选择性必修第二册人教A版第四章单元测试卷（含解析）

第4章　数　列　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列1,,,,3,,…,,…,则是这个数列的 (　　)
A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项
2.各项均为正数的等比数列{an}中,每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q= (　　)
A. B. C. D.
3.等比数列{an}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4等于 (　　)
A.8 B.-8 C.±8 D.以上选项都不对
4.已知等差数列{an}中,a5+a9-a7=10,记Sn=a1+a2+…+an,则S13= (　　)
A.130 B.260 C.156 D.168
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=3 875,S9=144,an-4=139,则n的值为 (　　)
A.60 B.55 C.50 D.45
6.设Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和,S3=,且S1,S2,S4成等比数列,则a10= (　　)
A.15 B.19 C.21 D.30
7.等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,数列{bn}满足b1=,当n≥2时,bn-bn-1=,则数列{bn}的通项公式为 (　　)
A.2n-3 B.2n-2 C. - D.+
8.数列{an}满足a1=1,an=(n≥2,n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则 (　　)
A.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则(　　)
A.d<0 B.a16<0 C.Sn≤S15 D.当且仅当Sn<0时,n≥32
10.在《算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”则下列说法正确的是 (　　)
A.此人第二天走了九十六里路
B.此人第三天走的路程占全程的
C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D.此人后三天共走了42里路
11.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项的积为Tn,并满足条件a1>1,a2 022a2 023>1,<0,下列结论正确的是 (　　)
A.S2 022C.T2 022是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=　　　　.
13.已知等差数列{an}中,a3=7,a6=16,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:
a1
a2　a3
a4　a5　a6
a7　a8　a9　a10
…　…　…　…　…
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是　　　.
14.已知数列{an}满足=n-1(n∈N*),a1+a2+a3=75,记Sn=a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+…+anan+1·an+2,则a2=　　　　,使得Sn取得最大值的n的值为　　　　.(本题第一空2分,第二空 3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn,n=1,2,3,….
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
16.(15分)已知数列{an}满足a1=3,且对任意的n∈N*,都有1,an,an+1成等差数列.
(1)证明数列{an-1}为等比数列;
(2)已知数列{bn}的前n项和为Sn,且有条件①:bn=(an-1)(2n+1),条件②:bn=,请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件来求数列{bn}的前n项和Sn.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
17.(15分)已知数列{an}中,a1=1,anan+1=()n.
(1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}都是等比数列;
(2)若数列{an}的前2n项和为T2n,令bn=(3-T2n)·n(n+1),求数列{bn}的最大项.
18.(17分)函数f(x)=lg ,数列{an}满足an=f()+f()+f()+…+f().
(1)求证:f(x)+f(1-x)为定值,并求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项和为Sn,数列{}的前n项和为Tn,若Tn≤λ·Sn对n∈N*恒成立,求λ的取值范围.
19.(17分)某公司一下属企业负责某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
　第4章　数　列　单元测试卷　参考答案
1.B　经观察可知该数列的通项公式为an=(事实上,根号内的数成首项为1,公差为2的等差数列),令21=2n-1,解得 n=11.
2.C　由题意知an=an+1+an+2=anq+anq2,即q2+q-1=0,解得q=(负值已舍去).
3.A　∵a2+a6=34,a2a6=64,∴=64,且a2>0,a6>0,∴a4=a2q2>0(q为公比),∴a4=8.
4.A　∵数列{an}为等差数列,且a5+a9-a7=10,∴(a5+a9)-a7=2a7-a7=a7=10,则S13==13a7=130.故选A.
5.C　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由题意可得解得
故选C.
6.B　由S3=得3a2=,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列可得=S1·S4,又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d),化简得3d2=2a2d,又d≠0,∴a2=3,d=2,a1=1,∴an=1+2(n-1)=2n-1,∴a10=19.
7.A　设数列{an}的公比为q,根据题意得,a1+a3=10,a2+a4=5,
所以解得故an=()n-4,
当n≥2时,bn-bn-1==2n-4,
故bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=+2-2+2-1+…+2n-4=+=2n-3.
8.D　因为an=(n≥2),
所以当n≥2时,==4++=(2+)2+≥(2+)2,
所以≥2+(n≥2),即-≥2(n≥2),
由累加法可得-≥2(n-1),
所以≥+2(n-1)=2n-1(n≥2),
当n=1时,=1满足上式,
所以≥2n-1(n∈N*),
所以an≤≤=(-)(n≥2),
所以Sn≤a1+(1-+-+…+-)=1+(1-)=-<,
故S2 023<,
因为an>0,所以S2 023=a1+a2+…+a2 023>a1=1,所以19.ABC　由题意得,S10=S20,a11+a12+…+a20=0,即a15+a16=0,也即2a1+29d=0(d为公差),因为a1>0,所以d<0,所以a16<0,Sn≤S15.所以A,B,C正确.由于S2n=n(an+an+1),S2n-1=(2n-1)an, S30=15(a15+a16)=0,S31=31a16<0,所以D不正确.故选ABC.
10.ACD　设第n天走的路程为an(单位:里)(1≤n≤6,n∈N*),{an}的前n项和为Sn,则数列{an}是公比q=的等比数列,由题意知S6=378,即S6==378,解得a1=192,故an=192×=(1≤n≤6,n∈N*).
