选择性必修第二册人教A版第五章单元测试卷（含解析）

第5章　一元函数的导数及其应用　单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数f(x)=,则= (　　)
A.2 B.1 C. D.
2.已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为s(t)=2t2+t.则当t=5时,该运动员的滑雪速度为 (　　)
A.17.5 m/s B.21.5 m/s C.38 m/s D.57.5 m/s
3.若函数f(x)=x3-f '(1)·x2-x,则f '(1)的值为(　　)
A.0 B.2 C.1 D.-1
4.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为 (　　)
A.x+4y+3=0 B.x+4y-9=0 C.4x-y+3=0 D.4x-y-2=0
5.函数y=-2sin x的图象大致是 (　　)
A B C D
6.已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c= (　　)
A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1
7.定义方程f(x)=f '(x)的实根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x) =xex+1, h (x) =ln x+1,φ(x)=x3-1的“新驻点”分别为a, b, c,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a
8.已知函数f(x)=|ex-2ln x|+t有四个零点,则实数t的取值范围为 (　　)
A.(2ln 2-1,+∞) B.(1-2ln 2,0) C.(0,2ln 2-1) D.(-∞,1-2ln 2)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.在下列区间中,函数y=xcos x-sin x单调递减的是 (　　)
A.(-π,0) B.(,) C.(π,2π) D.(2π,3π)
10.已知函数f(x)定义域为[-1,5],部分对应值如下表所示.
x -1 0 2 4 5
f(x) 1 2 0 2 1
f(x)的导函数f '(x)的图象如图1所示.
图1
下列关于函数f(x)的结论正确的有 (　　)
A.函数f(x)的极大值点有2个
B.函数f(x)在(0,2)上单调递减
C.若x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4
D.当1≤a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点
11.已知函数f(x)=xln x,若0A.x2f(x1)C.<0 D.当ln x>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数f(x)=x2-ln x的单调递增区间为　　　　.
13.已知函数f(x)=ex-ax的图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　,若f(x)的图象在点A处的切线方程为y=2x+1,则a=　　　　 .(本题第一空2分,第二空3分)
14.设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“密切函数”,区间[a,b]称为“密切区间”.设函数 f(x)=ln x-x与g(x)=x-2t在[,e]上是“密切函数”,则实数t的取值范围是　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)若函数f(x)=ax3-bx2+2,当x=2时,函数f(x)有极值-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)-k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
16.(15分)请你设计一个包装盒.如图2(1)所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图2(2)中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设|AE|=|FB|=x(单位:cm).
(1)　　　　　　　　　　　(2)　
图2
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值
(2)某厂商要求包装盒的容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
17.(15分)已知f(x)=2ex-1+4ax(a∈R).
(1)若a=,求f(x)的图象在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值为3e,求a的值.
18.(17分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)求函数g(x)=f(x)+(a∈R)的极值点;
(2)设h(x)=f(x)+aex-+ln a(a>0),若当x>a时,不等式h(x)≥0恒成立,求a的最小值.
19.(17分)已知函数f(x)=axln x-x2+2的图象在点(1,1)处的切线方程为y=1.
(1)当x∈(0,2)时,证明:0(2)设函数g(x)=xf(x),当x∈(0,1)时,证明:0(3)若数列{an}满足:an+1=f(an),0　第5章　一元函数的导数及其应用　单元测试卷　参考答案
1.D　∵f '(x)=,∴f '(4)=,∴=f '(4)=.
2.B　s(t)=2t2+t,则s'(t)=4t+,故s'(5)=4×5+=21.5(m/s).故选B.
3.A　f '(x)=x2-2f '(1)·x-1,则f '(1)=12-2f '(1)·1-1,解得f '(1)=0.
4.D　设切点坐标为(x0,y0).易知y'=4x,则有4x0=4,解得x0=1,所以y0=2,故切线l的方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
5.C　函数y=-2sin x是奇函数,图象关于坐标原点对称,排除选项A.易知y'=-2cos x,令y'=0,解得cos x=,根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解,即函数y=-2sin x有无穷多个极值点.令g(x)=,h(x)=2sin x,则易知g(x)与h(x)的图象共有三个交点,即y=-2sin x共有3个零点.
