沪教版2024-2025学年七年级上册同步提升讲义第02讲合并同类项整式(续)(十大题型)(学生版+解析)

第02讲 合并同类项 整式(续)（十一大题型）
学习目标
1、学会合并同类； 2、掌握整式的项、项数、次数等概念； 3、理解整式的升幂排列与降幂排列。
一、合并同类项
如图所示,正方形A、正方形B的边长分别是a,3a,那么这两个正方形的周长一共是多少 面积一共是多少
正方形A的周长是4a,正方形B的周长是12a,正方形A、正方形B的周长一共是
4a-12a=(4-12)a=16u; ①
正方形A、正方形B的面积一共是
a -9a =(1-9)a=10m . ②
由4a-12a=16a与a -9a =10a 可以看到，4a,12a都是只含有相同字母a的一次单项式，a ,9m 都是只含有相同字母a的二次单项式。
像①式这样的是我们六年级学过合并一次式的同类项；像①、②式这样的，把整式的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项。
合并同类项的法则：
把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.
整式的项、项数与次数
合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项.各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数.合并同类项后，整式有几项，就称为几项式.
【方法规律】每一项的次数是几，就称为几次项。这句话的理解：例如3t2-t-4，对于这个整式，3t2是这个整式的一个单项式，它的次数是2，所以它是（这个整式的）二次项；同理-t是（这个整式的）一次项；-4是（这个整式的）常数项。
三、升幂排列与降幂排列：合并同类项后，把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把整式按这个字母升幂排列．
如:整式2x3y2-xy3-x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
-5x4-2x3y2-x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;
按y的升幂排列为-6-5x4-2x3y2-xy3-x2y4．
【规律方法】
①重新排列的依据是加法的交换律；
②重新排列整式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
③含有两个或两个以上字母的整式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
【即学即练1】化简：
(1)
(2)
【即学即练2】整式是 次 项式，按的升幂排列为 ．
【即学即练3】整式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ．
【即学即练4】整式是 次 项式，常数项是 ．
【即学即练5】整式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ．
题型1：合并同类项
【典例1】．合并同类项：
(1)；
(2)．
【典例2】．化简
(1)
(2)
(3)
(4)
【典例3】．合并下列同类项：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例4】．下列选项中合并同类项正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型2：合并同类项并求值
【典例5】．（1）合并同类项：；
（2）求整式的值，其中．
【典例6】．已知，
(1)化简；
(2)当时，求的值．
题型3：合并同类项的代数应用
【典例7】．有甲、乙两个运算：甲：；乙：，其中正确的运算是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【典例8】．已知m，n为正整数，若整式合并同类项后只有两项，则的值为 ．
【典例9】．已知，．
(1)求；
(2)若，求C．
题型4：合并同类项的实际应用
【典例10】．鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元．
【典例11】．一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍，这个旅游团有 人．
【典例12】．甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行，2小时后相遇．甲车每小时，乙车每小时比甲车多行驶，则、两地间的距离为 ．
【典例13】．一根电缆全长a米，第一次用去全长的，第二次用去了余下的，则剩余部分的长度为 米．
题型5：整式的项、项数、次数
【典例14】．对于整式-x3﹣2x2y-3π，下列说法正确的是（　　）
A．2次3项式，常数项是3π B．3次3项式，没有常数项
C．2次3项式，没有常数项 D．3次3项式，常数项是3π
【典例15】．下列关于整式的说法中，正确的是（ ）
A．它是三次三项式 B．它是二次四项式
C．它的最高次项是 D．它的常数项是1
【典例16】．整式的常数项是_________，次数是_________．（ ）
A．1，3 B．1，2 C．－1，3 D．－1，2
【典例17】．下列说法正确的是（ ）
A．的项是，，5 B．与都是整式
C．整式的次数是3 D．一个整式的次数是6，则这个整式中只有一项的次数是6
题型6：根据整式的项数、次数求参数
【典例18】．如果整式是三次三项式，那么等于（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例19】．整式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
【典例20】．若是关于、的三次二项式，则、的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【典例21】．整式的次数是四次，那么m不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例22】．已知关于的整式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（ ）