对于A,令n=2得,a2==96,即此人第二天走了九十六里路,故A正确;
对于B,令n=3得,a3==48,故此人第三天走的路程占全程的=,故B错误;
对于C,由a1=192知,S6-a1=378-192=186,故此人第一天走的路程比后五天走的路程多192-186=6(里),故C正确;
对于D,易知S6-S3=378-(192+96+48)=42,即此人后三天共走了42里路,故D正确.故选ACD.
11.AC　∵a1>1,a2 022a2 023>1,<0,
∴a2 022>1,0根据a1>1,0a2>…>a2 022>1>a2 023>…>0.
∵S2 023-S2 022=a2 023>0,∴S2 022∵S2 022>1,S2 023>1,∴S2 022·S2 023>1,
即S2 022S2 023-1>0,故选项B错误.
根据a1>a2>…>a2 022>1>a2 023>…>0,可知T2 022是数列{Tn}中的最大项,故选项C正确,选项D错误.
12.-6　S8==4(a3+a6),由于S8=4a3,所以a6=0.又a7=-2,所以a8=-4,a9=-6.
13.598　第1行有1项,第2行有2项,第3行有3项,故前19行共有19×1+×1=190(项),第20行第10项为数列{an}中的第200项.又a3=7,a6=16,∴公差d===3,∴an=a3+(n-3)·d=7+3(n-3)=3n-2,∴a200=3×200-2=598.
14.25　10　因为n∈N*,所以取n=1,则a1-28=0,可得a1=28,取n=2,可得=1,即a3=2a2-28,又a1+a2+a3=75,可得a2=25,a3=22.
当n≥2时,由=n-1,得-=-,
可令cn=(n≥2),则cn-cn-1=28(-),
由cn=c1+(c2-c1)+…+(cn-cn-1)=c1+28×(-1+-+…+-),可得cn=c1+28(-1)=a2+28(-1),则an+1=ncn=na2+28(1-n)=28+n(a2-28),故an+1=28-3n(n≥2),所以an=31-3n(n≥3),
又a1=28,a2=25,也符合上式,所以an=31-3n.
设bn=anan+1an+2=(31-3n)(28-3n)(25-3n),
令bn≥0,则可得(31-3n)(28-3n)(25-3n)≥0,解得1≤n≤8(n∈N*)或n=10,
又b9=-8,b10=10,所以n=10时,Sn取得最大值.
15.(1)已知an+1=2Sn,则an=2Sn-1(n≥2),
两式相减可得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an,即an+1=3an,即=3(n≥2),
所以当n≥2时,数列{an}是公比为3的等比数列,a2=2S1=2a1=2,
则an=a2·3n-2=2·3n-2(n≥2),
因为a1=1,不符合上式,
所以数列{an}的通项公式为an=
(2)由(1)知,Sn=1+2×30+2×31+…+2×3n-2=1+=1+3n-1-1=3n-1,
所以数列{an}的前n项和Sn=3n-1.
16.(1)由条件可知1+an+1=2an,即an+1=2an-1,
则an+1-1=2(an-1),且a1-1=2≠0.
所以{an-1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知,an-1=2n,即an=2n+1.
选择条件①:bn=(an-1)(2n+1)=(2n+1)·2n,
则Sn=3·21+5·22+7·23+…+(2n+1)·2n,
2Sn=3·22+5·23+7·24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,
两式相减得,
-Sn=3·21+2·22+2·23+2·24+…+2·2n-(2n+1)·2n+1=6+-(2n+1)·2n+1=-2-(2n-1)·2n+1,
所以Sn=2n+1(2n-1)+2(n∈N*).
选择条件②:bn==(n+1)·()n,
则Sn=2·+3·+4·+…+(n+1)·,
Sn=2·+3·+4·+…+n·+(n+1)·,
两式相减得,Sn=1++++…+-(n+1)·=1+-(n+1)·=-(n+3)·()n+1,所以Sn=3-(n+3)()n(n∈N*).
17.(1)数列{an}中,a1=1,anan+1=()n,
∴an+1an+2=()n+1,∴=.
∵a1=1,∴a2=,
故数列{a2n-1}是以1为首项,为公比的等比数列,数列{a2n}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-.
∴bn=(3-T2n)n(n+1)=3n(n+1)()n,
∴bn+1-bn=3(n+1)()n(-n)=3(n+1)()n+1(2-n),∴b3=b2>b1,且b3>b4>b5>…,
故{bn}的最大项是b2=b3.
18.(1)f(x)+f(1-x)=lg +lg =lg(×)=lg 100=2,
则an=f()+f()+f()+…+f(),
an=f()+f()+f()+…+f(),
两式相加,得2an=2(2n-1),即an=2n-1.
(2)由(1)得,an+1-an=2(n+1)-1-2n+1=2,
所以{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,
所以Sn==n2,
==+(-),
Tn=+×(1-+-+-+…+-)=+(1-)=.
则≤λn2,所以λ≥.
设g(n)==,
设h(n)=4(n+1)+-6,n∈N*,
由对勾函数的性质得,当n=1时,h(n)取得最小值,即 h(n)=4(n+1)+-6≥h(1)=3,
所以当n=1时,g(n)取得最大值,即g(n)=≤g(1)=,
所以λ≥,即λ的取值范围为[,+∞).
19.(1)由题意得a1=2 000×(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d,an+1=an(1+50%)-d=an-d.
(2)由(1)得an=an-1-d=(an-2-d)-d=()2·an-2-d-d=…=()n-1a1-d[1++()2+…+()n-2],
整理得an=()n-1(3 000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1·(3 000-3d)+2d.
由题意知am=4 000,所以()m-1(3 000-3d)+2d=4 000,解得d=.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.