高中(人教A版数学必修一册)精品同步讲义第1章第01讲1.1集合的概念(学案+练习)

第01讲 1.1集合的概念
课程标准 学习目标
1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性. 1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力. 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
知识点01：集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【即学即练1】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（ ）
①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；
③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点02：元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练2】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（ ）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
知识点03：集合的表示方法与分类
1常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
2集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练3】用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集.
（1）方程的解集；
（2）大于且小于的奇数构成的集合；
（3）不等式的解集；
（4）抛物线上的点构成的集合；
（5）方程的解集.
知识点04：集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，
题型01 判断元素能否构成集合
【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　）
A．接近0的数 B．数学成绩好的同学
C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员
【典例2】（23-24高一上·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（ ）
A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体
C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生
【变式1】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20的质数
B．的近似值
C．方程的实数根
D．函数的最小值
【变式2】（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（ ）
A．高中数学必修第一册课本中所有的难题
B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员
C．小于9的所有素数
D．高一年级视力比较好的同学
题型02 判断是否为同一集合
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确．
（1）集合与集合表示同一集合；( )
（2）集合与集合表示同一集合；( )
（3）集合与集合不表示同一集合；( )
（4）集合与集合表示同一集合．( )
【典例2】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（ ）
①；
②；
③；
④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【变式3】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 判断元素与集合的关系
【典例1】（多选）（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，．
(1)设，，，试判断，与A之间的关系；
(2)任取，试判断，与A之间的关系．
【变式1】（2024·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型04 根据元素与集合的关系求参数
【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 .
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其它所有元素；
(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，求的值 .
题型05 根据集合元素互异性求参数
【典例1】（多选）（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C．6 D．2
【典例2】（23-24高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
【变式1】（2024高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式2】（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）若，则 .
题型06 列举法
【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 .
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）集合用列举法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ．
【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合．
（1）不超过11的所有素数组成的集合： ；
（2）： ．
题型07 描述法
【典例1】（23-24高一上·甘肃定西·开学考试）解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)方程的解集；
(2)；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(4)不等式的解集．
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解集；
(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
(3)二次函数图象上的点组成的集合．
(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；
(5)集合.
(6)所有被3整除的整数组成的集合；
(7)方程的所有实数解组成的集合.
【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数图象上的所有点组成的集合.
题型08两个集合相等问题
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【典例2】（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是 ．
【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 .
【变式2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）设全集，集合，，且，则实数 ．
题型09 根据集合中元素的个数求参数
【典例1】（多选）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合．
(1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来；
(2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围．
【变式1】（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 .（用集合表示）
【变式2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合.
【变式3】（23-24高一上·广西贺州·阶段练习）已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
题型10 常见数集或数集关系的应用
【典例1】（23-24高二下·河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
①是空集；②集合有两个元素；
③若，则；④集合是有限集.
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型11 新定义题
【典例1】（多选）（23-24高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记，证明：是数域；
(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．
【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
【变式2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ．
5．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．0或1
7．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
三、填空题
11．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ．
12．（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ．
四、解答题
13．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，．
(1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由；
(2)判断是否在集合B中，并说明理由；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知集合M为非空数集，且同时满足下列条件：
（i）；
（ii）对任意的，任意的，都有；
（iii）对任意的且，都有．
给出下列四个结论：
①；②；③对任意的x，，都有；④对任意的x，，都有．
其中正确的结论有 个．
3．（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且．
(1)若，直接写出以及的值．
(2)若，求的取值范围．
4．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”.
(1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）；
(2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
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第01讲 1.1集合的概念
课程标准 学习目标
1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性. 1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力. 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
知识点01：集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【即学即练1】（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（ ）
①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；
③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据集合的定义判断即可.
【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；
对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；
对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；
对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；
故选：B
知识点02：元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练2】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（ ）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解.
【详解】由元素和集合关系可知：或或，
解的或或，
由集合的性质可知，当时，不满足互异性，
所以的取值为或.
故选：C.
知识点03：集合的表示方法与分类
1常用数集及其符号
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
数学符合 或
2集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练3】用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集.
（1）方程的解集；
（2）大于且小于的奇数构成的集合；
（3）不等式的解集；
（4）抛物线上的点构成的集合；
（5）方程的解集.
