人 B．17人 C．15人 D．12人
【答案】B
【分析】利用容斥原理可得.
【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合，
则参加田径运动的同学人数，
参加球类运动会的同学人数，
两次运动会都参赛的同学人数，
则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为
.
故选：B.
【典例2】（多选）（2024·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人
【答案】ABD
【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.
【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，
{是参加400米的同学}，
{是参加1500米的同学}，
则
且
则，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.
故选：ABD
【变式1】（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，则这100位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位.
【答案】70
【分析】由题意结合Venn图可知：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有10人，再计算即可得解．
【详解】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn图表示如图，
使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90位，使用过“扫码支付”的学生共有80位，
则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有人，
又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60位，
则使用过“共享单车”的学生人数为，
故答案为：70．

【变式2】（23-24高一上·北京·阶段练习）学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 .
【答案】 9 2
【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.
【详解】如图所示：
设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}，
依题意，，，
于是，解得，
所以只参加游泳比赛的人数为，
只参加田径比赛的人数.
故答案为：9，2
【变式3】（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为 ．
【答案】46
【分析】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，，利用容斥原理计算即可.
【详解】设喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别为，，
由题意可知，，，
则，
即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数为46，
故答案为：46
题型10新定义题
【典例1】（多选）（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．存在，使得
【答案】AB
【分析】集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可.
【详解】对于A,因为 ，所以，，
所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；
对于B，因为 ，所以，，
即与是相同的，所以，B正确；
对于C,因为 ，所以，，
所以，即C错误；
对于D由于
，
而，故，即D错误．
故选：AB．
【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）设非空数集M，对于M中的任意两个元素，如果满足：①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商（分母不为零）也属于M.定义：满足条件①②③的数集M为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足④的数环M为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）.
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）；
(2)若M是一个数环，证明：；若S是一个数域，证明：；
(3)设，证明A是数域.
【答案】(1)自然数集不是数环；整数集是数环，不是数域；有理数集、实数集、复数集是数环也是数域；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，由数环与数域的定义判断即可；
（2）根据题意，由数域的定义即可证明；
（3）根据题意，设，，，然后分别验证①②③④，即可证明.
【详解】（1）自然数集N不是数环，例如；
整数集Z是数环，不是数域，例如；
有理数集Q、实数集R、复数集C是数环也是数域.
（2）若，则，即；
若，，则，即
（3）设，则，，，
则，
因为，所以，，
所以，满足条件①.
，因为，
所以，，所以，满足条件②.
，因为，
所以，，所以，满足条件③.
，
因为，，所以，，
所以，满足条件④.
综上所述，A是数域.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解数环与数域的定义，并且应用.
【变式1】（23-24高三下·重庆·期中）已知集合，集合满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的差为 ．
【答案】
【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可.
【详解】因为满足:①每个集合都恰有4个元素；②，
所以一定各包含4个不同数值，
集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是12，11，9，
特征数的和最小，如：，特征数为13；
，特征数为11；，特征数为9；
则最小，最小值为；
当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时，
特征数的和最大，如：，特征数为13；
，特征数为15；，特征数为17；
则最大，最大值为，
故的最大值与最小值的差为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，利用子集知识求解即可.
【变式2】（2024·广西·模拟预测）已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合和集合是否具有“包容”性；
(2)若集合具有“包容”性，求的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．
【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性
(2)1
(3)，，，或．
【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；
（2）根据“包容”性的定义，能得到，分类讨论，得出a和b的值，即可得出结果；
（3）由集合C的子集有64个，推出集合C中共有6个元素，且，再由条件，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.
【详解】（1）（Ⅰ）集合中的，，
所以集合不具有“包容”性．
集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．
（2）（Ⅱ）已知集合具有“包容”性，记，则，
易得，从而必有，
不妨令，则，且，
则，
且，
①当时，若，得，此时具有包容性；
若，得，舍去；若，无解；
②当时，则，由且，可知b无解，
故．
综上，．
（3）（Ⅲ）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数，
不妨设，
其中，，，
根据题意，
且，
从而或．
①当时，，
并且由，得，由，得，
由上可得，并且，
综上可知；
②当时，同理可得．
综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个，
分别是，，，
或．
【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。此题中，确定出后，分类讨论满足定义的几种情况，就能顺利地完成.
【变式3】（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由．
(2)若．证明：A不可能具有性质．
(3)若且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)920
【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可；
（2）将分为个子集，结合抽屉原理证明结论；
（3）先证明连续个自然数中至多有个元素属于，由此可得集合A中元素个数不超过个，再举例说明存在含有个元素的满足要求的集合.
【详解】（1）因为，又，
但，所以集合不具有性质，
因为，又，
但，
所以集合具有性质.
（2）将集合中的元素分为如下个集合，
，
所以从集合中取个元素，则前个集合至少要选10个元素，
所以必有个元素取自前个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为，
所以A不可能具有性质.
（3）先说明连续11项中集合中最多选取5项，
以为例.
构造抽屉，，，，，，.
①同时选，因为具有性质和，
所以选5则不选；选6则不选；选7则不选；
则只剩. 故中属于集合的元素个数不超过5个.
②选2个，
若只选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则只能从中选，但不能同时选，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
若选，则不可选，又只能选一个元素，
可以选，故中属于集合的元素个数不超过5个.
③中只选1个，
又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，
故中属于集合的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合的元素至多只有5个，
如取.
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合的元素最多有个.
给出如下选取方法：从中选取；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.
此时集合的元素为：；；；；
，共个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
题型11方法一（韦恩图的应用）
【典例1】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【答案】BD
【分析】根据集合新定义判断A、B，应用韦恩图确定判断C，由求集合判断D.
【详解】A：由且，故，错误；
B：由且，则，故，正确；
C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，错误；
D：或，则或，正确.
故选：BD
【典例2】（23-24高一上·浙江·课后作业）已知全集小于的正整数，，，且，，.
（1）求集合与；
（2）求（其中为实数集，为整数集）.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）作出韦恩图，分析各集合中的元素，可求得集合与；
（2）利用交集、补集和并集的定义可求得集合.
【详解】（1）由，知，且，.
由，知、、且、、.
由，知、是集合与的公共元素.
因为，所以、.
画出图，如图所示.
由图可知，；
（2）由补集的定义可得，
由并集的定义可得.
【点睛】本题考查利用韦恩图求解集合，同时也考查了交集、并集和补集的混合运算，考查计算能力以及数形结合思想的应用，属于中等题.
【变式1】（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）某班45名同学全部参加除草和植树两项劳动，依据表现评定为优秀和合格两个等级，结果如下：
优秀 合格 合计
除草 15
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多为10人，则在两个项目中都优秀的同学最多为 .
【答案】15
【分析】设集合表示除草优秀的学生，集合表示植树优秀的学生，全班学生用集合表示，结合图求解即可.
【详解】设集合表示除草优秀的学生，集合表示植树优秀的学生，全班学生用集合表示，
则表示除草合格的学生，表示植树合格的学生，作出图，如图，
设两项劳动都优秀的人数为，两项劳动都合格的人数为，
由图可得，即，
因为，所以，
即两个项目中都优秀的同学最多为15.
故答案为：15.