A． B． C． D．
题型7：写出满足某些特征条件的整式
【典例23】．写出一个关于的二次三项式，使得它的一次项系数为．这个二次三项式为 ．
题型8：将整式按某个字母的升幂（降幂）排列
【典例24】．将整式按x的降幂排列是 ．
【典例25】．把整式x3﹣7x2y＋y3﹣4xy2＋1按x的升幂排列为
【典例26】．是 次 项式，把它按字母x的降幂排列成 ，常数项是 ．
【典例27】．整式按字母a的升幂排列为 ，按字母b的降幂排列为 ．
题型9：整式综合
【典例28】．下列说法正确的有（ ）
①的项是，，2；②为整式；③整式的次数是2；④一个整式的次数是3，则这个整式中只有一项的次数是3；⑤单项式的系数是；⑥0不是整式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【典例29】．已知整式是六次四项式，且单项式的次数和该整式的次数相同，求m，n的值．
【典例30】．已知整式．
(1)根据这个整式的排列规律，你能确定这个整式是几次几项式吗
(2)最后一项的系数的值为多少
(3)这个整式的第七项和第八项分别是什么
题型10：数字、图形类规律题
【典例31】．一组按规律排列的式子：，，，，．第个式子是______（为正整数）（ ）
① ；② ；③ ；④；⑤； ⑥ ；⑦
A．①②③④ B．④⑤⑥ C．⑥⑦ D．⑤⑥⑦
7．若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如果整式xn﹣2﹣5x-2是关于x的三次三项式，则3n﹣n2等于（　　）
A．0 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣10
9．若整式4x2y|m|﹣(m﹣1)y2-1是关于x，y的三次三项式，则常数m等于(　　)
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
10．一列整式按以下规律排列：，，，，，，，则第个整式是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．计算： ．
12．
13．单项式的次数 ，系数 ；整式是 次 项式．
14．将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式： ；
（2）整式： ；
（3）二项式： ．
15．一个关于x的二次三项式，一次项的系数是1，二次项的系数和常数项都是－，则这个二次三项式为 ．
16．鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元．
17．若关于x的整式合并同类项后是一个三次二项式，则 ．
18．已知整式7a2b2-ab3-5a4b-4b5-a3,请回答下列问题:
(1)它是 次 项式,字母a的最高次数是 ,字母b的最高次数的项是 ;
(2)把整式按a的降幂排列为 ;
(3)把整式按b的升幂排列为 .
三、解答题
19．合并下列各式的同类项：
(1)
(2)
20．化简：
(1)
(2)
21．合并同类项
(1)
(2)先化简，再求值，
22．已知整式﹣x2y2m-1-xy﹣6x3﹣1是五次四项式，且单项式πxny4m﹣3与整式的次数相同，求m，n的值．
23．已知整式．
（1）若它是关于的一次式，求的值并写出常数项；
（2）若它是关于的三次二项式，求的值并写出最高次项．
24．已知关于x，y的整式x4＋（m＋2）xny﹣xy2＋3．
（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？
（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？
25．已知整式
（1）把这个整式按的降冥重新排列；
（2）请指出该整式的次数，并写出它的二次项和常规项．
26．已知关于的整式．
（1）若此整式是单项式，求的值；
（2）若此整式是二次式，求的值；
（3）若此整式是二项式，求的值．
27．是六次四项式，且的次数跟它相同
求，的值
求整式的常数项以及各项的系数和．
28．有三组整式：①，，；②，，2；③，，这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式组”．
(1)若某个“和谐等式组”中的第一个整式为,第二个整式为．
①直接写出m的值：__________；
②求出这个“和谐等式组”的第三个整式；
(2)若，，（m为常数）是一个“和谐等式组”，求的值．
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第02讲 合并同类项 整式(续)（十一大题型）
学习目标
1、学会合并同类； 2、掌握整式的项、项数、次数等概念； 3、理解整式的升幂排列与降幂排列。
一、合并同类项
如图所示,正方形A、正方形B的边长分别是a,3a,那么这两个正方形的周长一共是多少 面积一共是多少
正方形A的周长是4a,正方形B的周长是12a,正方形A、正方形B的周长一共是
4a-12a=(4-12)a=16u; ①
正方形A、正方形B的面积一共是
a -9a =(1-9)a=10m . ②
由4a-12a=16a与a -9a =10a 可以看到，4a,12a都是只含有相同字母a的一次单项式，a ,9m 都是只含有相同字母a的二次单项式。
像①式这样的是我们六年级学过合并一次式的同类项；像①、②式这样的，把整式的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项。
合并同类项的法则：
把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.
整式的项、项数与次数
合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项.各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数.合并同类项后，整式有几项，就称为几项式.