【答案】答案见详解
【分析】由各集合的描述求集合，根据无限集合的定义是否可枚举出所有的元素，确定集合是否为无限集合
【详解】（1）用列举法表示为，用描述法表示为，集合中有个元素，是有限集；
（2）用列举法表示为，用描述法表示为且，
集合中有个元素，是有限集；
（3）用描述法表示为，集合中有无数个元素，是无限集；
（4）用描述法表示为，抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集；
（5）方程无实数解，故该方程的解集为，是有限集.
【点睛】本题考查了集合的概念，先根据集合描述求集合，由无限集合的概念判断是否为无限集合
知识点04：集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，
题型01 判断元素能否构成集合
【典例1】（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　）
A．接近0的数 B．数学成绩好的同学
C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员
【答案】C
【分析】根据集合的确定性逐项分析判断.
【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误；
对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确.
故选：C.
【典例2】（23-24高一上·河北·阶段练习）下列对象能构成集合的是（ ）
A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体
C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生
【答案】C
【分析】根据集合的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合；
对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合；
对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合；
对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合.
故选：C.
【变式1】（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20的质数
B．的近似值
C．方程的实数根
D．函数的最小值
【答案】B
【分析】根据集合中元素的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，不超过 20的质数是明确可知的，满足确定性，可以组成集合；
对于B，的近似值是不明确的，不满足确定性，不可以组成集合；
对于C，方程的实数根是明确的，满足确定性，可以组成集合；
对于D，函数不存在最小值，可以组成空集；
故选：B
【变式2】（多选）（23-24高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（ ）
A．高中数学必修第一册课本中所有的难题
B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员
C．小于9的所有素数
D．高一年级视力比较好的同学
【答案】BC
【详解】根据集合的知识确定正确答案.
【分析】A选项，“难题”无法确定，所以不能组成集合.
B选项，“2023年参加杭州亚运会的全体运动员”可以组成集合.
C选项，“小于9的所有素数” 是“”，可以组成集合.
D选项，“视力比较好”无法确定，所以不能组成集合.
故选：BC
题型02 判断是否为同一集合
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确．
（1）集合与集合表示同一集合；( )
（2）集合与集合表示同一集合；( )
（3）集合与集合不表示同一集合；( )
（4）集合与集合表示同一集合．( )
【答案】 正确 错误 错误 错误
【分析】（1）根据集合元素的无序性可知两个集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合.
【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确；
（2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误；
（3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误；
（4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误；
故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.
【典例2】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（ ）
①；
②；
③；
④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可.
【详解】因为，所以①正确；
因为，，所以②不正确；
因为，，故③正确；
，故④错误.
故选：C
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可.
【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误；
选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确；
选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误；
选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误.
故选：B
【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【答案】AD
【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误.
【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有，
故A正确.
对于B，不是空集，故B错误.
对于C，，而，
故两个集合不是同一个集合，故C错误.
对于D，，故D正确.
故选：AD.
【变式3】（多选）（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系.
【详解】点在函数图像上，有，A选项正确；
集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误；
函数的值域为，则，，C选项正确；
集合B为点集，，D选项错误.
故选：AC.
题型03 判断元素与集合的关系
【典例1】（多选）（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【分析】
根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A是由元素x组成的，其中，m，．
(1)设，，，试判断，与A之间的关系；
(2)任取，试判断，与A之间的关系．
【答案】(1)，，．
(2)，．
【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可；
（2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可.
【详解】（1）∵，∴．
∵,∴．
∵，∴．
综上，，，．
（2）
任取，设，，
则，
其中，，∴．
∵，
其中，，∴．
综上，，．
【变式1】（2024·河南驻马店·一模）已知集合，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由方程，解得或，所以，
所以，，.
故选：A.
【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论.
【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4；
当中只有一个负数两个正数，代数值为0；
当中只有一个正数两个负数，代数值为0；
当都为负数，代数值为.
故选：CD
题型04 根据元素与集合的关系求参数
【典例1】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知关于x的不等式的解集为M，且，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系即可求解.
【详解】由且，得所以.
故答案为：
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．
(1)若，求出中其它所有元素；
(2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？
(3)根据（1）（2），你能得出什么结论．
【答案】(1)，，2.
(2)不是；当时，A中的元素是3，，，．
(3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解.
（2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可.
（3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可.
