沪教版2024-2025学年六年级上册同步提升讲义第03讲绝对值有理数的大小比较(九大题型)(学生版+解析)

第03讲 绝对值 有理数的大小比较（九大题型）
学习目标
了解绝对值的意义； 会求一个数的绝对值； 掌握绝对值的化简； 知道对有理数大小比较的方法。
一、绝对值的意义
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
二、绝对值性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
三、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
拓展：
3．作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4．求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【即学即练1】的绝对值是 ．
【即学即练2】比较大小： ﹣5；﹣|﹣2| ﹣（﹣2）．
【即学即练3】用符号表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】如图所示，则化简结果为（ ）
A．3 B． C． D．
【典例11】．绝对值不大于6的整数有 个．
题型4：绝对值与数轴
【典例12】．．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例13】．如图，数轴上被遮挡住的整数的绝对值是（ ）
A．1 B． C． D．0
题型5：有理数的大小比较
【典例14】．比较下列各对数的大小：
(1)和．
(2)和．
(3)和．
(4)和．
【典例15】．下列四个数中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
【典例16】．比小的最大整数是 ．
【典例17】．在有理数中，既不是正数也不是负数的数是 ；最小的非负数是 ；最大的非正数是 ；
【典例18】．（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，，
（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：
①在数轴上分别表示出数， ，
②把，，，这四个数从小到大用“”号连接．
【典例19】．对于一个数，给定条件：该数是负整数，且大于；条件：该数的绝对值等于2，那么同时满足这两个条件的数是 ．
题型6：有理数大小比较的实际应用
【典例20】．2024年1月1日，我市某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是 ．
【典例21】．检查5个足球的质量（克），把超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，数据统计结果如下表：
足球编号 1 2 3 4 5
与标准质量的差（克）
则最接近标准质量的是 号足球．（只填写编号）
【典例22】．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
检测结果
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
题型7：绝对值的非负性及应用
【典例23】．若，则 ， ．
【典例24】．若，a一定是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
【典例25】．下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数
B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
C．若，则a与 b一定互为相反数
D．若，则是非正数
【典例26】．若与互为相反数，则的值为 ．
【典例27】．如果有理数、满足，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例28】．已知为有理数，则的最小值为 ．
题型8：化简绝对值
【典例29】．数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
4．下列比较大小正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．据了解某儿童口罩规格长为，其中超过标准长度的数量记为正数，不足的数量记为负数，某部门检查了四款儿童口罩，结果如下，从长度的角度看最接近标准的儿童口罩是（　　）
A． B．
C． D．
8．大于而小于2.3的整数共有（　　）个．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．若，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
11．的相反数为 ；的绝对值是 ；绝对值是2的数是 ．
12．比较大小：（填“”或“”）．
（1） ，
（2） ；
（3） ．
13． ．
14．绝对值不大于6的整数有 个．
15．绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ．
16．已知b、c满足，则的值是 ．
17．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．

18．设表示大于的最小整数，如，则下列结论：
①；
②的最小值是0；
③的最大值是1；
④若，则可以表示成（为整数）的形式；
⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）．
三、解答题
19．写出下列各数的绝对值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
20．已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题．
(1)互为相反数的一组数是________；
(2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来．
21．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值．
（2）若，，且，求a，b的值．
22．有理数、在数轴上如图，
(1)在数轴上表示、；
(2)用、或填空：______，______，______，______
(3)试用连接，0，，
23．点A、、是数轴上的三个点，点A表示最大的负整数，点表示最小的正整数，点表示最小的自然数．
(1)求A、之间的距离；
(2)比较点A、、表示的数的大小；
24．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明．
25．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．

(1)两点之间的距离是 ；
(2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ；21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第03讲 绝对值 有理数的大小比较（九大题型）
学习目标
了解绝对值的意义； 会求一个数的绝对值； 掌握绝对值的化简； 知道对有理数大小比较的方法。
一、绝对值的意义
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
二、绝对值性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