【方法规律】每一项的次数是几，就称为几次项。这句话的理解：例如3t2-t-4，对于这个整式，3t2是这个整式的一个单项式，它的次数是2，所以它是（这个整式的）二次项；同理-t是（这个整式的）一次项；-4是（这个整式的）常数项。
三、升幂排列与降幂排列：合并同类项后，把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把整式按这个字母升幂排列．
如:整式2x3y2-xy3-x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
-5x4-2x3y2-x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;
按y的升幂排列为-6-5x4-2x3y2-xy3-x2y4．
【规律方法】
①重新排列的依据是加法的交换律；
②重新排列整式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
③含有两个或两个以上字母的整式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
【即学即练1】化简：
(1)
(2)
【答案】(1)；
．
【即学即练2】整式是 次 项式，按的升幂排列为 ．
【答案】 五 四
【分析】本题主要考查了整式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做整式，每个单项式叫做整式的项，不含字母的项叫做常数项，整式里，次数最高项的次数叫做整式的次数．
【解析】解：整式是五次四项式，按的升幂排列为，
故答案为：五；四；
【即学即练3】整式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ．
【答案】 7 4
【分析】本题考查整式的项，解答本题需要我们掌握整式中次数、项数的定义．
【解析】解：整式的二次项系数是，三次项系数是7，常数项是，次数最高项的系数是4．
故答案为：，7，，4．
【即学即练4】整式是 次 项式，常数项是 ．
【答案】 四 四
【分析】本题考查了整式的定义，解题的关键是掌握整式的相关定义．
根据几个单项式的和叫做整式，每个单项式叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项．整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数进行分析即可．
【解析】解：整式的次数为四次四项式，常数项为，
故答案为：四、四、．
【即学即练5】整式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的定义，根据题意，则，求出，，即可．
题型1：合并同类项
【典例1】．合并同类项：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据合并同类项的方法求解即可；
（2）根据合并同类项的方法求解即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的方法是解题的关键．
【典例2】．化简
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(4)
【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
（1）直接合并同类项，即可求解；
（2）直接合并同类项，即可求解；
（3）先去括号，然后合并同类项，即可求解;
（4）先去括号，然后合并同类项，即可求解．
【解析】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式=
；
（4）解：原式
．
【典例3】．合并下列同类项：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据合并同类项法则直接合并同类项即可；
（2）根据合并同类项法则直接合并同类项即可；
（3）根据合并同类项法则直接合并同类项即可．
【解析】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．
【典例4】．下列选项中合并同类项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则逐项判断即得答案．
【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C、，故本选项计算正确；
D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查了合并同类项，熟知合并同类项的法则是解题的关键，注意合并同类项只是系数相加减，字母和字母的指数不变．
题型2：合并同类项并求值
【典例5】．（1）合并同类项：；
（2）求整式的值，其中．
【答案】（1）；
（2）；
【分析】本题考查了代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键；
（1）利用合并同类项法则计算即可；
（2）首先将原式合并同类项，化到最简，然后代入数值求解即可．
【解析】（1）
；
（2）
；
当时，原式，
原整式的值为．
【典例6】．已知，
(1)化简；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握合并同类项是解题关键．
（1）利用合并同类项即可求解；
（2）将代入整式即可求解．
【解析】（1）解：
（2）将代入可得：
故．
题型3：合并同类项的代数应用
【典例7】．有甲、乙两个运算：甲：；乙：，其中正确的运算是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】D
【分析】根据合并同类项运算法则进行计算即可．
【解析】解：甲：不是同类项，不能合并，故甲计算不正确；
乙：，故乙计算不正确；