综上,并结合选项可排除B,D.故选C.
6.A　y'=3x2-3=3(x+1)(x-1),令y'=0得x=±1.当x∈(-∞,-1)时,y'>0;当x∈(-1,1)时,y'<0;当x∈(1,+∞)时,y'>0,故函数y=x3-3x+c在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以函数y=x3-3x+c在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值.由函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点知,函数的极大值等于0或极小值等于0,即-1+3+c=0或1-3+c=0,所以c=-2或c=2.
7.B　g(x)=xex+1,g'(x)=xex+ex,所以a为xex+1=xex+ex的根,解方程得x=0,即a=0.
h(x)=ln x+1,h'(x)=,b为ln x+1=的根,解方程得x=1,即b=1.
φ(x)=x3-1,φ'(x)=3x2,
则c为方程x3-1=3x2的根,即函数φ1(x)=x3-1-3x2的零点,由φ' 1(x)=3x2-6x=3x(x-2),知φ1(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,所以φ1(x)有极大值φ1(0)=-1,极小值φ1(2)=-5,
又φ1(4)=15>0,故c∈(2,4).
所以c>b>a.故选B.
8.B　函数f(x)=|ex-2ln x|+t的零点个数也就是函数y=|ex-2ln x|的图象与直线y=-t的交点个数.
设p(x)=ex-2ln x,显然该函数的定义域为(0,+∞),p'(x)=ex-.
记q(x)=ex-(x>0),显然x=2为函数q(x)的一个零点,即q(2)=0.
又q'(x)=ex+>0恒成立,故函数q(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数q(x)只有一个零点2,且当x∈(0,2)时,q(x)<0,即p'(x)<0,所以函数p(x)在(0,2)上单调递减;当x∈(2,+∞)时,q(x)>0,即p'(x)>0,所以函数p(x)在(2,+∞)上单调递增.
所以p(x)的最小值为p(2)=×e2-2ln 2=1-2ln 2<0.
作出函数y=|ex-2ln x|的大致图象、直线y=2ln 2 -1及直线y=-t,如图D 1所示.
图D 1
易知函数y=|ex-2ln x|的图象与直线y=-t有4个不同的交点,所以0<-t<2ln 2-1,解得1-2ln 29.AD　y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,要使导数值为负,需使x与sin x符号相同,当x∈(-π,0)时,-xsin x<0,则函数在(-π,0)上单调递减;当x∈(2π,3π)时,-xsin x<0,则函数在(2π,3π)上单调递减.
10.ABD　由题图可知,函数f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,在(4,5)上单调递减,易知选项A,B正确.
对于C,结合题表及函数f(x)的单调性可得,当t≥0时,f(x)在[-1,t]上的最大值为2,t的最大值不为4.故C错误.
对于D,求函数y=f(x)-a的零点个数,即求函数y=f(x)和y=a的图象的交点个数,由函数f(x)的简图(图略)易知,当1≤a<2时,函数y=f(x)和y=a的图象有4个交点,故D正确.
11.AD　令g(x)==ln x,易知g(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴当 0令h(x)=f(x)+x=xln x+x,则h'(x)=ln x+2.令h'(x)=0,得x=e-2.
∴当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(e-2,+∞)上单调递增,当x∈(0,e-2)时,h'(x)<0,h(x)在(0,e-2)上单调递减.
∴x1+f(x1)与x2+f(x2)无法比较大小.故B错误.
∵f(x)=xln x,∴f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0∵当x>,即ln x>-1时,f(x)单调递增,又由选项A知,x2f(x1)x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]=(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故D正确.故选AD.
12.[1,+∞)(开区间也可)　函数f(x)=x2-ln x的定义域为(0,+∞),f '(x)=x-=,
令f '(x)≥0,可得x≥1,所以函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞).