三、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
拓展：
3．作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4．求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5．倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【即学即练1】．的绝对值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了绝对值得求解，根据负数的绝对值为其相反数可得答案．
【解析】解：的绝对值是，
故答案为：．
【即学即练2】．比较大小： ﹣5；﹣|﹣2| ﹣（﹣2）．
【答案】 > <
【解析】试题分析：∵||=，|﹣5|=5，又∵＜5，∴＞﹣5；
∵﹣|﹣2|=﹣2，﹣（﹣2）=2，∴﹣|﹣2|＜﹣（﹣2）；
∵﹣23=﹣8，﹣32=﹣9，∴﹣23＞﹣32．
考点：实数的大小的比较
【即学即练3】．用符号表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查正数的绝对值等于它本身，根据题意判断即可．
【解析】解：A、，则，故本选项符合题意；
B、，则，表达式错误，且不符合正数的绝对值要求，故本选项不符合题意；
C、，则，表达式错误，且不符合正数的绝对值要求，故本选项不符合题意；
D、，则，不符合正数的绝对值等于它本身，故本选项不符合题意；
故选：A．
【即学即练4】．如图所示，则化简结果为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义．由数轴可知，，进而去绝对值符号，即可计算求值．
【解析】解：由数轴可知，，
，，
，
故选：A．
题型1：求一个数的绝对值
【典例1】．．的绝对值是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义解答即可．
【解析】解：的绝对值是2024，
故选：A．
【典例2】．．实数的绝对值是 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．
【解析】解：的绝对值是3．
故选：A．
题型2：绝对值与相反数
【典例3】．．的相反数的绝对值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据绝对值的性质以及相反数的定义进行解题即可．
【解析】解：的相反数是，
，
则的相反数的绝对值为．
故选：B．
【典例4】．．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了绝对值的意义和相反数，根据绝对值的意义化简绝对值，再根据相反数的定义求相反数即可．
【解析】解：，
的相反数是2024．
故选：B．
【典例5】．．的相反数是（ ）
A． B． C．2024 D．－2024
【答案】A
【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答．
【解析】解：
∴的相反数是
故选：A
【典例6】．．的绝对值的相反数是（ ）
A． B．3 C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值和相反数，理解绝对值和相反数的含义是解题的关键．
先求出的绝对值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
【解析】的绝对值是3，3的相反数是．
故选：A．
【典例7】．．在，，，四个数中非负数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的分类．先把各数化简，然后根据非负数的意义求解，注意非负数包括0和正数．
【解析】
解：∵是正数，是正数，，既不是正数，也不是负数，是负数，
∴非负数共有3个．
故选：C．
题型3：绝对值的意义
【典例8】．．绝对值是的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．理解绝对值的定义是解题的关键．
【解析】根据绝对值的定义可知，和的绝对值都是．
故选择：C
【典例9】．．如果一个数的绝对值等于，则这个数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数的关系，解题关键是掌握绝对值的定义．根据一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数计算即可．
【解析】或的绝对值都等于，
绝对值等于的数是或
故答案为：或．
【典例10】．．下列说法正确的是（　　）
A．一个数的绝对值一定是正数
B．一个数的相反数一定是负数
C．若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数
D．整数的绝对值大于分数的绝对值
【答案】C
【分析】本题考查正数和负数，相反数及绝对值，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键．
根据正数和负数，相反数及绝对值的定义及性质逐项判断即可．
【解析】解：、一个数的绝对值是非负数，零的绝对值是零，则不符合题意．
、负数的相反数是正数，零的相反数是零，则不符合题意．
、若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数，则符合题意．
、是整数，是分数，其绝对值大小为，则不符合题意．
故选：．
【典例11】．．绝对值不大于6的整数有 个．
【答案】13
【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键．
依次列出绝对值不大于6的整数即可解答．
【解析】解：绝对值不大于6的整数有：，，，，，，0．
绝对值不大于6的整数有13个．
故答案为：13．
题型4：绝对值与数轴
【典例12】．．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值．根据数轴确定该数的绝对值在3到4之间即可判断．
【解析】解：由题意得，遮住的数在到之间，
∴遮住的数的绝对值在3到4之间，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选：C．
【典例13】．．如图，数轴上被遮挡住的整数的绝对值是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查数轴以及绝对值的定义，根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是，再根据绝对值的定义求解即可．
【解析】解：根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是，
的绝对值是1，
故选A．
题型5：有理数的大小比较
【典例14】．．比较下列各对数的大小：
(1)和．
(2)和．
(3)和．
(4)和．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数大小比较、相反数以及绝对值，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
（1）正数大于负数；
（2）根据相反数的定义化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可；
（3）根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可；
