选择性必修第一册人教A版-第二章-单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册人教A版-第二章-单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 112.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 11:11:57 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为 ( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=2x-2 D.y=2x+2
2.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a的值为 ( )
A.a=-2或a=1 B.a=2 C.a=2或a=-1 D.a=-1
3.已知圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,从点P(-1,-3)发出的光线,经直线y=x反射后,恰好经过圆心C,则入射光线所在直线的斜率为 ( )
A.-4 B.- C. D.4
4.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(-2,0),B(2,0)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A.[-,] B.[-2,2] C.(-∞,-]∪[,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
5.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0
6.已知圆C:x2+(y-2)2=16.若动点M在直线y+6=0上,过点M引圆C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点N,点N的坐标为 ( )
A.(-1,-1) B.(0,0) C.(1,1) D.(0,6)
7.圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则下列结论正确的是 ( )
A.公共弦AB所在直线方程为x-2y+1=0
B.公共弦AB的长为
C.线段AB的中垂线方程为2x-y=0
D.∠AO2B>90°
8.在平面直角坐标系中,坐标原点为O,定点M(1,-1),动点P(x,y)满足|PO|=|PM|,P的轨迹C1与圆C2:x2+y2-3x+3y+4+a=0有两个公共点A,B,若在C1上至多有3个不同的点到直线AB的距离为,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2-2]∪[-6+2,+∞) B.(-4-2,-2-2]
C.[-6-2,-4-2)∪(-4+2,-2+2] D.(-4-2,-2-2]∪[-6+2,-4+2)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为 ( )
A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0
C.6x+9y-10=0 D.12x+18y-13=0
10.已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是 ( )
A.x2+y2的最大值是4+2
B.的最大值是2+
C.|x-y+3|的最小值是2-
D.过点(0,)作曲线C的切线,则切线方程为x-y+2=0
11.平面直角坐标系xOy中,点P(3,6),圆O:x2+y2=9与x轴的正半轴交于点Q,则 ( )
A.点P到圆O上的点的距离最大值为3+3
B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为3
C.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+15=0
D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B,则直线QA,QB的斜率之和为定值-1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.平行直线l1:x+y=-1与l2:x+y=2之间的距离为 .
13.若直线y=x+b与曲线y=恰有一个公共点,则实数b的一个可能取值是 .
14.已知圆C1:x2+y2+4y+3=0,圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+1上的动点,则|MP|+|NP|的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).
(1)求BC边的高所在的直线l1的方程;
(2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.
16.(15分)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
①与直线4x-3y+5=0垂直;
②直线l的一个方向向量为a=(-4,3);
③与直线3x+4y+2=0平行.
已知直线l过点P(1,-2), .
(1)求直线l的一般方程;
(2)若直线l与圆x2+y2=5相交于P,Q两点,求弦长|PQ|.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)树林的边界是直线l(如图1所示),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,|AB|=|BC|=a(a为正常数),若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑,同时狼沿(M∈AD)方向以速度μ进行追击(μ为正常数),若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子.
(1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积S(a);
(2)若兔子要想不被狼吃掉,求θ(θ=∠DAC)的取值范围.
图1
18.(17分)如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.
图2
19.(17分)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,圆C与x轴正半轴相切,且被直线l:x-y=0截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程.
(2)设点A在圆C上运动,B(7,6),且点M满足=2,记点M的轨迹为Γ.
①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;
②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有为一常数 若存在,求出所有满足条件的点T的坐标,若不存在,请说明理由.
第二章 直线和圆的方程
1.A 联立两直线方程得解得所以两直线的交点坐标为(1,3),则所求直线方程为y-3=2(x-1),整理得y=2x+1.
2.D 由l1与l2平行得解得a=-1.
3.A 由圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,得(x-1)2+(y+2)2=3,则圆心为C(1,-2).因为反射光线经过C(1,-2),故点C关于直线y=x的对称点(-2,1)在入射光线所在的直线上,且光源为P(-1,-3),所以入射光线所在直线的斜率k==-4.
4.C 根据题意,如图D 1所示,可得kPA==-,kPB==,因为l在变化过程中存在斜率不存在的情形,所以直线l的斜率k∈(-∞,-]∪[,+∞).
图D 1
5.C 因为圆心C在直线l:2x-y-3=0上,设圆心C(a,2a-3),又圆C经过两点A(0,2),B(4,6),
所以|CA|=|CB|,故=,解得a=3,
所以圆心C(3,3),半径r=|CA|==,则圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,
化为一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0.
