沪教版2024-2025学年七年级上册同步提升讲义第03讲整式的加减(十大题型)(学生版+解析)

第03讲 整式的加减（十大题型）
学习目标
1、知道去括号、添括号法则； 2、掌握整式的加减运算； 3、会解整式的加减运算的应用题。
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【方法规律】
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“-”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
二、添括号法则
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
【方法规律】
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“-”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号的关系如下：
如：，
三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
【方法规律】
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【即学即练1】化简：
(1)
(2)
【即学即练2】整式是 次 项式，按的升幂排列为 ．
【即学即练3】整式的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项是 ，次数最高项的系数是 ．
【即学即练4】整式是 次 项式，常数项是 ．
【即学即练5】整式是关于的三次四项式，且二次项系数是，求 ．
题型1：去括号
【典例1】．下列各式去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】．下列去括号的结果中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【典例3】．去括号，合并同类项：
(1)（2x﹣3y）﹣2（x-2y）；
(2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；
(3)（2x2y-3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；
(4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）-mn．
题型2：添括号
【典例4】．对多项式添括号，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5】．下列添括号正确的是（　　）
A．a﹣2b-3c＝a﹣（2b-3c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）
C．﹣a-b﹣c＝﹣（a﹣b-c） D．c-2a﹣b＝c-2（a﹣b）
【典例6】．下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a－（3b－c）＝2a－3b－c B．3a＋2（2b－1）＝3a＋4b－1
C．a＋2b－3c＝a＋（2b－3c） D．m－n＋a－b＝m－（n＋a－b）
【典例7】．下列去括号或添括号：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型3：整式的加减运算
【典例8】．化简：
(1)．
(2)．
【典例9】．已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（　　）
A． B． C． D．
【典例10】．计算：
(1)
(2)
题型4：根据整式的加减运算求值
【典例11】．先化简，再求值：，其中，．
【典例12】．（1）化简：；
（2）化简：；
（3）先化简，再求值：，其中，．
题型5：整式的加减运算的代数应用
【典例13】．若，，则为（ ）
A． B．
C． D．
【典例14】．若 A、B 均为四次多项式，且 A-B 为多项式，则 A-B 的次数为（ ）
A．8 次 B．4 次 C．不高于 4 次 D．不低于 4 次
【典例15】．若当x＝2时，，则当x＝－2时，求多项式的值为（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．5
【典例16】．若、、、是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
题型6：“看错，误解”问题
【典例17】．小明做完一道填空题后，不小心把墨水洒在作业本中的题目上了；
(1)如果小明的计算结果正确，请求出被墨水污染的代数式；
(2)若，求被墨水盖住的代数式的值
【典例18】．某同学计算一个多项式加上时，误认为减去此式，计算出的结果为，则正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【典例19】．已知，小明错将“”看成“”,算得结果.
(1)计算的表达式；
(2)求正确的结果的表达式；
(3)小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若求（2）中代数式的值
题型7：整式的加减运算的实际、图形应用
【典例20】．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的60包茶叶．如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ）
A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【典例21】．如图，把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图2），盒子底面未被覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B． C． D．
【典例22】．如图，两个大小正方形的边长分别是4cm和xcm（0＜x＜4）．用含x的式子表示图中阴影部分的面积为（　　）cm2．
A． B．
C． D．
题型8：不含某项、与某字母无关
【典例23】．已知：A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x-2（a为常数）
(1)当a＝时，化简：B﹣2A；
(2)在（1）的条件下，若B﹣2A﹣2C＝0，求C；
(3)若A与B的和中不含x2项，求a的值．
【典例24】．如果代数式的值与字母x所取的值无关，试求代数式的值．
【典例25】．如果关于、的代数式的值与字母所取的值无关，试化简代数式，再求值．
【典例26】．已知多项式，．
(1)求A－B；
(2)若多项式A－B的值与字母x的取值无关，求a，b的值；
(3)在（2）的条件下，求：．
题型9：新定义题
【典例27】．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，-c为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：，则下列说法中正确的个数是（　　）
①代数式进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变
②代数式进行1次“换位运算”，化简后只能得到
③代数式进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例28】．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，如果，那么我们把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数，因为，所以叫做“对头数”．判断是否是“对头数” （填是或否）；已知是一个“对头数”，个位上的数字是，百位上的数字是，且能被整除，则 ．
题型10：数字、图形规律题
【典例29】．一串数字如下：1，，5，，9，…如此下去，则第个数字与第个数字的和等于（　　）
A． B． C．2 D．
【典例30】．四个电子宠物排座位，一开始小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列位置，第三次上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2024次变换位置后，小兔坐在（ ）号位上．
A．1 B．2 C．3 D．4
A． B． C． D．
9．已知关于x的多项式的取值不含x2项，那么a的值是（　　）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
10．多项式的值（ ）
A．与的大小都无关
B．与的大小有关，与z的大小无关
C．与x的大小有关，与的大小无关
D．与的大小都有关
二、填空题
11．．
12．已知，则整式的值为 ．
13．已如，则 ．
14．一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为 ．
15．求值：
（1） ，其中；
（2） ，其中，；
（3） ，其中，.
