选择性必修第二册人教B版第四章单元测试卷（含解析）

第四章　概率与统计　单元测试卷
参考公式及数据:回归直线方程=x+中,==,=-;
χ2=,其中n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若X的分布列为
X 0 1
P a
则E(X)= (　　)
A. B. C. D.
2.由1,2组成的有重复数字的三位数中,若用A表示事件“十位数字为1”,用B表示事件“百位数字为1”,则P(A|B)= (　　)
A. B. C. D.
3.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,…,则P(2<ξ≤4)等于 (　　)
A. B. C. D.
4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立,某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查,经过计算χ2≈7,根据这一数据分析,下列说法正确的是 (　　)
A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关
B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关
5.云计算是信息技术发展的集中体现,近年来,我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据,且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y=c1(其中e为自然对数的底数)拟合,设z=ln y,得到数据统计表如下:
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7
z=ln y 2 2.4 3 3.6 4
由上表可得线性回归方程z=0.52x+a,则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为 (　　)
A.e5.08 B.e5.6 C.e6.12 D.e6.5
6.已知在盒中有编号分别为1,2,3,4的红色、黄色、白色的球各4个,现从中任意摸出4个球,则摸出白球个数的期望是 (　　)
A. B. C. D.
7.某学校组织的数学竞赛中,学生的竞赛成绩X服从正态分布N(100,σ2),P(X>120)=a,P(80≤X≤100)=b,则+的最小值为 (　　)
A.8 B.9 C.16 D.18
8.某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛,赛制为3局2胜制,若比赛没有平局,且高二年级每局获胜的概率都是p(A.P(X=2)=p2 B.P(X=3)=p(1-p) C.E(X)∈(2,) D.D(X)>
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.设某车间的A类零件的质量m(单位:kg)服从正态分布N(10,σ2),且P(m>10.1)=0.2,则下列说法正确的是 (　　)
A.若从A类零件随机选取2个,则这2个零件的质量都大于10 kg的概率为0.25
B.若从A类零件随机选取3个,则这3个零件的质量恰有1个小于9.9 kg的概率为0.4
C.若从A类零件随机选取100个,则零件质量在9.9 kg~10.1 kg的个数的期望为60
D.若从A类零件随机选取100个,则零件质量在9.9 kg~10.1 kg的个数的方差为24
10.经某部门统计,客户对不同款理财产品的最满意度百分比和对应的理财总销售量(单位:万元)如下表(最满意度百分比越高时总销售量越高):
产品款型 A B C D E F G H I J
最满意度百分比/% 20 34 28 19 26 20 19 24 18 22
总销售量/万元 65 89 80 75 75 71 65 62 60 52
设x表示理财产品最满意度的百分比,y为该理财产品的总销售量(单位:万元),这些数据的散点图如图1所示.
图1
我们约定:相关系数的绝对值在0.3以下是无线性相关,在0.3以上(含0.3)至0.75是一般线性相关,在0.75以上(含0.75)是较强线性相关.y与x是否达到较强线性相关 若达到,请求出线性回归方程(系数精确到0.1);若没有达到,则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款产品退出理财销售),若剔除后仍然未达到,则继续剔除.则下列说法错误的是 (　　)
数据参考计算值:
-10 xiyi-10
23 69.4 232 32.35 346 15.23
A.无须剔除,y与x达到较强线性相关
B.第一次“末位”剔除后,y与x达到较强线性相关
C.线性回归方程为=39.5+1.6x
D.线性回归方程为=39.0+1.4x
11.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益,推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查,得到以下数据,则 (　　)
喜欢“天宫课堂” 不喜欢“天宫课堂”
男生 80 20
女生 70 30
A.从这200名学生中任选1人,已知选到的是男生,则他喜欢“天宫课堂”的概率为
B.用样本的频率估计概率,从全校学生中任选3人,恰有2人不喜欢“天宫课堂”的概率为
C.根据显著性水平α=0.05的独立性检验,认为喜欢“天宫课堂”与性别没有关联
D.对抽取的喜欢“天宫课堂”的学生进行天文知识测试,男生的平均成绩为80,女生的平均成绩为90,则参加测试的学生成绩的均值为85
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售数据统计如下表所示.