13.(0,1)　-1　易知对于函数f(x)=ex-ax,当x=0时,无论a取何值,f(0)=1,故f(x)的图象恒过定点A(0,1).
由函数f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a,∴f(x)的图象在点A处的切线斜率为 f'(0)=1-a.
∵f(x)的图象在点A处的切线方程为y=2x+1,∴1-a=2,∴a=-1.
14.[,1]　因为函数f(x)=ln x-x与g(x)=x-2t在[,e]上是“密切函数”,所以对任意的x∈[,e]都有|f(x)-g(x)|≤1,即有|ln x-x-x+2t|≤1,所以|ln x-x+2t|≤1,所以-2t-1≤ln x-x≤1-2t.
令h(x)=ln x-x,x∈[,e],则h'(x)=-1=.
令h'(x)=0,得x=1,所以当x∈(,1)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(1,e)时,h'(x)<0,h(x)单调递减.所以h(x)max=h(1)=-1,又h()=ln -=-1-,h(e)=ln e-e=1-e,所以h(x)min=1-e,所以-2t-1≤1-e且-1≤1-2t,所以≤t≤1,所以实数t的取值范围为[,1].
15.(1)函数f(x)=ax3-bx2+2,∴f'(x)=3ax2-2bx,
由题意知,当x=2时,函数f(x)有极值-2,
∴即解得
故所求函数的解析式为f(x)=x3-3x2+2.
(2)由(1)得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表.
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 2 单调递减 -2 单调递增
因此,当x=0时,f(x)有极大值2;当x=2时,f(x)有极小值-2.
则函数f(x)的图象如图 D 2所示,
图 D 2
若关于x的方程f(x)-k=0有三个不同的实数解,则f(x)=k有三个不同的实数根,即y=f(x)的图象与直线y=k有三个交点.
∴实数k的取值范围为-216.设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm.由已知得a=x,h==(30-x),0(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,0(2)V=a2h=2(-x3+30x2),V'=6x(20-x).
令V'=0,得x=0(舍去)或x=20.当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0.
所以当x=20时,V取得极大值,也是最大值,此时=,即包装盒的高与底面边长的比值为.
17.(1)当a=时,f(x)=2ex-1+x,f'(x)=2ex-1+,∴f'(0)=,f(0)=.
∴f(x)的图象在x=0处的切线方程为y-=(x-0),即x-y+=0.
令x=0,可得y=;令y=0,可得x=-.
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为××=.
(2)f'(x)=2ex-1+4a.
(ⅰ)当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=2e+8a=3e,∴a=.
(ⅱ)当a<0时,由f'(x)=0,解得x=1+ln(-2a).
①令1+ln(-2a)≤1,解得-≤a<0,此时f(x)在[1,2]上单调递增,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=2e+8a=3e,∴a=,舍去.
②令1+ln(-2a)≥2,解得a≤-,此时f(x)在[1,2]上单调递减,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=2+4a=3e,∴a=,舍去.
③令1<1+ln(-2a)<2,解得-可得f(1)=3e或f(2)=3e,解得a=或a=,都不符合题意,舍去.
综上可得,a=.
18.(1)g(x)=f(x)+=x-aln x+,
∴g'(x)=1--=(x>0).
∴当a+1≤0, 即a≤-1时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点;
当a+1>0, 即a>-1时,则可知当0a+1时,g'(x)>0.
∴g(x)在(0,a+1) 上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增,
此时,x=a+1是g(x)的极小值点,无极大值点.
综上可知,当a≤-1时,函数g(x)无极值点;
当a>-1时,函数g(x)的极小值点是a+1,无极大值点.
(2) h(x)=f(x)+aex-+ln a=aex-ln x+ln a(a>0),
由题意知,当x>a时,aex-ln x+ln a≥0恒成立,
又不等式aex-ln x+ln a≥0等价于aex≥ln,即ex≥ln ,即xex≥ln 　①.
对于①式,有两种方法可展开作答.
方法一　①式等价于xex≥ln ,由x>a>0知,>1,ln >0.