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义以及合并同类项法则．
【典例8】．已知m，n为正整数，若整式合并同类项后只有两项，则的值为 ．
【答案】6或4
【分析】本题考查了合并同类项，同类项的定义，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项．根据题意得出和是同类项或和是同类项，然后进行分类讨论即可．
【解析】解：∵整式合并同类项后只有两项，
∴和是同类项或和是同类项，
①当和是同类项时，，
∴，
∴；
②当和是同类项时，，
∴，
∴，
故答案为：6或4．
【典例9】．已知，．
(1)求；
(2)若，求C．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．
（1）根据整式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据得出，然后代入，根据整式加减运算法则进行计算即可．
【解析】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴
．
题型4：合并同类项的实际应用
【典例10】．鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握代数式的运用是解题的关键．
【解析】解：根据题意，，
故答案为： ．
【典例11】．一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍，这个旅游团有 人．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，先表示出儿童人数，再根据这个旅游团总人数=成人人数-儿童人数即可列式求解．
【解析】解：∵一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍，
∴儿童人数是2a人，
∴这个旅游团有（人）．
故答案为：3a．
【典例12】．甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行，2小时后相遇．甲车每小时，乙车每小时比甲车多行驶，则、两地间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查列代数式、合并同类项，根据两车的路程和等于两地间的距离求解即可．
【解析】解：由题意，乙车每小时，
∴、两地间的距离为，
故答案为：．
【典例13】．一根电缆全长a米，第一次用去全长的，第二次用去了余下的，则剩余部分的长度为 米．
【答案】 /
【分析】此题考查列代数式，理解题意，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
用全长减去两次用去的就是剩余部分的长度，由此列式即可．
【解析】解：
米．
故答案为：
题型5：整式的项、项数、次数
【典例14】．对于整式-x3﹣2x2y-3π，下列说法正确的是（　　）
A．2次3项式，常数项是3π B．3次3项式，没有常数项
C．2次3项式，没有常数项 D．3次3项式，常数项是3π
【答案】D
【分析】直接利用整式的项数及次数确定方法分析得出答案．
【解析】解：整式x3﹣2x2y-3π是3次3项式，常数项是3π，观察选项，只有选项D符合题意．
【点睛】此题主要考查了整式，正确把握整式的次数与系数确定方法是解题关键．
【典例15】．下列关于整式的说法中，正确的是（ ）
A．它是三次三项式 B．它是二次四项式
C．它的最高次项是 D．它的常数项是1
【答案】B
【分析】根据整式的次数及项数定义解答．
【解析】解：整式共三项，分别为，各项次数依次为：3、4、0，
【点睛】此题考查了整式次数及项数定义，熟记定义并正确解决问题是解题的关键．
【典例16】．整式的常数项是_________，次数是_________．（ ）
A．1，3 B．1，2 C．－1，3 D．－1，2
【答案】B
【分析】根据整式的项和次数的概念进行判断即可．
【解析】解：的常数项是－1，次数是3，
【点睛】本题考查整式的项和次数的概念，熟知整式的项和次数的概念是解答本题的关键．其中，整式的次数指次数最高的项的次数；常数项指不含字母的项．
【典例17】．下列说法正确的是（ ）
A．的项是，，5 B．与都是整式
C．整式的次数是3 D．一个整式的次数是6，则这个整式中只有一项的次数是6
【答案】A
【分析】根据整式的项数、次数和整式定义，即几个单项式的和叫做整式判断即可；
【解析】解：A．的项是，5，故错误；
B．与都是整式，故正确；
C．整式的次数是2，故错误；
D．一个整式的次数是6，则这个整式中不一定只有一项的次数是6，如，故错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查了整式的定义、项数、次数，准确分析判断是解题的关键．
题型6：根据整式的项数、次数求参数
【典例18】．如果整式是三次三项式，那么等于（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】解：∵整式是关于x的三次三项式，
∴n-2=3，
解得n=5，故C正确．
【点睛】本题考查了根据整式的次数求参数的值，理解三次三项式的含义是解决本题的关键．
【典例19】．整式是关于的四次三项式，则的值是（ ）
A．4 B． C． D．4或
【答案】B
【分析】根据四次三项式的定义可知，该整式的最高次数为4，项数是3，所以可确定m的值．
【解析】解：∵整式是关于x的四次三项式，
∴|m|=4，m-4≠0，
∴m=-4，故C正确．
【点睛】本题考查了与整式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，整式中每个单项式叫做整式的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个整式的次数．