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码x 0 1 2 3 4
年销量y/万件 10 15 20 30 35
根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为=6.5x+,则=　　　　.
13.一射击测试中每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分,某人每次击中目标的概率为,则此人得分的平均值为　　　　,方差为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:若芯片的良品率不超过95%,不予奖励;若芯片的良品率超过95%但不超过96%,每张芯片奖励100元;若芯片的良品率超过96%,每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为　　　元.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.
(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.
16.(15分)假定人们对某种特别的花粉过敏的概率为0.25,现在检验20名大学生志愿者是否对这种花粉过敏.
(1)求样本中恰好有2人过敏的概率及至少有2人过敏的概率.
(2)要使样本中至少检测到1人过敏的概率大于99.9%,则抽取的样本容量至少要多大
(3)若检验后发现20名大学生中过敏的不到2人,这说明了什么 试分析原因.
附:0.7518≈0.005 6,0.7519≈0.004 2,0.7520≈0.003,lg 0.75≈-0.124 9.
17.(15分)“绿色出行,低碳环保”已成为新的时尚.近几年,国家相继出台了一系列的环保政策,在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策,为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据表,并计算得(xi-)(yi-)=30.
A充电桩投资金额x/百万元 3 4 6 7 9 10
所获利润y/百万元 1.5 2 3 4.5 6 7
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,求其线性回归方程;
(2)若规定所获利润y与投资金额x的比值不低于 ,则称对应的投入额为“优秀投资额”,记2分,所获利润y与投资金额x的比值低于且大于,则称对应的投入额为“良好投资额”,记1分,所获利润y与投资金额x的比值不超过,则称对应的投入额为“不合格投资额”,记0分,现从表中6个投资金额中任意选2个,用X表示记分之和,求X的分布列及数学期望.
18.(17分)随着我国居民生活水平的提高,越来越多的人开始养宠物,很多人的朋友圈除了晒美食、晒旅行、晒孩子外,还会晒各自的宠物,宠物也成了很多家庭中的重要角色之一.为记录宠物可爱、呆萌的瞬间,很多人会选择带宠物去宠物照相馆.为了解顾客的消费需求,某宠物照相馆对近期200名客户的宠物拍照信息进行了相关统计,绘制成如图2所示的频率分布直方图.套餐价格(单位:元/套)在[898,1 498]内的称为“尊享套餐”,在[298,898)内的称为“普通套餐”.
图2
(1)根据统计数据完成以下2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关.
选择“尊享套餐” 选择“普通套餐” 总计
年龄不低于45岁 50
年龄低于45岁 80
总计
(2)把频率当作概率,现从年龄低于45岁的所有客户中,随机抽取3名客户,记所抽取的3名客户中选择“普通套餐”的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
19.(17分)某市2022年年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂,质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液,检测其质量,得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图3所示,乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如下表所示.(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,视频率为概率)
图3
质量指标值 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50)
频数 20 10 30 15 25
(1)规定:消毒液的质量指标值越高,消毒液的质量越好.已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为26,乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5,分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数,并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论.
(2)甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,并已求得σ=11.95.该厂决定将消毒液分为A,B,C级三个等级,其中质量指标值Z不高于2.6的为C级,高于38.45的为A级,其余为B级,请利用该正态分布模型解决下列问题:
(i)甲厂近期生产了10万瓶消毒液,试估计其中B级消毒液的总瓶数.
(ii)已知每瓶消毒液的等级与出厂价X(单位:元/瓶)的关系如表所示:
等级 A B C
出厂价X 30 25 16
假定甲厂半年消毒液的生产量为1 000万瓶,且消毒液全都能销售出去.若每瓶消毒液的成本为20元,工厂的总投资为4千万元(含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内),问:甲厂能否在半年之内收回投资 试说明理由.