16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如 ，则所捂住的多项式是 ．
17． .
18．已知3个多项式分别为：，，．
①若，则或8；
②若的结果为单项式，则；
③若关于x的式子的结果恒为常数，则；
④代数式化简后共有3种不同表达式．
其中正确的是 ．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
21．（1）求多项式的值，其中；
（2）求多项式的值，其中．
22．已知关于x的多项式的二次项系数为0，且当时，它的值是，求当时，该多项式的值．
23．某位同学做一道题：已知两个多项式、，若，求的值．他误将看成，求得结果为．
(1)求多项式的表达式；
(2)求的正确答案．
24．已知 ．
(1)求；
(2)若，求C．
25．已知关于，的多项式不含四次项，求的值．
26．已知含字母m，n的整式．
（1）化简这个整式；
（2）小明取m，n互为倒数的一对数值代入化简后的整式中，恰好计算得整式的值等于0．那么小明所取的字母n的值等于多少？
27．对于有理数a，b，定义．
（1）计算：①；
②；
（2）化简式子；
（3）求的值，共中．
28．阅读材料：
我们知道，4x-2x-x=(4-2-1)x=3x，类似地，我们把(a-b)看成一个整体，则4(a-b)-2(a-b)-(a-b)=(4-2-1)(a-b)=3(a-b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把(a b)2看成一个整体，合并3(a b)2 6(a b)2-2(a b)2的结果是___．
（2）已知=4，求 21的值；
（3）已知a 2b=3，2b c= 5，c d=10，求(a c)-(2b d) (2b c)的值．
29．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过的部分 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
(1)当时，
①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元．
②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元．
③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元．
(2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）．
(3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示）
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第03讲 整式的加减（十大题型）
学习目标
1、知道去括号、添括号法则； 2、掌握整式的加减运算； 3、会解整式的加减运算的应用题。
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【方法规律】
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“-”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
二、添括号法则
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
【方法规律】
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“-”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号的关系如下：
如：，
三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
【方法规律】
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，带分数要化成假分数．
【即学即练1】下列各式去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号法则逐个判断即可．
【解析】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、，故D选项不符合题意．
【即学即练2】化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
（1）先去括号，再合并同类项，即可得出结论；
（2）先去括号，再合并同类项，即可得出结论；
（3）先去括号，再合并同类项，即可得出结论；
（4）先去括号，再合并同类项，即可得出结论．
【解析】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【即学即练3】求值：
(1)求的值，其中；
(2)已知，求整式的值．
【答案】(1)，
(2)22
【分析】本题主要考查了整式加减混合运算和化简求值，绝对值的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项，然后代入即可求解；
（2）先去括号，再合并同类项，然后代入即可求解；
【解析】（1）解：
，
当时，
原式 ；
（2）解：
当时，
原式 ．
【即学即练4】下面是小芳做的－道多项式的加减运算题，但她不小心把－滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的加减运算，正确计算是解题的关键．
【解析】
，
【即学即练5】已知是长方形，以为直径的圆弧与只有一个交点，且=．
(1)用含a的代数式表示阴影部分面积；
(2)当时，求阴影部分面积（取3）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了不规则图形的面积的求法，列代数式，整式的加减运算，代入求值．
