选择性必修第二册苏教版第6章单元测试卷（含解析）

第6章　空间向量与立体几何　单元测试卷　　　　　　　
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在空间四边形ABCD中,=a,=b,=c,P在线段AD上,且DP=2PA,Q为BC的中点,则= (　　)
A.-a+b+c　　 B.a+b-c C.a-b+c D.a+b-c
2.如图1,在四面体O-ABC中,AE上的点G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=2GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为 (　　)
图1
A.(,,) B.(,,) C.(,,) D.(,,)
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.- B.- C. D.
4.在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则 (　　)
A.S1=S2=S3 B.S2=S1≠S3 C.S3=S1≠S2 D.S3=S2≠S1
5.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则下列结论错误的是 (　　)
A.a,b的夹角为锐角
B.a+b与a-b相互垂直
C.|a+b|=|a-b|
D.以a,b为邻边的平行四边形的面积为
6.如图2,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在底面ABCD上(包括边界)移动,且满足B1P⊥D1E,则线段B1P的长度的最大值为 (　　)
A. B.2 C.2 D.3
图2
7.在平面直角坐标系中,已知A(-1,6),B(2,-6),现沿x轴将坐标平面折成平面角为60°的二面角,则折叠后A,B两点间的距离为 (　　)
A.2 B. C. D.3
8.如图3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论错误的是 (　　)
图3
A.面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B.直线A1D与BC1垂直
C.直线A1D与BD1平行
D.三棱锥A-A1CD的体积为a3
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列命题中不正确的是 (　　)
A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
B.若,共线,则AB∥CD
C.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若=++,则P,A,B,C四点共面
D.若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充分不必要条件
10.设{a,b,c}是空间的一个基底,则下列结论正确的是 (　　)
A.a,b,c可以为任意向量
B.对任一空间向量p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc
C.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
D.{a+2b,b+2c,c+2a}可以构成空间的一个基底
11.在如图4所示的四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,底面ABCD为矩形,CD=2,点Q是PD的中点,则下列结论正确的是 (　　)
图4
A.CQ⊥平面PAD
B.PC与平面AQC所成角的余弦值为
C.三棱锥B-ACQ的体积为6
D.四棱锥Q-ABCD的外接球的内接正四面体的表面积为24
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,则点A1到平面AB1E的距离为　　　　.
13.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,如图5,它的每条棱长均为2,并且侧面A1C与底面ABC垂直,∠A1AC=60°,则B1C与底面ABC所成角的正弦值为　　　　.
　
图5 图6
14.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图6所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,CA=4,PA=2,D为AB中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.
(1)当E在AC上时,AE=　　　　;(2)点E的轨迹的长度为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图7所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,点M在线段PC上,PD=BD=BC=,N是线段PB的中点,且三棱锥M-BCD的体积是四棱锥P-ABCD的体积的.
(1)若H是PM的中点,证明:平面ANH∥平面BDM;
(2)若PD⊥平面ABCD,求点D到平面BCM的距离.
图7
16.(15分)图8①中的四边形ABCD为矩形,E,F分别为AD,BC边的三等分点,其中AB=AE=CF=1,以EF为折痕把四边形AEFB折起,折成如图8②所示,使平面AEFB⊥平面EFCD.
(1)证明:图8②中CD⊥BD;
(2)求二面角A-BD-C的余弦值.
① ②
图8
17.(15分)在如图9所示的四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=AD=1,E为线段AD的中点,过BE的平面与线段PD,PC分别交于点G,F.
(1)求证:GF⊥PA.
(2)若PA=PD=,是否存在点G使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为 若存在,请确定G点的位置;若不存在,请说明理由.
图9
18.(17分)如图10,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=AB=1,点E,M分别在线段AB,PC上,且==λ,其中0<λ<1,连接CE,延长CE,与DA的延长线交于点F,连接PE,PF,ME.
(1)求证:ME∥平面PFD;
(2)若λ=,求二面角A-PE-F的正弦值;
(3)若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.