【详解】（1）由题意，可知，
则，，，，
所以A中其他所有元素为，，2．
（2）假设，则，
而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A中的元素．
取，则，，，，
所以当时，A中的元素是3，，，．
（3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
由（2）知0，，
若，则，与矛盾，
则有，即，0，1都不在集合A中．
若实数，则，，
，．
结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，．
显然，否则，即，无实数解．
同理，，即A中有4个元素．
所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
【答案】B
【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素的互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，求的值 .
【答案】或
【分析】根据集合元素的性质分情况讨论即可.
【详解】因为，所以或，解得或，
当时，，满足集合元素的互异性，所以符合题意；
当时，，也满足集合元素的互异性，所以也符合题意.
综上，的值为或，
故答案为：或
题型05 根据集合元素互异性求参数
【典例1】（多选）（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C．6 D．2
【答案】AC
【分析】由集合中元素的互异性列式即可求得结果.
【详解】由题意知，，解得且且，
故选：AC.
【典例2】（23-24高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
【答案】或
【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.
【详解】由方程，则或，
当存在两个相等的实数根时，，解得，
此时方程的解为，符合题意；
当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，
此时，则方程另一个解为，符合题意.
综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.
故答案为：或.
【变式1】（2024高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.
【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2，
因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3，
故，即，即a可取2，
即A，B，C错误，D正确，
故选：D
【变式2】（23-24高一上·山西吕梁·阶段练习）若，则 .
【答案】
【分析】结合元素与集合的关系，利用集合的互异性分类讨论即可求解.
【详解】若，则，此时，，不合题意，舍去；
若，则或，因为不合题意，舍去.
故.
故答案为：.
题型06 列举法
【典例1】（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 .
【答案】
【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可.
【详解】由可知为的约数，所以，
因为，所以，此时，
集合为.
故答案为：.
【典例2】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
(4)．
(5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可.
【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为；
（2）
（3）
（4）
（5）由题意，
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋；
当时，＋，
故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为.
【变式1】（23-24高一上·新疆·阶段练习）集合用列举法可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据集合描述列举出集合元素即可.
【详解】由.
故选：B
【变式2】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）用列举法表示集合可以是 ．
【答案】
【分析】根据限制条件写出集合的元素即可.
【详解】.
故答案为：.
【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合．
（1）不超过11的所有素数组成的集合： ；
（2）： ．
【答案】
【分析】根据集合的概念直接求解即可.
【详解】（1）由题设，符合条件的所有素数组成的集合为．
（2）由题设，且，
则时，；时，；
时，；时，；时，．
所以集合为．
故答案为：，
题型07 描述法
【典例1】（23-24高一上·甘肃定西·开学考试）解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，从而确定不等式组的解集.
【详解】由即得，
由得，得，
在数轴上表示如下，
所以解不等式得，所以不等式的解集为.
【典例2】2．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合：
(1)方程的解集；
(2)；
(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(4)不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据描述法及列举法的定义结合题意即可得出答案.
【详解】（1）由得，，解得，，
所以集合为；
（2）由，得x为，，0，1，2，
当或时，；
当或时，；
当时，．
所以集合为；
（3）；
（4）解不等式得，
所以不等式的解集可表示为．
【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合：
(1)不等式的解集；
(2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
(3)二次函数图象上的点组成的集合．
(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；
(5)集合.
(6)所有被3整除的整数组成的集合；
(7)方程的所有实数解组成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
【分析】用描述法表示各集合.
【详解】（1）不等式的解集用描述法表示为.
（2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为.
（3）集合用描述法表示为.
（4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为.
（5）集合用描述法表示为.
（6）集合用描述法表示为.
（7）方程的解集用描述法表示为.
【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合.
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
(3)二次函数图象上的所有点组成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】直接用描述法得到答案.
【详解】（1）设方程的实数根为，并且满足条件，
用描述法表示为.
（2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且，
故用描述法表示为.
（3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为.
题型08两个集合相等问题
【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【答案】
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若，则或，
检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以，则，
所以，则，
故.
故答案为：.
【典例2】（23-24高三上·甘肃定西·阶段练习）已知集合， 若， 则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分，和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：分以下两种情况讨论，
当且，时，不妨设两个方程的实数根为，
则，解得；
当时，，解得．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：
【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 .