6.B 圆C的圆心为C(0,2),半径为r=4.因为MA,MB是☉C的两条切线,所以CA⊥MA,CB⊥MB.设点M的坐标为(a,-6),因为∠MAC=∠MBC=90°,所以M,A,C,B四点共圆,且以MC为直径,该圆的方程为x(x-a)+(y+6)(y-2)=0,又圆C的方程为x2+(y-2)2=16,所以两圆方程相减得-ax+8y=0,即直线AB的方程为-ax+8y=0,所以直线AB恒过定点(0,0),所以定点N的坐标为(0,0).
7.D 对于选项A,已知圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0,将两圆的方程作差可得x-2y+2=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故选项A错误;
对于选项B,圆O1:x2+y2=4的圆心到直线x-2y+2=0的距离为d==,则|AB|=2=,故选项B错误;
对于选项C,设线段AB的中垂线方程为2x+y+m=0,
又圆O1:x2+y2=4的圆心(0,0)在直线2x+y+m=0上,则m=0,即线段AB的中垂线方程为2x+y=0,故选项C错误;
对于选项D,由题意可得圆O2的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则cos∠AO2B==-<0,故∠AO2B>90°,故选项D正确.
8.D ∵动点P(x,y)满足|PO|=|PM|,∴=·,化简得P的轨迹方程为C1:x2+y2-4x+4y+4=0,由C1-C2得公共弦AB所在直线方程为x-y+a=0.
又C1:(x-2)2+(y+2)2=4,∴圆心C1(2,-2),半径r1=2,C2:(x-)2+(y+)2=-a,∴圆心C2(,-),半径r2=,∴-a>0,即a< ①.
∵两圆有两个公共点,∴|r1-r2|<|C1C2|∴|2-|<<2+,解得-4-2又C1上至多有3个不同点到直线AB的距离为,
∴C1(2,-2)到直线AB的距离d≥2-,解得≥2-,∴a≥-6+2或a≤-2-2 ③,
由①②③得-4-29.BD 设直线l:4x+6y+m=0,m≠-2且m≠-9,直线l到直线l1和l2的距离分别为d1,d2,
由题意知,d1=,d2=,因为=,所以=,即2|m+2|=|m+9|,解得m=5或m=-,
故直线l的方程为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.
10.ABD 曲线C的方程x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,它表示圆心为(1,0),半径为的圆.
对选项A,x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方,故x2+y2的最大值为[+]2=(+1)2=4+2,故A正确;
对选项B,表示圆C上的点与点P(-1,-1)的连线的斜率k,圆心(1,0)与点P(-1,-1)的距离为,所以点P在圆C外,则圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=≤,可得2-≤k≤2+,即的最大值为2+,故B正确;
对选项C,|x-y+3|表示圆C上任意一点到直线x-y+3=0的距离的倍,圆心到直线的距离d==2,所以|x-y+3|的最小值为(2-)=4-,故C错误;
对选项D,易知点(0,)在圆C上,过点(0,)作圆C的切线,则切线斜率存在,故可设切线方程为y=mx+,由=,解得m=,故切线方程为x-y+2=0,故D正确.
11.ABD 对于选项A,点P到圆O上的点的距离最大值为点P到点O的距离与圆O的半径之和,即+3=3+3,故选项A正确.
对于选项B,过点P且斜率为1的直线为x-y+3=0,则圆心O到该直线的距离d=,由圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理知,弦长为3,故选项B正确.
对于选项C,当直线斜率不存在时,圆心坐标为(0,0),半径r=3,则圆心(0,0)到直线x=3的距离为|3-0|=3=r,符合题意;当直线的斜率存在时,设斜率为k,直线方程为y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,则圆心(0,0)到直线的距离d==r=3,解得k=,则直线方程为3x-4y+15=0,综上,过点P与圆O相切的直线方程为x=3和3x-4y+15=0.故选项C不正确.
对于选项D,由题意知点Q(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),易知过点P的直线斜率存在,设为k,则其方程为y-6=k(x-3).联立得(k2+1)x2-6k(k-2)x+9k2-36k+27=0,由根与系数的关系和判别式得,所以kQA+kQB=+=+=2k++=2k+=2k+=2k+(-2k-1)=-1.故选项D正确.故选ABD.
12. 因为l1:x+y+1=0,l2:x+y-2=0,所以两平行直线间的距离为=.