（4）根据相反数和绝对值的性质化简后，再比较大小即可．
【解析】（1）解：
（2）解：
，，
（3）解：，，
；
（4）解：，
【典例15】．．下列四个数中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键．根据两个负数比较，绝对值小的反而大，负数小于0，0小于正数，即可解答．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在这四个数中，，
∴最小的是，
故选：B．
【典例16】．．比小的最大整数是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了有理数大小比较，正确理解最大整数定义是解题关键．根据有理数大小比较即可得比小的最大整数是．
【解析】解：比小的最大整数是．
故答案为：．
【典例17】．．在有理数中，既不是正数也不是负数的数是 ；最小的非负数是 ；最大的非正数是 ；
【答案】 0 0 0
【分析】本题考查了有理数的分类，有理数包括正数，0，负数；非负数是0和正数，非正数是0和负数，根据有理数大小比较的法则即可得出正确答案．
【解析】解：根据有理数包括正数，0，负数，可知既不是正数也不是负数的数是0．由于正数大于0，所以最小的非负数是0；由于负数小于0，所以最大的非正数是0．
故答案为：0，0，0．
【典例18】．．（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，，
（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：
①在数轴上分别表示出数， ，
②把，，，这四个数从小到大用“”号连接．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可；
（2）①由，再利用相反数的含义在数轴上描出，即可；②利用数轴比较，，，的大小即可．
【解析】解：（1）∵，，，
在数轴上表示如下图，
（2）①∵，
∴，
在数轴上分别表示数，如下图；
②由数轴可得：．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，相反数的含义，绝对值的含义，绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【典例19】．．对于一个数，给定条件：该数是负整数，且大于；条件：该数的绝对值等于2，那么同时满足这两个条件的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值和有理数大小比较，首先根据有理数大小比较的方法，可得大于的负整数有：、；然后根据绝对值即可求解；会求限定范围的负整数及一个数的绝对值是解题的关键．
【解析】解：大于的负整数有：、，
绝对值等于2的数有两个：、2，
同时满足这两个条件的数是．
故答案为：．
题型6：有理数大小比较的实际应用
【典例20】．．2024年1月1日，我市某地4个时刻的气温（单位：）分别为，0，1，，其中最低的气温是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的大小比较；由题意可根据有理数的大小比较进行求解．
【解析】解：∵，
∴最低的气温是；
故答案为：．
【典例21】．．检查5个足球的质量（克），把超过标准质量的克数记为正数，低于标准质量的克数记为负数，数据统计结果如下表：
足球编号 1 2 3 4 5
与标准质量的差（克）
则最接近标准质量的是 号足球．（只填写编号）
【答案】3
【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用．比较个数的绝对值，绝对值最小的即为最终结果．
【解析】解：∵；
∴最接近标准质量的是3号足球；
故答案为：3．
【典例22】．．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
检测结果
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
【答案】(1)张兵和蔡伟做的合乎要求
(2)蔡伟做的质量最好；李明做的较差
【分析】（1）绝对值大于0.02的就都是不合格的，所以张兵、蔡伟合格；
（2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟最好、李明最差．
【解析】（1）解：，，，，，，
，，，，，，
∵直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为符合要求，张兵的是 0.017，蔡伟的是 0.011不超过0.02毫米的误差，
∴张兵和蔡伟做的乒乓球是符合要求的；
（2）解：，
∴6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王芳、李明，
∴蔡伟做的质量最好，李明同学做的质量最差，
答：蔡伟做的质量最好；李明做的较差．
【点睛】本题考查正数与负数的实际运用，涉及绝对值运算，弄清题意是解本题的关键．
题型7：绝对值的非负性及应用
【典例23】．．若，则 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解．
【解析】因为，且，，
所以，所以．
故答案为：，．
【典例24】．．若，a一定是（ ）
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的性质．根据可以得到，即，即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
即a一定是非正数．
故选：B．
【典例25】．．下列说法正确的是（ ）
A．一定是负数
B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
C．若，则a与 b一定互为相反数
D．若，则是非正数
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的相关概念，熟记相关结论是解题关键．
【解析】解：∵，
∴，
故一定是非正数，故A错误，不符合题意；
两个数相等或互为相反数时，它们的绝对值相等，
故B错误，不符合题意；
若，则a与 b互为相反数或，
故C错误，不符合题意；
若，则，则是非正数，
故D正确，符合题意；
故选：D
【典例26】．．若与互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据相反数的性质，绝对值的非负性即可求解．
【解析】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，解得，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相反数的性质，绝对值的性质，掌握两个数互为相反数，则这两个数的和为零，绝对值的性质是解题的关键．
【典例27】．．如果有理数、满足，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】此题考查了非负数的性质．根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入求值计算即可．
【解析】解：∵有理数、满足，
∴，，
∴，，
则，
故选：A．
【典例28】．．已知为有理数，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答．
【解析】解：∵，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
题型8：化简绝对值