图10
19.(17分)条件①:图11(1)中tan 2B=-.条件②:图11(1)中=+.条件③:图11(2)中三棱锥A-BCD的体积为.从以上三个条件中任选一个,补充在问题(2)中的横线上,并加以解答.
（1） （2）
图11
如图11(1)所示,在△ABC中,∠ACB=45°,BC=3,过点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90°(如图11(2)),点E,M分别为棱BC,AC的中点.
(1)求证:CD⊥ME.
(2)已知　　　　,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求二面角M-BN-C的余弦值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
第6章　空简向量与立体几何　单元测试卷　参考答案
1.A　因为DP=2PA,所以=-=-a,又Q为BC的中点,所以=(+)=b+c,
所以=+=-a+b+c.故选A.
2.D　连接OE,易知E是BC的中点,所以=(+),G1是△ABC的重心,则AG1=AE,
所以==(-).因为OG=2GG1,所以==(+)=+(-)=+=+(+)=++,
又=x+y+z,所以x=y=z=.故选D.
3.C　因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,所以可以以B为原点,AB,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴构建空间直角坐标系,如图D 1所示,
因为AB=2,BC=CC1=1,
所以A(2,0,0),B1(0,0,1),B(0,0,0),C1(0,1,1),
故=(-2,0,1),=(0,1,1),
设异面直线AB1与BC1所成角为θ,则cos θ=|cos<,>|===,
故选C.
图D 1 图D 2
4.D　结合题意画出图D 2,易知S1=×2×2=2,S2=S3=×2×=,所以S3=S2≠S1,
故选D.
5.C　a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则|a|=|b|=3,a·b=2×2-1×2+2×1=4.
对于A,∵cos==>0,∴a,b的夹角为锐角,故A正确;
对于B,∵a+b=(4,1,3),a-b=(0,-3,1),则(a+b)·(a-b)=4×0+1×(-3)+3×1=0,
∴a+b与a-b相互垂直,故B正确;
对于C,|a+b|==,|a-b|==,即|a+b|≠|a-b|,故C错误;
对于D,∵∈(0,π),
则sin==,
故以a,b为邻边的平行四边形的面积为2××3×3×=,故D正确.故选C.
图D 3
6.D　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 3所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),E(1,2,0),B1(2,2,2),设P(a,b,0)(0≤a≤2,0≤b≤2),则=(a-2,b-2,-2),=(1,2,-2),
∵B1P⊥D1E,∴·=a-2+2(b-2)+4=0,
∴a+2b-2=0,0≤b≤1,∴点P的轨迹是一条线段.
||2=(a-2)2+(b-2)2+4=(-2b)2+(b-2)2+4=5b2-4b+8,
由二次函数的性质可知当b=1时,5b2-4b+8可取到最大值9,
∴线段B1P的长度的最大值为3.故选D.
图D 4
7.D　在平面直角坐标系中,已知A(-1,6),B(2,-6),沿x轴将坐标平面折成平面角为60°的二面角后,作AC⊥x轴,交x轴于C点,作BD⊥x轴,交x轴于D点,如图D 4所示,
则||=6,||=3,||=6,⊥,⊥,,的夹角为120°.
∵=++,
∴=+++2·+2·+2·=62+32+62+2×6×6×(-)=45,
∴||=3,即折叠后A,B两点间的距离为3.故选D.
图D 5
8.C　建立如图D 5所示的空间直角坐标系,连接AB1.
对于A,A1(a,0,a),D(0,0,0),A(a,0,0),B1(a,a,a),
∴=(-a,0,-a),=(0,a,a),
∴cos<,>===-,
∵两异面直线的夹角范围是(0,],
∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°,
同理,正方体的六个面中除了面ADD1A1与BCC1B1的面对角线,其他的面对角线与A1D所成的角都为60°,故共有8条,故A正确.
对于B,C1(0,a,a),B(a,a,0),则=(-a,0,a),∴·=(-a,0,-a)·(-a,0,a)=a2-a2=0,
∴直线A1D与BC1垂直,故B正确.
对于C,D1(0,0,a),=(-a,-a,a),∴·=(-a,0,-a)·(-a,-a,a)=a2-a2=0,
∴直线A1D与BD1垂直,不平行,故C错误.