（1）阴影部分面积等于三角形的面积减去左上角空白部分的面积，列式表示并化简即可解答；
（2）把a的值代入（1）中计算即可得出答案．
【解析】（1）解：由图可知
∴阴影部分的面积为：
；
（2）解：当时，
阴影部分面积，
答：阴影部分面积为．
题型1：去括号
【典例1】．下列各式去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号的法则对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“ ”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
【典例2】．下列去括号的结果中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据去括号法则，括号外面是负号，括号里面每一项都要变号．
【解析】解：，故选项B符合题意．
【点睛】本题考查去括号．熟练掌握去括号法则，是解题的关键．
【典例3】．去括号，合并同类项：
(1)（2x﹣3y）﹣2（x-2y）；
(2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；
(3)（2x2y-3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；
(4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）-mn．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】先去括号，然后合并同类项即可．
【解析】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
【点睛】本题考查了去括号，合并同类项．解题的关键与难点在于正确的去括号．
题型2：添括号
【典例4】．对多项式添括号，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据添括号法则：括号前面是正号，括号里面每一项的符号不变，括号前面为负号，括号里面的每一项都要变号，进行判断即可．
【解析】解：多项式添括号，可得：；
故选A．
【点睛】本题考查添括号．熟练掌握添括号法则，是解题的关键．
【典例5】．下列添括号正确的是（　　）
A．a﹣2b-3c＝a﹣（2b-3c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）
C．﹣a-b﹣c＝﹣（a﹣b-c） D．c-2a﹣b＝c-2（a﹣b）
【答案】B
【分析】根据添括号法则求解判断即可．
【解析】解：A、，错误，不符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了添括号，熟知添括号法则以及添括号要变号的情形是解题的关键．
【典例6】．下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a－（3b－c）＝2a－3b－c B．3a＋2（2b－1）＝3a＋4b－1
C．a＋2b－3c＝a＋（2b－3c） D．m－n＋a－b＝m－（n＋a－b）
【答案】B
【分析】由去括号和添括号的法则可直接判断各个选项的正误，进而得到答案．
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
【点睛】本题考查去括号和添括号，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【典例7】．下列去括号或添括号：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据添括号和去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：①，故本选项正确；
②，故本选项错误；
③，故本选项错误；
④，故本选项正确；
其中正确的有①④；
【点睛】本题考查的是去括号和添括号，添括号时，若括号前是“-”，添括号后，括号内的各项都不改变符号，若括号前是“—”，添括号后，括号内的各项都改变符号；去括号时，若括号前是“-”，去括号后，括号内的各项都不改变符号，若括号前是“—”，去括号后，括号内的各项都改变符号．
题型3：整式的加减运算
【典例8】．化简：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先去括号，再合并同类项，即可求得结果；
(2)首先去括号，再合并同类项，即可求得结果．
【解析】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用整式混合运算的方法是解决本题的关键．
【典例9】．已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的加减运算互逆的关系即可得．
【解析】解：由题意得：这个多项式是：
，
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
【典例10】．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据合并同类项法则把系数相加减，字母与字母的次数不变，即可求解；
（2）先去掉括号，再合并同类项；
【解析】（1）解：原式=
=；
（2）解：原式=
=．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型4：根据整式的加减运算求值
【典例11】．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，22
【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将，代入计算即可得．
【解析】解：原式
，