令φ(x)=xex(x>0),则原不等式可化为φ(x) ≥φ(ln ),
又φ(x)=xex (x>0)在(0,+∞)上单调递增,∴原不等式等价于x≥ln 　②,
又②式等价于ex≥,即a≥(x>a>0)　③.
方法二　由x>a>0知,>1,ln >0,
则①式等价于ln(xex)≥ln(ln ),即x+ln x≥ln +ln(ln).
设φ(x)=x+ln x(x>0),则原不等式可化为φ(x)≥φ(ln),
又φ(x)=x+ln x(x>0)在(0,+∞)上为增函数,∴原不等式等价于x≥ln 　②,
又②式等价于ex≥,即a≥(x>a>0)　③.
对于③式有两种方法可展开作答.
方法一　设F(x)=(x>0),则F'(x)=.令F'(x)>0,解得01.
∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
又x>a>0,∴当0要使原不等式恒成立,必须使≤a<1.
当a≥1时,F(x)在(a,+∞)上单调递减,F(x)要使原不等式恒成立,必须使a≥,∴a≥1时,原不等式恒成立.
综上可知,a的取值范围是[,+∞),∴a的最小值为.
方法二　②式等价于x≥ln x-ln a,即ln a≥ln x-x.
设H(x)=ln x-x(x>0),则H'(x)=,令H'(x)>0,解得01.
∴H(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
又x>a>0,∴当0要使原不等式恒成立,必须使ln a≥-1,∴≤a<1.
当a≥1时,H(x)在(a,+∞)上单调递减,∴H(x)要使原不等式恒成立,必须使ln a≥-1,
又a≥1,ln a≥0,∴当a≥1时,不等式恒成立.
综上可知,a的取值范围是[,+∞),∴a的最小值为.
19.(1)f'(x)=a(ln x+1)-2x,f'(1)=a-2=0,所以a=2,
f(x)=2xln x-x2+2,f'(x)=2(ln x+1-x).
令h(x)=ln x+1-x,则h'(x)=-1=,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,2)时,h'(x)<0,h(x)在(1,2)上单调递减;
所以当x∈(0,2)时,h(x)≤h(1)=0,即f'(x)≤0,分析易得f(x)在区间(0,2)上单调递减,
所以f(x)>f(2)=4ln 2-2=ln 16-ln e2>0.
因为当x∈(0,2)时,h(x)=ln x+1-x≤0,所以ln x≤x-1,
所以f(x)=2xln x-x2+2≤2x(x-1)-x2+2=x2-2x+2=(x-1)2+1<2.
综上知,当x∈(0,2)时,0(2)由题意,因为g'(x)=f(x)+xf'(x)=4xln x-3x2+2x+2.
所以g'(x)=2(2xln x-x2+2)+(-x2+2x-2)=2f(x)+(-x2+2x-2).
由(1)知,f(x)在区间(0,1)上单调递减,所以f(x)>f(1)=1,
又当x∈(0,1)时,-x2+2x-2∈(-2,-1),
所以g'(x)>0,g(x)在区间(0,1)上单调递增,所以g(x)由(1)可知,当x∈(0,2)时,f(x)>0,又x∈(0,1),所以g(x)=xf(x)>0.
综上可知,当x∈(0,1)时,0(3)由(1)(2)知,若x∈(0,1),1=f(1)若x∈(1,2),0因为a1∈(0,1),所以a2=f(a1)∈(1,2),a3=f(a2)∈(0,1),a4=f(a3)∈(1,2),…,所以a2k-1∈(0,1),a2k∈(1,2),k∈N*.
由(2)知,当x∈(0,1)时,0当n=2k时,
a1×a2×a3×…×an=(a1a2)(a3a4)…(a2k-1a2k)=g(a1)g(a3)…g(a2k-1)<1.
当n=2k-1时,
a1×a2×a3×…×an=(a1a2)(a3a4)…(a2k-3a2k-2)a2k-1=g(a1)g(a3)…g(a2k-3)a2k-1<1.
所以a1×a2×a3×…×an<1,从而ln ai=ln(a1×a2×…×an)<0.