13.-1(答案不唯一) 曲线y=表示圆心在原点,半径为1的圆的上半部分,如图D 2所示,
图D 2
当直线y=x+b在l2和l3之间移动或与半圆相切,即处于l1的位置时,直线与圆恰好有一个公共点,当直线y=x+b在l3时,经过点(1,0),所以b=-1,当直线y=x+b在l2时,经过点(-1,0),所以b=1,当直线与半圆相切时,=1,所以b=,或b=-(舍),故b=或-1≤b<1.
14.2-3 易知圆C1:x2+(y+2)2=1,则圆心为C1(0,-2),半径为1,圆C2:(x-3)2+(y+1)2=4,则圆心为C2(3,-1),半径为2.设C1(0,-2)关于直线y=x+1对称的点的坐标为(x,y),
所以得所以圆C1关于直线y=x+1对称的圆为圆C3,如图D 3.
图D 3
由对称性知问题转化为P到D,N的距离之和的最小值.
由图知当圆心C3、圆心C2、P三点共线时,|MP|+|NP|的距离最小,此时最小值为|C2C3|-1-2=-3=-3=2-3.
15.(1)因为kBC==,且直线l1与BC垂直,
所以直线l1的斜率k=-=-4,
所以直线l1的方程是y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.
(2)因为直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.
①当直线l2与AB平行时,因为kAB==-1,所以直线l2的方程是y-4=-(x-3),即x+y-7=0;
②当直线l2过AB的中点时,因为AB的中点M的坐标为(0,2),所以kCM==,所以直线l2的方程是y-4=(x-3),即2x-3y+6=0.
综上,直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.
16.(1)选①.
因为直线4x-3y+5=0的斜率为k1=,且直线4x-3y+5=0与直线l垂直,所以直线l的斜率为k=-,
又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
选②.
因为直线l的一个方向向量为a=(-4,3),
所以直线l的斜率为k=-,
又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
选③.
因为直线3x+4y+2=0的斜率为k=-,且直线l与直线3x+4y+2=0平行,所以直线l的斜率为k=-,
又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
(2)圆x2+y2=5的圆心O(0,0)到直线3x+4y+5=0的距离为d==1,
设弦PQ的中点为M,由圆的半径为r=,可知|PM|==2,
因此|PQ|=2|PM|=4,即弦长|PQ|为4.
17.(1)如图D 4,建立平面直角坐标系,设 A(0,2a),B(0,a),M(x,y),
图D 4
由≤,得2|BM|≤|AM|,即 2≤,
两边平方,整理得3x2+3y2-4ay≤0,
即 x2+(y-)2≤,
所以M在以(0,)为圆心,半径为的圆上及其内部,
所以S(a)=π.
(2)设直线AD的方程为lAD:y=kx+2a(k≠0),兔子要想不被狼吃掉,需点M在圆的外部,即直线AD和圆相离,即圆心(0,)到直线AD的距离大于半径.
由>,得k∈(-,0)∪(0,),由于∠ADC为锐角,故 0<∠ADC<,所以θ∈(,).
18.圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,∴圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
∵圆N与x轴相切,与圆M外切,∴0于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵直线l∥OA,∴直线l的斜率为=2,
∴可设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离d==.
∵|BC|=|OA|==2,而|MC|2=d2+()2,
∴25=+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
19.(1)设圆心C(t,3t),则由圆C与x轴正半轴相切,可得半径r=3|t|.
圆心C到直线l的距离d==|t|,由7+2t2=r2,解得t=±1.故圆心C的坐标为(1,3)或(-1,-3),半径等于3.
又圆C与x轴正半轴相切,∴圆心只能为(1,3),故圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9.
(2)①设M(x,y),A(xA,yA),则=(x-xA,y-yA),=(7-x,6-y),
∴∴∴A(3x-14,3y-12).
∵点A在圆C上运动,∴(3x-14-1)2+(3y-12-3)2=9,即(3x-15)2+(3y-15)2=9,即(x-5)2+(y-5)2=1,∴点M的轨迹方程为(x-5)2+(y-5)2=1,它是一个以(5,5)为圆心、1为半径的圆.
②假设存在一点T(t,t)满足=λ(其中λ为常数).
设P(x,y),则=λ,
整理化简得x2+y2=λ2(x2-2tx+t2+y2-2ty+t2) ①,
∵P在轨迹Γ上,∴(x-5)2+(y-5)2=1,化简得x2+y2=10x+10y-49 ②.