【答案】0
【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．
【详解】由题意可知：，
因为，则，可得，
则，可得，且满足，
所以.
故答案为：0.
【变式2】（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）设全集，集合，，且，则实数 ．
【答案】3或-1/-1或3
【分析】根据集合相等得到，解出m即可得到答案.
【详解】由题意，或m=-1.
故答案为：3或-1.
题型09 根据集合中元素的个数求参数
【典例1】（多选）（23-24高一上·福建·期中）集合只有一个元素，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】分类讨论：，然后求解出的取值即可.
【详解】当时，，满足条件；
当时，若中仅有一个元素，则，此时，
若，则，满足，
若，则，满足，
故选：ABD.
【典例2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合．
(1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来；
(2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）分和两种情况讨论即可；
（2）分集合中没有元素和只有一个元素两种情况讨论即可.
【详解】（1）当时，，解得，此时中仅有一个元素，符合题意，
当时，，解得，此时方程为，
即，此时集合中仅有一个元素．
综上可知，时，集合中只有一个元素，
时，集合A中只有一个元素．
（2）若集合中没有元素，即，则，解得，
结合（1）知，当或时，
集合中至多只有一个元素．
因此实数的取值范围是或.
【变式1】（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 .（用集合表示）
【答案】
【分析】根据题意，分与讨论，即可得到结果.
【详解】当时，方程为有实数解，符合题意；
当时，由，解得；
则实数的取值范围是.
故答案为：
【变式2】（23-24高一上·湖北襄阳·期中）已知集合
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中只有一个元素，求的值，并求集合.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可；
（2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论.
【详解】（1）因为是空集，所以，即解得，
所以的取值范围为.
（2）当时，集合，符合题意；
当时，即，解得，此时集合，
综上所述，的值为或，
当时，集合，当时，集合.
【变式3】（23-24高一上·广西贺州·阶段练习）已知集合，a为实数.
(1)若集合A是空集，求实数a的取值范围；
(2)若集合A是单元素集，求实数a的值；
(3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)或.
(3)且
【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解；
（2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程；
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解.
【详解】（1）若集合是空集，则，
解得.故实数的取值范围为.
（2）若集合是单元素集，则
①当时，即时，，满足题意；
②当，即时，，解得，
此时.
综上所述，或.
（3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素.
当中有0个元素时，由(1)知；
当中有2个元素时，解得且.
综上所述，实数的取值范围为且.
题型10 常见数集或数集关系的应用
【典例1】（23-24高二下·河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
①是空集；②集合有两个元素；
③若，则；④集合是有限集.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系判断．
【详解】对于①，{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
对于②，解，得，所以，因此集合只有一个元素，不正确；
对于③，当时，且，不正确；
对于④，集合是有限集，正确.
故选：B.
【典例2】（23-24高一上·湖北孝感·阶段练习）下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据实数集、有理数集、正整数集、自然数集的字母表示的符号逐一判断即可.
【详解】，所以①正确；，所以②正确；，所以③错误；，所以④错误；，所以⑤正确.
故选：C
【变式1】（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断即可.
【详解】1是自然数，故，故①正确；
不是正整数，故，故②错误；
是有理数，故，故③正确；
是实数，故，故④错误；
是无理数，故，故⑤错误.
故说法正确的有2个.
故选:B.
题型11 新定义题
【典例1】（多选）（23-24高一上·江苏宿迁·期中）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据集合聚点的定义，逐一分析每个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，从而得到答案.
【详解】对于集合，对任意的，都存在，使得，
所以0是集合的聚点，A选项正确；
对于集合，对于某个实数，比如，
此时对任意的，都有，
也就是说不可能，从而0不是集合的聚点，B选项错误；
对于集合，对任意的，都存在，即，
使，所以0是集合的聚点，C选项正确；
对于集合，，随着n增大而增大，
的最小值为，故当时，即不存在x，使得，D选项错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域．
(1)求元素个数最小的数环；
(2)证明：记，证明：是数域；
(3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)不一定是数域，证明见详解
【分析】（1）根据题意分析可知中至少有一个元素，分和两种情况，结合题意分析证明；
（2）根据题中数环和数域的定义分析证明；
（3）举特例，取，举例数列即可.
【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，
若，则，可知为数环；
若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；
综上所述：元素个数最小的数环为.