将，代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
【典例12】．（1）化简：；
（2）化简：；
（3）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）（2）（3），-3
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可；
（3）按去括号、合并同类项的顺序化简原式，再将x、y的值代入求值即可．
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简及整式化简求值的知识，熟练掌握去括号和合并同类项的方法是解题关键．
题型5：整式的加减运算的代数应用
【典例13】．若，，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据整式的加减计算法则求解即可．
【解析】解：∵，，
∴，
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【典例14】．若 A、B 均为四次多项式，且 A-B 为多项式，则 A-B 的次数为（ ）
A．8 次 B．4 次 C．不高于 4 次 D．不低于 4 次
【答案】B
【分析】根据整式加减时合并同类项法则即可得出结论．
【解析】解：根据整式加减时合并同类项法则，得到A-B，若四次项是同类项，且系数互为相反数，则次数低于四次；
故次数一定是不高于四次的整式．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
【典例15】．若当x＝2时，，则当x＝－2时，求多项式的值为（ ）
A．－5 B．－2 C．2 D．5
【答案】A
【分析】将x＝2代入，得，进而得，将x＝－2代入，得代数式，利用整体思想代入即可求解．
【解析】解：将x＝2代入，得
∴
将x＝－2代入，得=1-3=-2
【点睛】本题主要考查了整式中的整体思想，根据已知条件找出含字母部分的倍分关系是解题的关键．
【典例16】．若、、、是正整数，且，，，设的最大值为，最小值为，则（ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
【答案】D
【分析】根据题意可得，，，再将其代入中进行化简即可得出答案．
【解析】解：，，，
，，，
，
、、、是正整数，且，
，
，为正整数，
的最小值为1，的最大值为19，
当时，的最大值为，
当时，的最小值为，
，
【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是会用含一个字母的式子表示另一个字母．
题型6：“看错，误解”问题
【典例17】．小明做完一道填空题后，不小心把墨水洒在作业本中的题目上了；
(1)如果小明的计算结果正确，请求出被墨水污染的代数式；
(2)若，求被墨水盖住的代数式的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用减去，即可求解；
（2）将代入（1）的结果进行计算即可求解．
【解析】（1）解：被墨水污染的代数式为
；
（2）当时，．
【点睛】本题考查了整式的加减，化简求值，正确的计算是解题的关键．
【典例18】．某同学计算一个多项式加上时，误认为减去此式，计算出的结果为，则正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用加求出原多项式，再准确计算即可．
【解析】解：根据题意可知，一个多项式减去时，计算出的结果为，
这个多项式为：，
那么，，
【点睛】本题考查了整式的加减，解题关键是准确理解题意，利用加减法的逆运算求解．
【典例19】．已知，小明错将“”看成“”,算得结果.
(1)计算的表达式；
(2)求正确的结果的表达式；
(3)小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若求（2）中代数式的值
【答案】(1)
(2)
(3)对，与无关；0
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（2）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（3）根据（2）中的结果，即可得到结论，进而代入求值即可 ．
【解析】（1）解：，
（2）解：
（3）解：将，代入，得：
原式=
【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算法则，化简求值，掌握去括号法则与合并同类项法则，是解题的关键．
题型7：整式的加减运算的实际、图形应用
【典例20】．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（）的价格进了同样的60包茶叶．如果以每包元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ）
A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【答案】D
【分析】先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可．
【解析】解：由题意得，进货成本，销售额，
故
∵，
∴，
∴这家商店盈利．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
【典例21】．如图，把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图2），盒子底面未被覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设图①小长方形的长为，宽为，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和，根据题意得到，代入计算即可得到结果．
【解析】解： 设小长方形的长为，宽为，
上面的长方形周长：，