【典例29】．．数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算．
先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可．
【解析】解：由题意得，，，，
，
故选：B．
【典例30】．当时，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值化简，判断，由绝对值的性质即可求解；掌握是解题的关键．
【解析】解：，
，
；
故答案：．
【典例31】．．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【解析】解：由数轴可得：，，
，，，
，
故答案为：．
【典例.32】．．在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，．
(1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；
(2)化简：；
(3)化简：．
【答案】(1)；；；；
(2)
(3)
【分析】
本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题．
（1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果；
（2）通过字母的正负化简绝对值即可；
（3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；．
【解析】（1）
解：（1）由数轴知，，
故答案为：；；；；；
（2）
；
（3）
．
【典例33】．．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
______0，______0，______0．
(2)化简：．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键．
（1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可；
（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．
【解析】（1）解：由数轴可得：，
则．
故答案为：，，．
（2）解：∵，
∴
．
题型9：难点+新定义题
【典例34】．．如果a表示有理数，那么a+1，|a+1|，（a+1），|a|+1中肯定为正数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】根据有理数和绝对值的意义，可根据a的值不确定，知a+1不一定是正数，（a+1）的值不确定，但是|a|≥0，可知|a+1|是正数， |a|+1一定是一个正数.
故选A.
【典例35】．．把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可．
【解析】解：，
又，
∵，
∴，
∴，
．
故选：A．
【典例36】．．对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如，下列结论正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】根据符号[x]表示不超过x的最大整数，依次判断可得答案．
【解析】解：由题意可得，
[-3]=-3，故①正确；
[-2.9]=-3，故②错误；
[0.9]=0，故③正确；
当x为整数时，[x]+[-x]=x+（-x）=0，
当x为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．
一、单选题
1．的绝对值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【解析】解：，
故选D．
2．下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．以下记为负数，以上记为正数，温度都小于时，绝对值最大的，温度最低．
【解析】解：∵，，，
∴，
∴气温最低的是北京．
故选：A．
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
【答案】A
【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【解析】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意；
B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意；
C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D、和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
4．下列比较大小正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较大小的方法是解题的关键．先根据绝对值和相反数的意义化简A、C、D三项中的相关有理数，然后根据正数大于负数即可进行比较；根据两个负数比较大小的方法即可判断B项，从而可得答案．
【解析】解：A、，，，故本选项错误，不符合题意；
B、，，，故本选项正确，符合题意；
C、，，，故本选项错误，不符合题意；
D、，，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
5．如图，数轴上有四个点A，B，C，D分别对应四个有理数，若点B，D表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定表示绝对值最小的数的点即可．
【解析】解：因为点B，D表示的有理数互为相反数，
所以原点的位置在线段的中点处，
∵离原点越近的点表示的数绝对值越小，
∴表示绝对值最小的数的点是C点．
故选：C．
6．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【解析】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
7．据了解某儿童口罩规格长为，其中超过标准长度的数量记为正数，不足的数量记为负数，某部门检查了四款儿童口罩，结果如下，从长度的角度看最接近标准的儿童口罩是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
正数、负数的实际应用；绝对值的概念与意义． 根据长度的绝对值最小为最接近标准的儿童口罩即可判断．
【解析】解：因为，
所以最接近标准的儿童口罩是选项D．
故答案为：D．
8．大于而小于2.3的整数共有（　　）个．
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案．
【解析】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个，
故选：C．
9．如图，数轴上点、点、点分别对应数，则在中，正数共有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查利用数轴确定代数式符号，涉及数轴定义与性质、去绝对值等知识，根据数轴上点的位置确定大小及符号，从而逐个判断出代数式符号，熟练掌握数轴性质得到大小及符号是解决问题的关键．
【解析】解：如图所示：
，，，
，则；；；；；
综上所述，有3个代数式是正数，
故选：C．
10．若，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
∴