第四章　概率与统计　单元测试卷　参考答案
1.A　由+a=1,得a=.故E(X)=0×+1×=.
2.C　∵P(B)==,P(A∩B)==,
∴P(A|B)==.
3.A　由分布列的知识得P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=.
4.D　χ2≈7>6.635,P(χ2≥6.635)=0.01,所以在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关,或者可以说有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关.
5.B　由题意得=3,=3,∴a=-0.52=3-3×0.52=1.44,即线性回归方程z=0.52x+1.44,
当x=8时,z=0.52×8+1.44=5.6,∴y=ez=e5.6,
即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5.6.
故选B.
6.C　设摸出的白球的个数为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
所以P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==,
所以摸出白球个数的期望是E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
D　∵P(X>120)=a,P(80≤X≤100)=b,P(X>120)=,∴a+b=且a>0,b>0,
∴+=2(+)(a+b)=2(5++)≥2×(5+4)=18,当且仅当=,即a=,b=时取等号.故+的最小值为18.
8.C　由题意知X的所有可能取值为2,3,
所以P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,故选项A错误;
P(X=3)=(1-p)p2+p(1-p)p+p(1-p)2+(1-p)p(1-p)=-2p2+2p,故选项B错误;
E(X)=2(2p2-2p+1)+3(-2p2+2p)=-2p2+2p+2=-2(p-)2+, 因为记t=-2p2+2p+2,则t∈(2,),所以E(X2)=4×(2p2-2p+1)+9×(-2p2+2p)=-10p2+10p+4=5t-6,
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=5t-6-t2=-(t-)2+,
因为t∈(2,),所以D(X)<,故选项D错误.
9.ACD　因为m~N(10,σ2),所以P(m>10)=0.5,若从A类零件随机选取2个,则这2个零件的质量都大于10 kg的概率为0.52=0.25,故A正确;
因为P(m>10.1)=0.2,所以P(m<9.9)=0.2,若从A类零件随机选取3个,则这3个零件的质量恰有1个小于9.9 kg的概率为×0.2×(1-0.2)2=0.384,故B错误;
P(9.9则E(X)=100×0.6=60,D(X)=100×0.6×(1-0.6)=24,故C,D正确.故选ACD.
10.AC　样本相关系数r=≈0.70∈[0.3,0.75),
则y与x具有一般线性相关关系,没有达到较强线性相关关系,A错误.
由“末位”剔除制度可知,第一次应剔除J款理财产品,
重新计算得'=≈23.111,
'=≈71.333,
-9'2≈232+10×232-222-9×23.1112≈230.935,
-9'2≈32.352+10×69.42-522-9×71.3332≈710.550,
xiyi-9''≈346+10×23×69.4-22×52-9×23.111×71.333≈326.807,
所以r≈≈0.81>0.75,故B正确.
≈≈1.4,≈'-'=71.333-1.4×23.111≈39.0,
所以所求线性回归方程为=39.0+1.4x,故D正确,C错误.
11.BC　对于A,从这200名学生中任选1人,已知选到的是男生,则他喜欢“天宫课堂”的概率P==,故A错误.对于B,样本中喜欢“天宫课堂”的频率为=,从全校学生中任选3人,恰有2人不喜欢“天宫课堂”的概率P1=×(1-)2×=,故B正确.
对于C,因为χ2==≈2.667<3.841,所以根据显著性水平α=0.05的独立性检验,认为喜欢“天宫课堂”与性别没有关联,故C正确.
对于D,抽取的喜欢“天宫课堂”的学生男、女生人数分别为80,70,又男生的平均成绩为80,女生的平均成绩为90,所以参加测试的学生成绩的均值为=,故D错误.
故选BC.
12.9　==2,==22,
所以直线=6.5x+过点(2,22),故6.5×2+=22,
解得=9.
13.20　　记此人三次射击击中目标η次,得分为ξ分,则η服从参数为3,的二项分布,即η~B(3,),ξ=10η,∴E(ξ)=10E(η)=10×3×=20,D(ξ)=100D(η)=100×3××=.