【典例20】．若是关于、的三次二项式，则、的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】此题考查了整式的概念，根据整式的项数：“整式中单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，进行求值即可．
【解析】解：由题意，得：，
∴，；
故选B．
【典例21】．整式的次数是四次，那么m不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】直接利用整式的次数得出答案．
【解析】解：整式的次数是四次，
∴m是小于或等于4的非负整数，
故选：D
【点睛】此题主要考查了整式，正确理解整式的次数是解题关键．
【典例22】．已知关于的整式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次三项式的定义得出m-4=0，n=2，求出m=4，n=2，代入二次三项式，最后把x=-1代入求出即可．
【解析】解：∵关于x的整式（m-4）x3-xn-x-mn为二次三项式，
∴m-4=0，n=2，
∴m=4，n=2，
即整式为-x2-x-8，
当x=-1时，-x2-x-8=-（-1）2-1-8=-10．
【点睛】本题考查了代数式求值的应用，关键是求出二次三项式．
题型7：写出满足某些特征条件的整式
【典例23】．写出一个关于的二次三项式，使得它的一次项系数为．这个二次三项式为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了整式的项、次数．熟练掌握整式的项、次数的定义是解题的关键．根据整式的项、次数求解作答即可．
【解析】解：由题意知，这个二次三项式为，
故答案为：．
题型8：将整式按某个字母的升幂（降幂）排列
【典例24】．将整式按x的降幂排列是 ．
【答案】
【分析】先写出这个整式的各项中的次数，再按的降幂排列即可得．
【解析】解：中的次数为0，
中的次数为1，
中的次数为2，
中的次数为3，
则将整式按的降幂排列是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了将整式按某个字母降幂排列，正确求出各项中的次数是解题关键．
【典例25】．把整式x3﹣7x2y＋y3﹣4xy2＋1按x的升幂排列为
【答案】y3＋1﹣4xy2﹣7x2y＋x3；或1＋y3﹣4xy2﹣7x2y＋x3
【分析】根据升幂排列的定义解答．升幂排列应按此字母的指数从小到大依次排列．
【解析】解：按x的升幂排列为：x3 7x2y＋y3 4xy2＋1＝y3＋1 4xy2 7x2y＋x3，
或x3 7x2y＋y3 4xy2＋1＝1＋y3 4xy2 7x2y＋x3，
故答案为：y3＋1 4xy2 7x2y＋x3；或1＋y3 4xy2 7x2y＋x3．
【点睛】此题主要考查了整式的有关定义．解题的关键是掌握整式的有关定义，注意把一个整式按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面．
【典例26】．是 次 项式，把它按字母x的降幂排列成 ，常数项是 ．
【答案】 六 四 0
【分析】根据多形式的概念解答即可．
【解析】解：是六次四项式，把它按字母x的降幂排列成，常数项是0．
故答案为：六，四，，0．
【点睛】本题考查了整式的概念，几个单项式的和叫做整式，整式中的每个单项式都叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项，整式的每一项都包括前面的符号，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数．也考查了整式的重新排列．
【典例27】．整式按字母a的升幂排列为 ，按字母b的降幂排列为 ．
【答案】
【分析】先分清整式的各项，然后按整式升幂和降幂排列的定义排列即可．
【解析】整式按字母a的升幂排列为，
按字母b的降幂排列为．
故答案为：，
【点睛】考查了按字母升幂或降幂排列，把一个整式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列整式各项时，要保持其原有的符号．
题型9：整式综合
【典例28】．下列说法正确的有（ ）
①的项是，，2；②为整式；③整式的次数是2；④一个整式的次数是3，则这个整式中只有一项的次数是3；⑤单项式的系数是；⑥0不是整式．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据单项式和整式及整式的有关知识分析判断即可求解．
【解析】解析：的项是，所以①错误：
是整式，所以②正确：
整式的次数是2．所以③正确；
一个整式的次数是3，则这个整式中不一定只有一项次数是3，如，所以④错误；
单项式的系数是，所以⑤错误；
0是整式，所以⑥错误，
所以正确的是②③，共2个
【点睛】本题考查单项式和整式及整式的有关知识，解题的关键是正确理解单项式和整式及整式的有关知识．
【典例29】．已知整式是六次四项式，且单项式的次数和该整式的次数相同，求m，n的值．
【答案】，
【分析】根据整式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得m，n的值．
【解析】因为整式是六次四项式，
所以
因为单项式的次数和该整式的次数相同，，
所以单项式的次数是6，
则，
解得．
【点睛】本题考查了整式的次数和项数，掌握整式的次数和项数是解题的关键．
【典例30】．已知整式．
(1)根据这个整式的排列规律，你能确定这个整式是几次几项式吗
(2)最后一项的系数的值为多少
(3)这个整式的第七项和第八项分别是什么
【答案】(1)十次十一项式；
(2)；
(3)；
【分析】（1）该整式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；
（2）观察已知整式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值；
（3）结合（1）即可得到整式的第七项和第八项．