对于D,三棱锥A-A1CD的体积为=×a2·a=a3,故D正确.
综上可知,只有C不正确,故选C.
9.ABD　由|a|-|b|=|a+b|,可得向量a,b的方向相反,此时向量a,b共线,
反之,当向量a,b同向时,不能得到|a|-|b|=|a+b|,所以A不正确;
因为,共线,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,所以B不正确;
因为A,B,C三点不共线,=++,且++=1,所以P,A,B,C四点共面,故C正确;
P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),
当λ+μ=1时,μ=1-λ,可得-=λ(-),即=λ,所以A,B,C三点共线,反之也成立,即λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件,所以D不正确.故选ABD.
10.BD　因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c为不共线的非零向量,A不正确.
由空间向量基本定理知,对任一空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,B正确.
a⊥b,b⊥c,但a,c不一定垂直,C不正确.
{a+2b,b+2c,c+2a}中三个向量不共线,即可以构成空间的一个基底,D正确.故选BD.
11.BD　取AD的中点O,BC的中点E,连接OE,OP,
图D 6
因为三角形PAD为等边三角形,所以OP⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以OP⊥平面ABCD,又AD⊥OE,所以OD,OE,OP两两垂直,
所以,如图D 6,以O为坐标原点,分别以OD,OE,OP所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),D(,0,0),A(-,0,0),P(0,0,3),C(,2,0),B(-,2,0),因为点Q是PD的中点,所以Q(,0,).
易知平面PAD的一个法向量为m=(0,1,0),=(,2,-),显然m与不共线,所以CQ与平面PAD不垂直,所以A不正确.
=(,2,-3),=(,0,),=(2,2,0),
设平面AQC的法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,则y=-,z=-,所以n=(1,-,-)为平面AQC的一个法向量,
设PC与平面AQC所成角为θ,则sin θ=|cos|===,所以cos θ=,所以B正确.
三棱锥B-ACQ的体积VB-ACQ=VQ-ABC=S△ABC×OP=××2×2××3=6,所以C不正确.
设四棱锥Q-ABCD的外接球的球心为M(0,,a),连接MQ,MD(图略),则MQ=MD,
所以()2+()2+(a-)2=()2+()2+a2,
解得a=0,即M(0,,0),为矩形ABCD的对角线的交点,所以四棱锥Q-ABCD的外接球的半径为3.
设四棱锥Q-ABCD的外接球的内接正四面体的棱长为x,将四面体拓展成正方体,其中正四面体的棱为正方体的面对角线,故正方体的棱长为x,所以3(x)2=62,得x2=24,所以正四面体的表面积为4×x2=24,所以D正确.故选BD.
图D 7
12.　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图D 7所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B1(1,1,1),E(0,0,),A1(1,0,1),
∴=(0,1,1),=(-1,0,),=(0,0,1).
设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),
则当z=2时,平面AB1E的一个法向量为n=(1,-2,2),
则点A1到平面AB1E的距离d===.
13.
图D 8
　如图D 8,取AC中点O,连接A1O,BO,A1C,由A1A=A1C,BA=BC,得A1O⊥AC,BO⊥AC,又A1O⊥AC,侧面A1C与底面ABC垂直,A1O 侧面A1C,侧面A1C∩底面ABC=AC,∴A1O⊥底面ABC,则以O为坐标原点,分别以OB,OC,OA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,1,0),B1(,1,),=(,0,),平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),
设B1C与底面ABC所成角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=||==.
14.
图D 9
(1)2　以A为坐标原点,AC,AP所在直线分别为y轴、z轴,过点A且平行于BC的直线为x轴,建立空间直角坐标系A-xyz,如图D 9所示.则A(0,0,0),C(0,4,0),P(0,0,2),设B(b,4,0)(b>0),则D(,2,0).当E在AC上时,设E(0,e,0)(e>0),则=(-,e-2,0),又=(0,4,-2),由PC⊥DE得·=4(e-2)=0,解得e=2,即AE=2.