下面的长方形周长：，
两式联立， 总周长为：
，
根据图②可知，，
阴影部分总周长为：
，故D正确．
【点睛】此题考查了列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握运算法则，准确计算是解本题的关键．
【典例22】．如图，两个大小正方形的边长分别是4cm和xcm（0＜x＜4）．用含x的式子表示图中阴影部分的面积为（　　）cm2．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用两个正方形的面积减去3个空白三角形的面积即可．
【解析】解：阴影部分的面积为42-x2-（4-x）×4-x2-×4（4-x）
=16-x2-8-2x-x2-8-2x
=x2（cm2）．
【点睛】此题考查列代数式，整式的加减，掌握组合图形的面积一般都是将它转化到已知的规则图形中进行计算是解决问题的关键．
题型8：不含某项、与某字母无关
【典例23】．已知：A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x-2（a为常数）
(1)当a＝时，化简：B﹣2A；
(2)在（1）的条件下，若B﹣2A﹣2C＝0，求C；
(3)若A与B的和中不含x2项，求a的值．
【答案】(1)原式=2x2-4
(2)C=x2-2
(3)a=﹣3
【分析】（1）将A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x-2当作一个整体代入，再根据整式的加减运算化简求值即可；
（2）根据整式的加减运算顺序即可求解；
（3）根据和中不含x2项即是此项的系数为0即可求解．
【解析】（1）解：（1）B﹣2A＝3x2﹣2x-2﹣2（ax2﹣x﹣1）
＝（3﹣2a）x2-4
当a＝时，原式＝2x2-4．
（2）（2）∵B﹣2A﹣2C＝0，B﹣2A＝2x2-4，
∴2x2-4﹣2C＝0，
∴C＝x2-2．
（3）（3）∵A-B＝ax2﹣x﹣1-3x2﹣2x-2
＝（a-3）x2﹣3x-1
∵不含x2项，
∴a-3＝0，
∴a＝﹣3．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减运算顺序．注意代入A和B时，要将A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x-2当作一个整体代入，括号不能忘记．
【典例24】．如果代数式的值与字母x所取的值无关，试求代数式的值．
【答案】
【分析】去括号后合并得出，根据已知得出2-2b=0，a-3=0，求出b=1，a=-3，把求值的代数式整理后代入求出即可．
【解析】解：
=
=，
∵代数式的值与字母x所取的值无关，
∴2-2b=0，a-3=0，
b=1，a=-3，
∴
=
=
=
=
=．
【点睛】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．
【典例25】．如果关于、的代数式的值与字母所取的值无关，试化简代数式，再求值．
【答案】，．
【分析】对关于、的代数式去括号，合并同类项，化简后根据其值与字母所取的值无关列式求出a，b的值，然后对所求代数式去括号，合并同类项，化简后把a、b的值代入计算即可．
【解析】解：
，
∵代数式的值与字母x所取的值无关，
∴2 2b＝0，a＋3＝0，
解得：b＝1，a＝ 3，
；
当b＝1，a＝ 3时，原式．
【点睛】此题主要考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
【典例26】．已知多项式，．
(1)求A－B；
(2)若多项式A－B的值与字母x的取值无关，求a，b的值；
(3)在（2）的条件下，求：．
【答案】(1)
(2)，
(3)5249
【分析】（1）先列式，再根据整式减法法则计算即可；
（2）与字母x的取值无关，则含x项的系数为0，即可求值；
（3）找到规律计算即可．
【解析】（1）
；
（2）由（1）结论可知，
多项式的值与字母的取值无关；
∴
∴
（3）
当时
．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型9：新定义题
【典例27．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，-c为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位运算”，得到：，则下列说法中正确的个数是（　　）
①代数式进行1次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变
②代数式进行1次“换位运算”，化简后只能得到
③代数式进行1次“换位运算”，化简后可能得到7种结果
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义及整式的运算是解题的关键．根据括号外面是“-”，去括号不改变括号里面式子的符号；括号外面是“”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解．
【解析】解：①代数式进行一次“换位运算”，当b、c进行“换位运算“，时，与原结果相等，
故①符合题意；
②在代数式中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号，故化简后只能得到一种结果，均为，故②符合题意；
③代数式中，有三种情况：
（1）a与b进行换位思考以及三个数中任意两个进行换位思考，化简后只有1种结果，均为：；
（2）a与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为：
；
（3）b与分别进行换位思考，化简后得到3种结果，分别为：，
故该代数式共得到7种结果，故③符合题意；