【变式2】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，．

(1)求和；
(2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出．
【答案】(1)，；
(2)图见解析，
【分析】（1）利用数轴以及集合的交集、并集、补集运算法则即可求出结果；
（2）根据的定义即可标出阴影，并根据其意义求得.
【详解】（1）由得，即；
或，；
所以，；
（2）根据定义可知，集合如图中的阴影部分所示．

由于且，又，，
所以．
【变式3】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）设全集，集合，或．

(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合，若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解.
【详解】（1）因为，或，
所以，
则图中阴影部分表示．
（2）因为，或，且，
所以，，
所以当时，，解得，符合题意；
当时，或者，
此时不等式组无解，
不等式组的解集为，
综上，a的取值范围为．
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
1．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由列举法表示出集合M，然后直接利用交集运算求解.
【详解】根据题意，，
则.
故选：A
2．（23-24高二下·山东青岛·期中）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义与运算求出，结合交集的概念与运算即可求解.
【详解】由题意知，，又，
所以.
故选：A
3．（2024·云南昆明·三模）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.
【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.
故选：A.
4．（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集运算求出，然后利用数轴分析可得.
【详解】因为，所以或，
又，所以.
故选：A
5．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集
【答案】C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】集合中，，则，
即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；
集合，，
，
即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.
故选：C
6．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【详解】全集，由，知，则，A错误，B正确；
不能判断，也不能判断，CD错误.
故选：B
7．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据即可求解.
【详解】，
因为中只有2个元素，则，所以.
故选：B
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3
【答案】D
【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值.
【详解】因为方程的判别式，
所以，
根据题意得到集合，，
即，，
因为，所以，
所以或，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以或.
故选：D.
二、多选题
9．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，则下列结论正确的是（ ）
A．集合中有6个元素
B．
C．
D．的真子集个数是3
【答案】BCD
【分析】计算出集合后，结合集合性质逐个选项计算即可得.
【详解】由，且，故，
故集合中有5个元素，A错误；
，B正确；
，C正确；
，真子集个数是个，D正确.
故选：BCD.
10．（2024高三上·全国·竞赛）设全集为，设是两个集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由，逐项判断.
【详解】解：对而言，，所以；
因为，且，所以
因为，且，所以
.
故选：ABD
三、填空题
11．（2024·湖南岳阳·模拟预测）设集合，则 ．
【答案】
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】，
则.
故答案为：.
12．（23-24高一上·北京·期中）定义集合的“长度”是，其中a，R．已如集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 .
【答案】 /
【分析】空1：根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入得到，再根据区间长度大于，得到关于的不等式组，解出即可.
【详解】集合，，且M，N都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”为，
故集合的“长度”的最小值是；
若，，
要使集合的“长度”大于，故或
即或又，故.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.
四、解答题
13．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，或，全集.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，求实数b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，可得，解之即可；
（2）由，可得，列出不等式组，解之即可.
【详解】（1）因为，
所以，解得，
所以a的取值范围是；
（2），因为，所以，
所以，解得，
所以b的取值范围是．
14．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设全集为，集合．
(1)求及；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)
【分析】（1）根据并集，交集，补集的概念求出答案；
（2）根据并集结果得到集合包含关系，分和两种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】（1），
或，，
故或，
（2），
，
当集合时，，解得：；
当集合时，，解得：．
综上，实数的取值范围为．
B能力提升
1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的补集运算得到，把转化为，最后利用包含关系得到答案.
【详解】因为，，
因为，所以，
所以，
故选：A.
2．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，若有两个元素，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】先解出集合，结合有两个元素求解即可.
【详解】因为，
由于有两个元素，
则或，
解得或，
所以实数的取值范围是或.
故选：C.
3．（23-24高一·全国·单元测试）设，，其中，如果，则实数的取值范围 .
【答案】或
【分析】先求得，再根据讨论与两种情况即可
【详解】由中方程变形得：，
解得：或，即，，
由，其中，且，
分两种情况考虑：
若时，，即，满足题意；
若时，，即，
当时，，符合题意；
当时，,所以，解得，符合题意；
综上，的范围为或.
故答案为：或
4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空集合，.
(1)当时，求，；
(2)求能使成立的实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）当时，求得，，结合集合交集、并集的运算，即可求解；