（2）设，可知，则有：
，
，
，
因为，则，
可知，所以是数环；
若，可知，满足①；
若，则，
因为，则，
可知，满足②；
综上所述：是数域.
（3）不一定是数域，理由如下：
1.若，显然均为数域，且是数域；
2.设，可知，则有：
，
，
，
因为，则，
可知，所以是数环；
若，可知，满足①；
若，则，
因为，则，
可知，满足②；
综上所述：是数域.
例如：，例如，
但，
所以不是数域；
综上所述：不一定是数域.
【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略：
1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
【变式1】（23-24高一上·上海·期末）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中正整数、且）或（其中正整数、且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，，再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若，则当且仅当其中且，或其中且，
且集合是由某些正整数组成的集合，
所以，，
因为，满足其中且，所以，
因为，且，，所以，
因为，，，所以，故①对；
下面讨论元素与集合的关系，
当时，；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；
当时，，，，所以；依次类推，
当时，，，，
所以，则，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断，，，，再根据集合的定义求解.
【变式2】（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知有限集合，定义集合中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 ．
【答案】
【分析】第一问：由所给定义得到集合，从而得到；第二问：由集合中元素确定集合中元素的最大值和最小值，从而得出的表达式，解方程可得．
【详解】第一问：因为，所以，
所以，
第二问：因为，
易知集合中任意两个元素的和最小值是，最大值是，
且对任意，，都存在，，使得，
所以，由，解得．
故答案为：；
【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则.
(1)判断是否正确，说明理由；
(2)证明：若，则.
【答案】(1)正确，理由见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由①②得，进而可得，根据③即可证结论；
（2）若结合②③得，即可得，再由可得，进而确定即可证结论.
【详解】（1）由，由②知：，
由③知：；
（2）先证：若，则，
由②知：若，且，又，则；
由③知：，则，
所以，
综上，，
再证：若则，
由，则，
所以，
，由③知：，
，
.
方法1分类讨论法
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）用集合表示关于的方程的根组成的集合．
（1）若集合是空集，求实数的取值范围；
（2）若集合中仅有一个元素，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或1．
【分析】（1）集合是空集，转化为关于的方程无解，列出不等式组，求解即可；
（2）分，两种情况讨论，当时，即，即得解
【详解】（1）若集合是空集，则关于的方程无解，
则有
即．
（2）当时，原方程变为，
所以，此时集合中仅有一个元素2．
当时，要使一元二次方程有两个相等的实根，
需要，即．
此时方程的解为，集合中仅有一个元素4．
综上所述，或1．
【典例2】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合．问是否存在，使
（1）中只有一个元素；
（2）中至多有一个元素；
（3）中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．
【答案】（1）存在，或；（2）存在，或；（3）存在，.
【解析】（1）考虑和两种情况，计算得到答案.
（2）考虑或中只有一个元素，计算得到答案.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，考虑方程有一个解或者方程有两个解的情况，计算得到答案.
【详解】（1）当时，方程只有一解，即；
当，且，即时，方程有两个相等的根，中只有一个元素.
综上所述：当或时，中只有一个元素.
（2）中至多有一个元素，即或中只有一个元素.
由（1）可知或时中只有一个元素，
而，即时方程无解，为空集，
综上所述：当或时，中至多有一个元素.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，
时，，即，其中时，方程有两个相等的根，，.
若，方程有两个不相等的根，，，此时.
时，方程有根，.
综上所述：时，中至少有一个元素.
【点睛】本题考查了根据集合中元素的个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）已知集合，求：
(1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围；
(2)当满足什么条件时，集合为空集．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）当时，为一次方程，符合题意，当时，则可求得结果，
（2）当，时，方程无解，当时，则可得答案.
【详解】（1）由题意得，方程可化为，
①当时，方程可化为，得，
所以，符合题意，
②当时，
因为中至多只有一个元素，
所以，解得，
综上所述，的取值范围为或；
（2）①当时，方程可化为，
因为为空集，所以，
②当时，
因为为空集，所以，
综上所述，当或时，集合为空集
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解；
【详解】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
A夯实基础 B能力提升 C新定义题型
A夯实基础
一、单选题
1．（22-23高一上·四川凉山·期中）下列关系中，正确的有（ ）．
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断.