(2)　设E(0,m,n)(0≤m≤4,0≤n≤2,且+≤1　①),则=(-,m-2,n),由PC⊥DE得·=4(m-2)-2n=0,即2m-n=4　②,由①②可得0≤n≤,所以点E的轨迹是以(0,2,0)与(0,,)为端点的线段,故点E的轨迹的长为=.
15.
图D 10
(1)连接AC交BD于点O,连接OM,如图D 10所示.
由VM-BCD=VP-ABCD,知MC=PC,则MC=HC,所以点M为HC的中点.又底面ABCD是菱形,所以点O是AC的中点,
所以OM∥AH,NH∥BM,又AH∩NH=H,
所以平面ANH∥平面BDM.
(2)由底面ABCD为菱形,知AC⊥BD,以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,过点O平行于DP的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图D 10所示,则D(0,-,0),B(0,,0),P(0,-,),C(-,0,0),所以=(0,,0),=(-,-,0),=(0,,-).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,则y=-,z=-,所以n=(1,-,-)为平面PBC的一个法向量,
所以·n=-3,|n|=.
设点D到平面PBC的距离为d,则d==.
即点D到平面BCM的距离为.
16.(1)连接BE,易知BE=,EF=,BF=2,
∴BE2+EF2=BF2,∴BE⊥EF.
∵平面AEFB⊥平面EFCD,平面AEFB∩平面EFCD=EF,BE 平面AEFB,
∴BE⊥平面EFCD.
∵CD 平面EFCD,∴BE⊥CD,
∵CD⊥DE,BE∩DE=E,BE,DE 平面BDE,
∴CD⊥平面BDE,又BD 平面BDE,∴CD⊥BD.
图D 11
(2)以ED,EB所在直线分别为y轴,z轴,建立如图D 11所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,),F(1,1,0),D(0,2,0),C(1,2,0).
∵==(-,-,),
∴A(-,-,),
∴=(-,-,),=(0,-2,),=(1,0,0),
设平面ABD的法向量为m=(x1,y1,z1),则
即令z1=,则y1=1,x1=-3,∴m=(-3,1,)为平面ABD的一个法向量.
设平面BDC的法向量为n=(x2,y2,z2),则
即令z2=-,则y2=-1,又x2=0,
∴n=(0,-1,-)为平面BDC的一个法向量,
∴cos==-,
易知二面角A-BD-C的平面角为钝角,
∴二面角A-BD-C的余弦值为-.
17.(1)∵BC=AD,且E为线段AD的中点,∴BC=DE.
又BC∥AD,∴四边形BCDE为平行四边形,∴BE∥CD,
∵CD 平面PCD,BE 平面PCD,
∴BE∥平面PCD,
又平面BEGF∩平面PCD=GF,∴BE∥GF.
∵∠ADC=90°,
∴四边形BCDE为正方形,∴BE⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BE⊥平面PAD,
∴GF⊥平面PAD,又PA 平面PAD,∴GF⊥PA.
图D 12
(2)存在,此时点G为DP的靠近D点的三等分点.
连接PE,∵PA=PD,E为线段AD的中点,∴PE⊥AD,
由(1)知BE⊥平面PAD,∴BE⊥PE,以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图D 12所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),E(0,0,0),D(-1,0,0),
则=(0,1,-1),=(0,-1,0),=(1,0,1),设=λ(0≤λ≤1),得G(λ-1,0,λ),
∴=(λ-1,0,λ).
设平面BEGF的法向量为n=(x,y,z),
则即
设x=λ,可得n=(λ,0,1-λ)为平面BEGF的一个法向量.
设直线PB与平面BEGF所成的角为α,
则sin α=|cos|=||=||=,解得λ=或λ=-1(舍去),
所以存在点G(-,0,),使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为,此时点G为DP的靠近D点的三等分点.
18.(1)如图D 13,在线段PD上取一点N,使得=λ,
连接MN,AN,∵=λ=,∴MN∥DC且MN=λDC,
∵=λ,∴AE=λAB,
又AB∥DC且AB=DC,∴AE∥MN,且AE=MN,
∴四边形AEMN为平行四边形,∴ME∥AN.