（2）由得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）当时，集合，
，
由集合交集和并集的定义与运算，可得，.
（2）由非空集合，，
因为，可得，因为，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若全集，，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2);
(3)且且.
【分析】（1）由题设2是集合B的元素，代入方程求参数a，进而验证即可.
（2）由题设，讨论分别求a，最后取并；
（3）由题设，讨论、列不等式组求参数范围.
【详解】（1）由题设，又，故，
所以或，
当时，，满足题设；
当时，，满足题设；
综上，或.
（2）由，而，
若，则；
若，则，无解；
若，由（1）知；
若，则，无解；
综上，.
（3）由，则，
当，则；
当，则且且，
所以的取值范围为且且.
C新定义题型
1．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若，则{思想政治，历史，生物}；
②若，则{地理，物理，化学}；
③若{思想政治，物理，生物}，则；
④若，则{思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③
【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论
和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明.
【详解】对于①：，所以，所以，
又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确；
对于②：，即，
所以，所以必为偶数，又，
当时，，不符合，
所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误；
对于③：若{思想政治，物理，生物}，则，
所以，③正确；
对于④：当{物理，地理，历史}时，
，
满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误.
故选：①③
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做.
2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号）
①；②；③,则；④若，则．
【答案】①②③
【分析】利用本题已知中集合和元素的性质逐个分析即可.
【详解】对于①，若，则，因此，而对于时，无意义，不满足，故①正确；
对于②，若，则依次类推，对任意，所以，故②正确；
对于③，若，则，由②的解析过程可知，,，∴，故③正确；
对于④，由②解析过程可知，，取，则，故④错误；
故答案为：①②③
3．（2024·北京丰台·一模）已知集合（，），若存在数阵满足：
①；
②．
则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”．
(1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值；
(2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
(3)是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析
【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；
（2）可构造恰当的映射，以证明结论；
（3）第三问可通过分类讨论求解问题.
【详解】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，.
从而，，，.
（2）如果是一个“好数阵”，则，.
从而，.
故也是一个“好数阵”.
由于是偶数，故，从而.
这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下：
对，规定.
因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合.
而
，
这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应.
对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故.
同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当.
最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或.
由于，故无论是还是，都有.
这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.
（3）若是“好数阵”，则有
，
所以，这表明一定是偶数.
若，设是“好数阵”，则，从而，
故.
由于，故，同理.
若，设，则，故，从而.
进一步有，而，故.
假设，设，则，故，则，.
由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾；
所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，；
若，则，从而.
若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，.
若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；
若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有；
若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以.
对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，.
综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，，
其中，满足的有，，，.
综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，.
若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”.
【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.
4．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解；
（2）直接根据列不等式求解；
（3）先得到，再根据包含关系列不等式求解.
【详解】（1）若，则，
又，
所以，
解得；
（2）因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
（3）若，，
对，都有，则，
所以，该不等式无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
5．（23-24高三下·北京·开学考试）由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数
故集合对的总数为，
由这些集合对得到的的不同个数最多为，
这与集合为满集矛盾.
所以，取，
此时，
下证：为满集.
证明：考虑集合
设，则，
，
若，则，
否则，设与中从左到右第一个不对应相等的项的下标，
则，不妨设，
若，
则
，
而
，
故，与矛盾，
若， 同理可得，与矛盾，
若，
则
而
，
故，与矛盾，
故中的元素两两相异.
中的最小值为0，最大值为，
故.
（i）任意的，则，
因为，
故，
构造集合如下：若，则，若，则，
故.
（ii）若，故，
由（i）中分析可得存在集合，使得，
其中，令，则.
由（i）（ii）可得为满集，故的最小值为.
【点睛】方法点睛：与集合有关的最值问题，往往先估计出目标变量的范围，再通过特例验证等号成立，从而得到相应的组合最值，构建集合时注意利用进制数帮助构造.
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