【详解】对于①：因为为实数集，所以，正确；
对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误；
对于③：因为为自然数集，，正确；
所以正确的有3个.
故选：C.
2．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．1与表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．方程的所有解的集合可表示为
D．集合可以用列举法表示
【答案】B
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；
对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；
对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；
对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.
故选：B.
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解.
【详解】，所以与集合的关系为.
故选：B.
4．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合，则中的元素个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
计算出集合后可求其含有的元素的个数.
【详解】
依题意可得，则中的元素个数为5.
故选：B.
5．（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.
【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
6．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．0或1
【答案】C
【分析】根据，分类讨论结合元素的互异性求解即可.
【详解】因为，所以或.
当即时，，满足题意；
当即时，
若，则，满足题意；若，则，不满足题意；
综上，实数的值为或1.
故选：C
7．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据1是集合中的一个元素，求得a，进而再解方程求解.
【详解】解：，
集合中的方程为，
解得或，
，
故选：C．
8．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对描述法表示的集合的理解，设出的表示形式，得到，判断其与集合的关系即可.
【详解】因为，，
则由题意可设，，其中，
则，且，
故，
故选：D．
二、多选题
9．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】AD
【分析】集合有且只有一个元素，可得方程为一次方程时有唯一实根或二次方程时两个相等实根，分类求解即可.
【详解】当，即时，，符合题意；
当，即时，若集合只有一个元素，由一元二次方程根的判别式，解得.
综上实数的值可以为1，4.
故选：AD.
10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】AC
【分析】根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数.
【详解】当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确；
当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误；
当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确；
当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
11．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知，则实数 ．
【答案】
【分析】直接根据求解即可.
【详解】，
，
解得.
故答案为：.
12．（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由可知在数轴上集合A的端点关于点1对称，则A中的三个整数为，建立不等式组，解之即可求解.
【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称，
从而A中的三个整数为，
所以，且，解得．
即实数a的取值范围为
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，．
(1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由；
(2)判断是否在集合B中，并说明理由；
(3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由．
【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析
(2)在集合B中，理由见解析
(3)属于集合，理由见解析
【分析】（1）根据集合A中元素的特征判断求解；
（2）根据集合中元素的特征判断求解；
（3）设，，进而根据集合中元素的特征判断求解.
【详解】（1）∵，∴3在集合A中，
令，则，故5不在集合A中.
（2），且，故在集合B中.
故答案为：
C新定义题型
1．（2024高三·全国·专题练习）当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据任意相同元素之差0，可判断①；根据当时，，利用定义依次推导，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④.
【详解】对于①，根据当，则，即，所以0是任何数域的元素，故①正确；
对于②，根据当时，，则，即，进而，，故②正确；
对于③，对，但，不满足题意，所以集合不是一个数域，故③不正确；
对于④，若是有理数，则，都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确;
所以其中真命题的个数是3个.
故选：C.
2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知集合M为非空数集，且同时满足下列条件：
（i）；
（ii）对任意的，任意的，都有；
（iii）对任意的且，都有．
给出下列四个结论：
①；②；③对任意的x，，都有；④对任意的x，，都有．
其中正确的结论有 个．
【答案】3
【分析】①利用条件（i）和（ii）推理可得；②利用（i），（iii）得，再结合（ii）可判断；③首先得出，然后由条件（ii）可得结论；④由已知得出，得，推导得出，从而有，，，，再由条件（ii）可判断．
必有，
显然，当时，集合S中只有5个元素，
因此，所以，
综上所述，的取值范围为.
4．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”.
(1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）；
(2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
(3)存在1个，，理由见解析
【分析】（1）令得到答案；
（2）利用反证法进行证明或者构造一元二次方程利用判别式法证明；
（3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，求出答案.
【详解】（1）不妨令，此时，满足要求；
（2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，
因为，故可设，
，两边同时除以得，，
因为，所以，与矛盾，不合要求，
故假设不成立，元素，中至少有一个大于2；
法二；集合是“二元和谐集”，设，
则可以看成一元二次方程的两正根，
则，解得：（舍）或，即，
所以至少有一个大于2.
（3）设正整数集为“三元和谐集”，
则，
不妨设，则，解得，
因为，故只有满足要求，
综上，满足要求，其他均不合要求，
存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.
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