故答案为：，，．
13． ．
【答案】0.27
【分析】此题考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【解析】．
故答案为：0.27．
14．绝对值不大于6的整数有 个．
【答案】13
【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键．
依次列出绝对值不大于6的整数即可解答．
【解析】解：绝对值不大于6的整数有：，，，，，，0．
绝对值不大于6的整数有13个．
故答案为：13．
15．绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ．
【答案】 2，1，0，， 0，1
【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可．
【解析】绝对值小于2.5的所有整数是2，1，0，，；
绝对值等于它本身的数是0，1．
故答案为：2，1，0，，；0，1．
16．已知b、c满足，则的值是 ．
【答案】//
【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到,
代入计算即可．
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：或或．
17．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．

【答案】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案．
【解析】解：依题意，得
，，
．
故答案为：．
18．设表示大于的最小整数，如，则下列结论：
①；
②的最小值是0；
③的最大值是1；
④若，则可以表示成（为整数）的形式；
⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可．
【解析】根据表示大于的最小整数可得：
，结论①正确；
，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确；
令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确；
若整数满足，则，则或，故⑤错误；
故答案为：①③④．
三、解答题
19．写出下列各数的绝对值．
(1)；
(2)；
(3)；
∴；
21．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值．
（2）若，，且，求a，b的值．
【答案】（1）或
（2）
【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键．
（1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或
（2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案．
【解析】（1）解：∵，，
∴，，
又∵a，b异号，
∴或．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
22．有理数、在数轴上如图，
(1)在数轴上表示、；
(2)用、或填空：______，______，______，______
(3)试用连接，0，，
【答案】(1)见解析
(2)，，，
(3)
【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数轴判断式子的正负，有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法，相反数的意义，数形结合的思想是解决本题的关键．
（1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出、；
（2）根据数轴得到，再利用绝对值的意义可得结论；
（3）根据数轴得到，，，再判断式子的正负和大小．
【解析】（1）解：与a，与b都是关于原点对称的，
与在数轴上的位置如下图：
（2）由图可知：，
，，，，
故答案为：，，，；
（3），，，
，， ，，
．
23．点A、、是数轴上的三个点，点A表示最大的负整数，点表示最小的正整数，点表示最小的自然数．
(1)求A、之间的距离；
(2)比较点A、、表示的数的大小；
【答案】(1)2；
(2)
【分析】本题考查有理数的分类及数轴上两点之间的距离，
（1）根据最小的正整数是1，最大的负整数是，最小的自然数为0代入求解即可得到答案；
（2）根据正负数大小比较方法比较即可．
【解析】（1）最大的负整数是，最小的正整数是1，最小的自然数是0，
∴点A、、是数轴上表示的数分别是，0，1，
、之间的距离；
（2）由于正数大于0，负数小于0，
∴；
24．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011
(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？
(2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？
(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明．
【答案】(1)张兵、蔡伟；
(2)蔡伟；李明；
(3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；说明见详解．
【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的；
（2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差；
（3）按绝对值由大到小排即可．
【解析】（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差，
张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的．
（2）蔡伟做的为毫米，李明做的为，
蔡伟做的质量最好，李明的最差．
（3），
6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明．
【点睛】此题考查了正数与负数，以及绝对值的意义，正确理解题目的意思是解此题的关键．
25．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．

(1)两点之间的距离是 ；
(2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ；
(3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ；
(4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)4
(2)
(3)1
(4)或5
【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
（1）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解；
（2）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解；
（3）根据中点坐标公式即可求解；
（4）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解．
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