【典例28】．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，如果，那么我们把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数，因为，所以叫做“对头数”．判断是否是“对头数” （填是或否）；已知是一个“对头数”，个位上的数字是，百位上的数字是，且能被整除，则 ．
【答案】 否
【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值；新定义的运算法则，利用“对头数”的定义进行验证，即可得到答案；由题意可设这个四位数的十位数为a，千位数为b．然后根据7的倍数关系，以及“对头数”的定义，利用分类讨论思想进行分析，即可得到答案．
【解析】解：在中，因为，
∴不是“对头数”．
由题可得，设这个四位数的十位数为，千位数为，且，，
四位正整数是“对头数”，
，则，
，即，
这个四位数为：
，
，，
，
∵这个“对头数”能被整除，即这个四位数是的倍数，
必须是的倍数；
的正整数，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上所述，这个“对头数”为：．
故答案为：否；．
题型10：数字、图形规律题
【典例29】．一串数字如下：1，，5，，9，…如此下去，则第个数字与第个数字的和等于（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意可推导一般性规律为，第个数为，则第个数字为，第个数字为，然后求和作答即可．
【解析】解：∵1，，5，，9，…，
∴可推导一般性规律为，第个数为，
∴第个数字为，第个数字为，
∴第个数字与第个数字的和等于，
【典例30】．四个电子宠物排座位，一开始小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列位置，第三次上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2024次变换位置后，小兔坐在（ ）号位上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了图形的变换类，解题的关键是根据变换的规则，找出小兔的座号分别为：1、2、4、3，并且4次一循环．根据变换的规则可知，小兔的座号分别为：1、2、4、3，4次一循环，再看2024除以4余数为几，即可得出结论．
【解析】解：第1次交换后小兔所在的座号是1，第2次交换后小兔所在的座号是2，第3次交换后小兔所在的座号是4，第4次交换后小兔所在的座号是3，后面重复循环．
∵，
∴第2024次交换后小兔所在的座号是3．
A．1 B．2 C．3 D．4
一、单选题
1．下列去括号正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了去括号，根据去括号法则：“括号前面为正号时，直接将括号和正号去掉，括号内各项的符号不变；括号前面为负号时，直接将括号和负号去掉，括号内各项的符号改变；”逐项进行判断即可．
【解析】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
2．下列去括号、添括号的结果中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据添括号、去括号法则处理，注意括号前为负号时，添括号或去括号时各项变号．
【解析】解：A. ，原变形错误，本选项不合题意；
B. ，正确，本选项符合题意；
C. ，原变形错误，本选项不合题意；
D. ，原变形错误，本选项不合题意；
故选：B
【点睛】本题考查添括号、去括号法则，注意括号前为负号时的变号问题．
3．下列整式的加减，结果是单项式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整数的加减计算法则先化简，然后根据单项式的定义：由数或字母的乘积组成的代数式，进行判断即可得到答案．
【解析】解：A．原式，不符合题意；
B．原式，不符合题意；
C．原式，符合题意；
D．原式，不符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，单项式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
4．多项式与的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的加减法法则即可得．
【解析】，
，
，
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．小文在做多项式减法运算时，将减去误认为是加上，求得的答案是（其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据加减互逆运算关系得出这个多项式为：，去括号，合并同类项可得该多项式为：，再根据题意列出进一步求解即可
【解析】根据题意，这个多项式为：
，
，
则正确的结果为：
，
，
，
【点睛】本题主要考查多项式的运算，解题关键是掌握整式的加减运算顺序和运算法则及加减互逆的运算关系．
6．若A与B都是二次多项式，则关于A﹣B的结论，下列选项中正确的有（　　）
A．一定是二次式 B．可能是四次式
C．可能是一次式 D．不可能是零
【答案】B
【分析】根据题中描述，只知道A与B都是二次多项式，每个式子的项数，以及是否含有同类项都不知道，所以可以知道的是A﹣B得到的多项式，最高次项次数不可能超过2次，可以是2次，也可以次数较低，也有可能是0，即可得出答案.
【解析】解：A. 若A与B两个多项式中的二次项是同类型且系数相同，则结果就不一定是二次式了，所以A错误；
B. 因为A与B两个多项式次数最高都是2，所以结果不可能是四次式，所以B错误；
C. 当A与B两个多项式的二次项是同类项且二次项系数相同，并且两个式子中含有一次项且系数不同时，结果为一次式，所以C正确；
D. 当A与B两个多项式一样时，结果可为0，所以D错误；
故答案选：C.
【点睛】本题考查整式的加减，要根据题中给出的有限条件考虑各种条件，在判断选项是否正确时，可通过举反例的方法进行验证.