又AN 平面PFD,ME 平面PFD,∴ME∥平面PFD.
图D 13
(2)以A为坐标原点,分别以AF,AB,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图D 13所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,2,0),C(-1,2,0),D(-1,0,0),
∵λ=,∴E(0,1,0),F(1,0,0).
易知n=(1,0,0)为平面PEA的一个法向量.
设平面PEF的法向量为m=(x,y,z),
=(0,1,-1),=(1,0,-1),
则
令z=1,则x=1,y=1,∴m=(1,1,1)为平面PEF的一个法向量.
∴cos===,
sin==,
则二面角A-PE-F的正弦值为.
(3)令E的坐标为(0,h,0),0设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),
=(0,2,-1),=(-1,0,0),
则令y1=1,得z1=2,
∴n1=(0,1,2)为平面PBC的一个法向量.
由题意得|cos<,n1>|===,
∴h=,∴AE=,λ==.
19.(1)∵CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,AD,BD 平面ABD,∴CD⊥平面ABD.
∵AB 平面ABD,∴CD⊥AB.
又M,E分别为AC,BC的中点,∴ME∥AB,∴CD⊥ME.
(2)方案一:选①,由tan 2B=-=,
解得tan B=2或tan B=-(不合题意,舍去).
设AD=CD=x,在Rt△ABD中,tan B===2,解得x=2,∴BD=1.
以点D为原点,DB,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 14所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),则=(-1,1,1).
图D 14
设N(0,a,0),0≤a≤2,则=(-,a-1,0).
∵EN⊥BM,∴·=0,
即(-,a-1,0)·(-1,1,1)=0,∴a=,∴N(0,,0),
∴当DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,EN⊥BM.
设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),=(-1,,0),=(-1,1,1),
由得令x=1,得y=2,z=-1,则n=(1,2,-1)为平面BNM的一个法向量.
取平面BNC的一个法向量m=(0,0,1),
cos===-,
又二面角M-BN-C的平面角为锐角,
∴二面角M-BN-C的余弦值为.
方案二:选②,在题图(1)所示的△ABC中,设=λ,
则=+=+λ(-)=(1-λ)+λ,
又=+,由平面向量基本定理知λ=,
即BD=1.
以点D为原点,DB,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 14所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),则=(-1,1,1).
设N(0,a,0),0≤a≤2,则=(-,a-1,0),
∵EN⊥BM,∴·=0,
即(-,a-1,0)·(-1,1,1)=0,∴a=,∴N(0,,0),
∴当DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,EN⊥BM.
设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),=(-1,,0),=(-1,1,1),
由得令x=1,得y=2,z=-1,则n=(1,2,-1)为平面BNM的一个法向量.
取平面BNC的一个法向量m=(0,0,1),
cos===-,
又二面角M-BN-C的平面角为锐角,
∴二面角M-BN-C的余弦值为.
方案三:选③,设BD=x(0∵AD⊥CD,∠ACD=45°,∴△ADC为等腰直角三角形,
∴AD=CD=3-x.
在三棱锥A-BCD中,AD⊥DC,AD⊥BD,且BD∩DC=D,BD,DC 平面BCD,
∴AD⊥平面BCD,又∠BDC=90°,
∴S△BCD=x(3-x),VA-BCD=AD·S△BCD=(3-x)·x(3-x)=,化简得(x-1)2(x-4)=0,解得x=1或x=4(舍去).
以点D为原点,DB,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图D 14所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),M(0,1,1),E(,1,0),则=(-1,1,1).
设N(0,a,0),0≤a≤2,则=(-,a-1,0).
∵EN⊥BM,∴·=0,即(-,a-1,0)·(-1,1,1)=0,
∴a=,∴N(0,,0),
∴当DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,EN⊥BM.
设平面BNM的法向量为n=(x,y,z),=(-1,,0),=(-1,1,1),由得令x=1,得y=2,z=-1,则n=(1,2,-1)为平面BNM的一个法向量.
取平面BNC的一个法向量m=(0,0,1),
cos===-,
又二面角M-BN-C的平面角为锐角,
∴二面角M-BN-C的余弦值为.