【解析】（1）解：∵整式是按照的降幂排列，
∴该整式有项，并且每一项的次数是，
∴该整式是十次十一项式；
（2）解：∵整式有项，
∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数，
∴第项的系数为，
∴第项的系数为，
∴,
∴最后一项的系数的值为．
（3）解：∵整式第项的系数为，
∴第七项的系数是，第八项的系数是，
∵整式按照的降幂排列，且每一项的次数是，
∴第七项是, 第八项,
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，整式的的有关概念，理解整式的项，项数，次数是解题的关键．
题型10：数字、图形类规律题
【典例31】．一组按规律排列的式子：，，，，．第个式子是______（为正整数）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察各式子可以得到分子满足，分母是连续整数n，符号为奇数位负，偶数为正，即为，按要求写出公式即可．
【解析】解：，，，，……的分子相差，故分子满足，分母是连续整数n，符号为奇数位负，偶数为正，即为，
∴第个式子是，
故选D．
【点睛】本题考查数字规律问题，通过观察得到规律是解题的关键．
【典例32】．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图形可知：第1个图形有个圆圈，第2个图形有个圆圈，第3个图形有个圆圈，…由此得出第n个图形的圆圈个数．
【解析】解：∵第1个图形有个圆圈，
第2个图形有个圆圈，
第3个图形有个圆圈，
…
∴第n个图形有个圆圈．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，再归纳出一般规律．
【典例33】．若是不为的有理数，则我们把称为的差倒数，如的差倒数为，的差倒数为，已知：，是差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依次类推，的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据差倒数定义计算得出，，，，依次推导个数据为一组，，．
【解析】解：根据差倒数的定义知，，，，以、、这个数为一组，
∵，
∴第个数为第组数的第个数据，
则，那么．
【点睛】本题考查了有理数运算，解决本题的关键是得出数据的规律．
一、单选题
1．整式的次数是（　　　）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】B
【分析】根据整式的项的定义，整式的次数的定义即可确定其次数．
【解析】解：由于组成该整式的单项式（项）共有三个3m3，4m2n2，﹣1，
其中最高次数为2-2＝4，
所以整式的次数分别是4．
【点睛】本题考查了对整式的项和次数的掌握情况，难度不大．解题的关键是明确整式的次数是整式中最高次项的次数．
2．整式的项为(　　)
A．，5 B．
C．， D．，5
【答案】B
【分析】本题考查整式的概念，根据整式的概念结合题目即可得到答案. 注意：整式的每一项都包括系数的符号．
【解析】整式的项为，，故选择C项.
【点睛】本题考查整式，解题的关键是熟悉整式的概念，注意整式的每一项都包括系数的符号．
3．整式x2y2-2xy4-5的次数和常数项分别为（ ）
A．4，5 B．5，－5 C．8，5 D．9，－5
【答案】A
【分析】根据整式次数以及常数项的定义求解．
【解析】解：整式x2y2-2xy4-5，是三项式，其中-2xy4的次数最高，是5次，常数项是.
故选B．
【点睛】此题考查的是整式的定义，整式中每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个整式的次数．这些单项式中的最高次数的项叫做整式的最高项．
4．下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项法则，根据合并同类项法则：“系数相加减，字母及字母的指数不变，”进行求解即可．
【解析】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.不能合并，故C错误；
D.，正确．
故选D．
5．下列关于整式2a2b-ab-1的说法中，正确的是（　　）
A．次数是5 B．二次项系数是0 C．最高次项是2a2b D．常数项是1
【答案】B
【分析】根据整式的概念逐项分析即可．
【解析】A． 整式2a2b-ab-1的 次数是3，故不正确；
B． 整式2a2b-ab-1的二次项系数是1，故不正确；
C． 整式2a2b-ab-1的最高次项是2a2b ，故正确；
D． 整式2a2b-ab-1的常数项是-1，故不正确；
【点睛】本题考查了整式的概念，几个单项式的和叫做整式，整式中的每个单项式都叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项，整式的每一项都包括前面的符号，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数．
6．下列合并同类项正确的是（ ）
① ；② ；③ ；④；⑤； ⑥ ；⑦
A．①②③④ B．④⑤⑥ C．⑥⑦ D．⑤⑥⑦
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．根据合并同类项得法则计算即可．
【解析】解：①与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
②与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
③，故本选项计算错误；
④与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
⑤，故本选项计算正确；
⑥，故本选项计算正确；
⑦，故本选项计算正确；
本题正确的有：⑤⑥⑦．
故选：D