7．如果两个整式进行加法运算的结果为，则这两个整式不可能是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】B
【分析】由整式的加法运算，把每个选项进行计算，再进行判断，即可得到答案．
【解析】解：A选项、，不符合题意；
B选项、，不符合题意；
C选项、，符合题意；
D选项、，不符合题意．
【点睛】本题考查了整式的加法运算，解题的关键是熟练掌握整式加法的运算法则进行解题．
8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m厘米，宽为n厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖，部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（ ）厘米．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
【解析】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L上面的阴影=2（n-a-m-a），
L下面的阴影=2（m-2b-n-2b），
∴L总的阴影=L上面的阴影-L下面的阴影=2（n-a-m-a）-2（m-2b-n-2b）=4m-4n-4（a-2b），
又∵a-2b=m，
∴4m-4n-4（a-2b），
=4n．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
9．已知关于x的多项式的取值不含x2项，那么a的值是（　　）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】先去括号、合并同类项化简，然后根据题意令x2的系数为0即可求出a的值．
【解析】解：
=
=
∵关于x的多项式的取值不含x2项，
∴
解得：
故选D．
【点睛】此题考查的是整式的加减：不含某项的问题，掌握去括号法则、合并同类项法则和不含某项即化简后，令其系数为0是解决此题的关键．
10．多项式的值（ ）
A．与的大小都无关
B．与的大小有关，与z的大小无关
C．与x的大小有关，与的大小无关
D．与的大小都有关
【答案】D
【分析】根据去括号、合并同类项进行化简，再进行判断即可．
【解析】解：原式，
所以与的大小都无关．
【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则进行解题．
二、填空题
11．．
【答案】
【分析】根据减数＝被减数﹣差，列出算式计算即可求解．
【解析】解：
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的加减，关键是熟悉减数＝被减数﹣差的知识点．
12．已知，则整式的值为 ．
【答案】5
【分析】根据题意化简代数式，再代入数值求解即可.
【解析】因为，所以原式．
故答案为5
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练的掌握代数式的运算．
13．已如，则 ．
【答案】
【分析】先把两式相加求解 再求解的相反数即可得到答案.
【解析】解：
两式相加可得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，相反数的含义，掌握去括号的法则与合并同类项的法则是解题的关键.
14．一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为 ．
【答案】
【分析】根据题意先表示个位数为：再表示百位数为：从而可得答案.
【解析】解： 一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，
个位数为： 百位数为：
所以这个三位数为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算，一个三位数的百位，十位，个位为分别为 则这个三位数表示为： 掌握列式的方法是解题的关键.
15．求值：
（1） ，其中；
（2） ，其中，；
（3） ，其中，.
【答案】 20 6 0
【分析】先根据去括号、合并同类项法则进行化简，然后再代入求值即可.
【解析】（1）原式= ，
当时，原式=；
（2）原式=，
当，时，原式=；
（3）原式=.
【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握去括号、合并同类项法则是解题的关键.
16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如 ，则所捂住的多项式是 ．
【答案】
【分析】根据加减法互为逆运算移项,然后去括号、合并同类项即可．
【解析】解: 捂住的多项式是:
=
=
故答案为: ．
【点睛】此题考查的是整式的加减法,掌握去括号法则和合并同类项法则是解决此题的关键．
17． .
【答案】
【分析】根据整式的加减即可求解.
【解析】原式
.
答案：
【点睛】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知整式的加减运算法则.
18．已知3个多项式分别为：，，．
①若，则或8；
②若的结果为单项式，则；
③若关于x的式子的结果恒为常数，则；
④代数式化简后共有3种不同表达式．
其中正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】将、、按要求代入各选项计算即可．本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
【解析】解：①，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，故①正确；
②
，
若为单项式，则或，
解得：或，故②错误；
③
，
若为常数项，则，
解得，故③正确；
④
，
当时，
原式；
当时，
原式；
当时，
原式．
代数式化简后共有3种不同表达式，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可．
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【解析】（1）
（2）
【点睛】本题考查整式的加减混合运算．掌握整式的加减混合运算法则是解答本题的关键．
20．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）．
【分析】去括号法则：括号前面是“-”号，把括号与括号前面的“-”号去掉，括号内各项不改变符号，括号前面是“-”号，把括号与括号前面的“-”号去掉，括号内各项改变符号，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；合并同类项的法则：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，根据去括号的法则把（1）至（8）小题先去括号，再合并同类项即可.