14.65.85　X~N(0.95,0.012),得出μ=0.95,μ+σ=0.96,所以P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5,
P(0.95P(X>0.96)=[1-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈×(1-0.683)=0.158 5,
所以E(X)=0×0.5+100×0.341 5+200×0.158 5=65.85(元).
15.设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.
易知,B1,B2,B3是样本空间Ω的一个划分,且有P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.
(1)由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)·P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)===0.24.
同理P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.
以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性最大.
16.(1)设样本中对花粉过敏的人数为X,则X~B(20,0.25),
∴P(X=2)=×0.252×0.7518≈0.067,
P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.7520-×0.25×0.7519≈1-0.003-0.021=0.976.
∴样本中恰好有2人过敏的概率为0.067,至少有2人过敏的概率为0.976.
(2)设样本容量为n,该样本中检测到对花粉过敏的人数为Y,则Y~B(n,0.25),
∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.75n>99.9%,解得0.75n<0.001,取对数得nlg 0.75<-3,解得n>≈24.02,
∴抽取的样本容量至少为25.
(3)由(1)知检验的20人中不到2人过敏的概率为1-0.976=0.024,此概率非常小,在正常情况下一次试验中几乎不会发生,出现这种情况的原因可能有:
①原假设不成立,即每个人对这种花粉过敏的概率不到0.25;
②检验的样本只针对大学生,没有随机性;
③检验的环节出现了问题.
17.(1)根据获得的利润统计数据表,
可得==6.5,
==4,=37.5,
所以===0.8,=- =4-0.8×6.5=-1.2,
所以y关于x的线性回归方程为=0.8x-1.2.
(2)由题可知,“优秀投资额”有2个,“良好投资额”有1个,“不合格投资额”有3个.
X的可能取值为4,3,2,1,0,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==,
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望E(X)=0× +1×+2×+3×+4×=.
18.(1)因为套餐价格在[898,1 498]内的频率为(0.001 00+0.000 50+0.000 25)×200=0.35,
所以选择“尊享套餐”的客户有0.35×200=70(名).
完善2×2列联表如下:
选择“尊享套餐” 选择“普通套餐” 总计
年龄不低于45岁 50 70 120
年龄低于45岁 20 60 80
总计 70 130 200
χ2=≈5.861<6.635.
所以没有99%的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关.
(2)由题设,年龄低于45岁的所有客户中,估计选择“普通套餐”的概率为=,易知ξ~B(3,),
所以P(ξ=0)=×()0×()3=,P(ξ=1)=×()1×()2=,
P(ξ=2)=×()2×()1=,P(ξ=3)=×()3×()0=,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)=3×=.
19.(1)甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.
设乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为n,
则0.2+0.1+(n-20)×0.03=0.5,解得n=26.
统计结论:(答案不唯一,任意两个即可)
①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等,从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当;
②由数据波动的情况可知,乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差,说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定;
③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同,但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差,所以甲厂生产的消毒液更好;
④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25;
⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为26;
⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近,乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多.
(2)(i)P(2.6因为100 000×0.818 5=81 850,所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中,B级消毒液有81 850瓶.
(ii)设每瓶消毒液的利润为Y元,则Y的所有可能取值为10,5,-4.
P(Y=10)=P(Z>38.45)=P(Z>μ+σ)=[1-P(μ-σ≤Z≤μ+σ)]≈(1-0.683)=0.158 5,
由(i)知P(Y=5)=P(2.6所以P(Y=-4)=1-0.818 5-0.158 5=0.023,
故Y的分布列为
Y 10 5 -4
P 0.158 5 0.818 5 0.023
所以每瓶消毒液的平均利润为E(Y)=10×0.158 5+5×0.818 5-4×0.023=5.585 5(元),
故生产半年消毒液所获利润为1×5.585 5=5.585 5(千万元),
而5.585 5千万元>4千万元,所以甲厂能在半年之内收回投资.