7．若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】此题考查了合并同类项，牢记同类项的概念是解题的关键．
首先根据题意得到和是同类项，然后得到，，求出m和n的值，然后代入求解即可．
【解析】∵
∴和是同类项
∴，
∴，
∴．
8．如果整式xn﹣2﹣5x-2是关于x的三次三项式，则3n﹣n2等于（　　）
A．0 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣10
【答案】D
【分析】直接利用整式的次数确定方法得出n的值，进而得出答案．
【解析】解：∵整式xn﹣2﹣5x-2是关于x的三次三项式，
∴n﹣2＝3，
解得：n＝5，
故3n﹣n2＝3×5﹣25＝﹣10．
故选D．
【点睛】此题主要考查了整式，正确把握整式的次数确定方法是解题关键．
9．若整式4x2y|m|﹣(m﹣1)y2-1是关于x，y的三次三项式，则常数m等于(　　)
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【答案】D
【分析】直接利用整式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解析】∵整式4x2y|m|﹣(m﹣1)y2-1是关于x，y的三次三项式，
∴2-|m|=3，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1，
故选A．
【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的次数与项数确定方法是解题关键．
10．一列整式按以下规律排列：，，，，，，，则第个整式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式项式的变化规律，正确理解整式中各项的系数与次数的规律是解题的关键．根据题目所给整式，总结出第n个整式中各项的系数与次数，即可解答．
【解析】观察、分析这列二项式的排列规律可知：
第1个二项式为，
第2个二项式为，
第3个二项式为，
，
第n个二项式为．
故选B．
二、填空题
11．计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查的是合并同类项，直接把同类项的系数相加减即可．
【解析】解：，
故答案为：
12．
【答案】
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，即可．
【解析】．
故答案为：．
13．单项式的次数 ，系数 ；整式是 次 项式．
【答案】 3 四 五
【分析】根据单项式的次数和系数的定义；整式的次数和项数的定义，即可求解．
【解析】解：单项式的次数3，系数；
整式是四次五项式．
故答案为：3；；四；五．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数和系数的定义；整式的次数和项数的定义，熟练掌握单项式的次数和系数的定义；整式的次数和项数的定义是解题的关键．
14．将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．
（1）单项式： ；
（2）整式： ；
（3）二项式： ．
【答案】 ③④⑨ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【分析】根据单项式，整式，整式，二项式的定义即可求解．
【解析】（1）单项式有：③，④0，⑨；
（2）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨；
（3）二项式有：②，⑤；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，整式，整式，二项式的定义．
15．一个关于x的二次三项式，一次项的系数是1，二次项的系数和常数项都是－，则这个二次三项式为 ．
【答案】
【解析】根据题意，要求写一个关于字母x的二次三项式，其中二次项是x2，一次项是-x，常数项是1，所以再相加可得此二次三项式为．
16．鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握代数式的运用是解题的关键．
【解析】解：根据题意，，
故答案为： ．
17．若关于x的整式合并同类项后是一个三次二项式，则 ．
【答案】1
【分析】此题考查了合并同类项和整式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据整式是三次二项式可知二次项的系数为0，据此求解即可．
【解析】解：，
∵合并同类项后是一个三次二项式，
∴，解得，
故答案为：1．
18．已知整式7a2b2-ab3-5a4b-4b5-a3,请回答下列问题:
(1)它是 次 项式,字母a的最高次数是 ,字母b的最高次数的项是 ;
(2)把整式按a的降幂排列为 ;
(3)把整式按b的升幂排列为 .
【答案】 五 五 4 -4b5 5a4b-a3-7a2b2-ab3-4b5 a3-5a4b-7a2b2-ab3-4b5
【分析】整式的次数是最高次项的次数，项数是单项式的个数；降幂排列就是按照每项的幂从大到小排列起来；同理升幂排列就是按照每项的幂从小到大排列起来.
【解析】解：(1). 该整式共有5个项，每个项的次数依次是：4，4，5，5，3.故该整式是五次五项式；
依次填空为：五、五、4、-4b5
(2). 按a的降幂排列为：5a4b-a3-7a2b2-ab3-4b5
(3). 按b的升幂排列为：a3-5a4b-7a2b2-ab3-4b5.
【点睛】本题考查了整式：几个单项式的和叫做整式，每个单项式叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项．整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数；降幂排列就是按照每项的幂从大到小排列起来，同理升幂排列就是按照每项的幂从小到大排列起来.