【解析】解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

（6）
（7）
（8）
【点睛】本题考查的是去括号，合并同类项，掌握去括号的法则，合并同类项的法则是解题的关键.
21．（1）求多项式的值，其中；
（2）求多项式的值，其中．
【答案】（1），；（2），1
【分析】（1）将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变，合并完同类项再代入求值；
（2）先合并同类项再代入求值即可．
【解析】解：（1）
．
当时，原式．
（2）
．
当时，原式．
【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握其法则及公式是解决此题的关键．
22．已知关于x的多项式的二次项系数为0，且当时，它的值是，求当时，该多项式的值．
【答案】5
【分析】根据题意先将多项式化简，再根据多项式的二次项系数为0，进一步化简代数式，根据时的值为求得，再将其代入时的代数式中求解即可．
【解析】
多项式的二次项系数为0，
即，
原式，
当时，，
即，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整数的加减，多项式的系数，代数式求值，整体代入是解题的关键．
23．某位同学做一道题：已知两个多项式、，若，求的值．他误将看成，求得结果为．
(1)求多项式的表达式；
(2)求的正确答案．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
（1）根据题意，可以计算出的值；
（2）根据（1）中的值和题意，可以计算出的正确答案．
【解析】（1）解：由题意可得，
，，
；
（2），，
．
24．已知 ．
(1)求；
(2)若，求C．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把 代入，再去括号，合并同类项，即可作答．
（2）先得出，再结合，代入计算化简，即可作答．
【解析】（1）
（2）
∵
∴
．
25．已知关于，的多项式不含四次项，求的值．
【答案】-2
【分析】根据合并同类项，可化简整式，根据多项式不含四次项，可得四次项的系数为零，可得m、n的值，根据代数求值，可得答案．
【解析】解：，
因为此多项式不含四次项．所以，即，
所以．
【点睛】本题考查了多项式，先化简整式，在确定项的系数，最后代数式求值．
26．已知含字母m，n的整式．
（1）化简这个整式；
（2）小明取m，n互为倒数的一对数值代入化简后的整式中，恰好计算得整式的值等于0．那么小明所取的字母n的值等于多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用整式的加减计算法则进行化简即可得到答案；
（2）根据倒数的定义可得，然后代入（1）中化简的结果求解即可．
【解析】解：（1）原式
=;
（2）由题意得：，
=
=；
把代入得：==．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和整式的加减，解题的关键是掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序，整式加减的运算法则．
28．阅读材料：
我们知道，4x-2x-x=(4-2-1)x=3x，类似地，我们把(a-b)看成一个整体，则4(a-b)-2(a-b)-(a-b)=(4-2-1)(a-b)=3(a-b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把(a b)2看成一个整体，合并3(a b)2 6(a b)2-2(a b)2的结果是___．
（2）已知=4，求 21的值；
（3）已知a 2b=3，2b c= 5，c d=10，求(a c)-(2b d) (2b c)的值．
【答案】（1）；（2）-9；（3）8
【分析】（1）把(a b)2看成一个整体，然后合并3(a b)2 6(a b)2-2(a b)2即可得到答案；
（2）根据，利用即可求解；
（3）先根据a 2b=3，2b c= 5，c d=10，得到，即可得到，再把(a c)-(2b d) (2b c)去括哈合并同类项即可求解.
【解析】解：（1）
；
（2）∵，
∴；
（3）(a c)-(2b d) (2b c)
，
∵a 2b=3，2b c= 5，c d=10，
∴，
∴，
∴
∴(a c)-(2b d) (2b c)=8.
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练运用整体的思想进行求解.
29．我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过的部分 元
超过但不超过的部分 元
超过的部分 元
(1)当时，
①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元．
②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元．
③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元．
(2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）．
(3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示）
【答案】(1)①6；②27；③60
(2)
(3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元
【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费；
（2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当时，该用户应缴纳的水费；
（3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可．
【解析】（1）解：由题意可知：
①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：6；
②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：27；
③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）；
故答案为：60；
（2）由题意可得：
（元），
∴当时，该户应缴纳的水费为元，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
；
当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
；
当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
；
综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
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