三、解答题
19．合并下列各式的同类项：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项，
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
．
20．化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减计算：
（1）根据合并同类项的计算法则求解即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可．
【解析】（1）解：
的值即可；
（2）根据整式是三次二项式，结合整式的概念可得到a-1≠0且a-3=0，求解的a的值，再求出即可解答此题．
【解析】解：（1）若它是关于的一次式，
则，
∴，常数项为；
（2）若它是关于的三次二项式，
则，，，
∴，所以最高次项为．
【点睛】本题考查整式的知识，需要根据整式次数和项数的定义来解答．
24．已知关于x，y的整式x4＋（m＋2）xny﹣xy2＋3．
（1）当m，n为何值时，它是五次四项式？
（2）当m，n为何值时，它是四次三项式？
【答案】（1）n＝4，m≠﹣2；（2）m＝﹣2，n为任意实数
【分析】（1）根据整式是五次四项式可知n＋1＝5，m＋2≠0，从而可求得m、n的取值；
（2）根据整式是四次三项式可知：m＋2＝0，n为任意实数．
【解析】解：（1）∵整式是五次四项式，
∴n＋1＝5，m＋2≠0，
∴n＝4，m≠﹣2；
（2）∵整式是四次三项式，
∴m＋2＝0，n为任意实数，
∴m＝﹣2，n为任意实数．
【点睛】本题主要考查的是整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．
25．已知整式
（1）把这个整式按的降冥重新排列；
（2）请指出该整式的次数，并写出它的二次项和常规项．
【答案】（1）；（2）该整式的次数为4，二次项是，常数项是．
【分析】（1）按照x的指数从大到小的顺序把各项重新排列即可；
（2）根据整式的次数的定义找出次数最高的项即是该整式的次数，再找出次数是2的项和不含字母的项即可得二次项和常数项．
【解析】（1）按的降幂排列为原式．
（2）∵中次数最高的项是-5x4，
∴该整式的次数为4，它的二次项是，常数项是．
【点睛】本题考查整式的定义，正确掌握整式次数及各项的判定方法及整式升幂、降幂排列方法是解题关键．
26．已知关于的整式．
（1）若此整式是单项式，求的值；
（2）若此整式是二次式，求的值；
（3）若此整式是二项式，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或-3.
【分析】（1）利用单项式的定义，得到且求k；（2）利用整式次数的定义，得到且k-3≠0时，是二次式，求k；（3）利用整式的定义，讨论：当且k-3≠0时，整式为二项式，所以k=-3；当k=0时，整式为二项式.
【解析】解：由题意可知：
（1）且时，原式为单项式，解得k=3；
（2）且k-3≠0时，原式是二次式，解得k=-3；
（3）当且k-3≠0时，原式为二项式，解得k=-3；
当k=0时，原式为二项式；
∴或-3.
27．是六次四项式，且的次数跟它相同
求，的值
求整式的常数项以及各项的系数和．
【答案】（1），；（2）系数和为：
【分析】根据整式的概念即可求出n与m的值，然后根据整式即可判断常数项与各项系数．
【解析】解：由题意可知：该整式时六次整式，
∴，
∴，
∵的次数也是六次，
∴，
∴
∴，该整式为：
常数项，各项系数为：，，，，
故系数和为：
【点睛】本题考查了整式与单项式，解题的关键是熟练的掌握整式与单项式的定义.
28．有三组整式：①，，；②，，2；③，，这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式组”．
(1)若某个“和谐等式组”中的第一个整式为,第二个整式为．
①直接写出m的值：__________；
②求出这个“和谐等式组”的第三个整式；
(2)若，，（m为常数）是一个“和谐等式组”，求的值．
【答案】(1)①，②
(2)
【分析】本题考查了整式的加减：
（1）观察得到式子的规律，根据规律可得到结果；和谐等式组的最后一个式子是由第一个式子减去第二个式子得到的；
（2）根据和谐等式组的特点得到结果；
得到规律并能准确计算是解题的关键．
【解析】（1）解：①通过观察可以得到“和谐等式组”第一个式子与第二个式子的二次项的系数一样，可得到，
故答案为：；
②通过观察可以得到“和谐等式组”第三个式子是由第一个式子减去第二个式子得到的，
即；
（2）解：∵，（m为常数）是一个“和谐等式组”，
∴
整理得：
∴
解得
∴
整理得：．
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