由①②可得10x+10y-49=λ2(10x+10y-49-2tx-2ty+2t2),整理得x(10-10λ2+2tλ2)+y(10-10λ2+2tλ2)-49+49λ2-2λ2t2=0,
∴解得t=,
∴存在T(,)满足题目条件.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.斜率为2,且过直线y=4-x和直线y=x+2交点的直线方程为 ( )
A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=2x-2 D.y=2x+2
2.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则a的值为 ( )
A.a=-2或a=1 B.a=2 C.a=2或a=-1 D.a=-1
3.已知圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,从点P(-1,-3)发出的光线,经直线y=x反射后,恰好经过圆心C,则入射光线所在直线的斜率为 ( )
A.-4 B.- C. D.4
4.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(-2,0),B(2,0)两点的线段总有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ( )
A.[-,] B.[-2,2] C.(-∞,-]∪[,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
5.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为 ( )
A.x2+y2-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0
6.已知圆C:x2+(y-2)2=16.若动点M在直线y+6=0上,过点M引圆C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点N,点N的坐标为 ( )
A.(-1,-1) B.(0,0) C.(1,1) D.(0,6)
7.圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则下列结论正确的是 ( )
A.公共弦AB所在直线方程为x-2y+1=0
B.公共弦AB的长为
C.线段AB的中垂线方程为2x-y=0
D.∠AO2B>90°
8.在平面直角坐标系中,坐标原点为O,定点M(1,-1),动点P(x,y)满足|PO|=|PM|,P的轨迹C1与圆C2:x2+y2-3x+3y+4+a=0有两个公共点A,B,若在C1上至多有3个不同的点到直线AB的距离为,则a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2-2]∪[-6+2,+∞) B.(-4-2,-2-2]
C.[-6-2,-4-2)∪(-4+2,-2+2] D.(-4-2,-2-2]∪[-6+2,-4+2)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为 ( )
A.2x+3y-8=0 B.4x+6y+5=0
C.6x+9y-10=0 D.12x+18y-13=0
10.已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是 ( )
A.x2+y2的最大值是4+2
B.的最大值是2+
C.|x-y+3|的最小值是2-
D.过点(0,)作曲线C的切线,则切线方程为x-y+2=0
11.平面直角坐标系xOy中,点P(3,6),圆O:x2+y2=9与x轴的正半轴交于点Q,则 ( )
A.点P到圆O上的点的距离最大值为3+3
B.过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为3
C.过点P与圆O相切的直线方程为3x-4y+15=0
D.过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B,则直线QA,QB的斜率之和为定值-1
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.平行直线l1:x+y=-1与l2:x+y=2之间的距离为 .
13.若直线y=x+b与曲线y=恰有一个公共点,则实数b的一个可能取值是 .
14.已知圆C1:x2+y2+4y+3=0,圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0,M,N分别为圆C1和圆C2上的动点,P为直线l:y=x+1上的动点,则|MP|+|NP|的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(-1,3),C(3,4).
(1)求BC边的高所在的直线l1的方程;
(2)若直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.
16.(15分)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.
①与直线4x-3y+5=0垂直;
②直线l的一个方向向量为a=(-4,3);
③与直线3x+4y+2=0平行.
已知直线l过点P(1,-2), .
(1)求直线l的一般方程;
(2)若直线l与圆x2+y2=5相交于P,Q两点,求弦长|PQ|.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17.(15分)树林的边界是直线l(如图1所示),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处,|AB|=|BC|=a(a为正常数),若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑,同时狼沿(M∈AD)方向以速度μ进行追击(μ为正常数),若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子.
(1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积S(a);
(2)若兔子要想不被狼吃掉,求θ(θ=∠DAC)的取值范围.
图1
18.(17分)如图2,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程.
图2
19.(17分)已知圆C的圆心在直线3x-y=0上,圆C与x轴正半轴相切,且被直线l:x-y=0截得的弦长为2.
(1)求圆C的方程.
(2)设点A在圆C上运动,B(7,6),且点M满足=2,记点M的轨迹为Γ.
①求Γ的方程,并说明Γ是什么图形;
②在直线l上是否存在定点T(异于原点O),使得对于Γ上任意一点P,都有为一常数 若存在,求出所有满足条件的点T的坐标,若不存在,请说明理由.
第二章 直线和圆的方程
1.A 联立两直线方程得解得所以两直线的交点坐标为(1,3),则所求直线方程为y-3=2(x-1),整理得y=2x+1.
2.D 由l1与l2平行得解得a=-1.
3.A 由圆C:x2+y2-2x+4y+2=0,得(x-1)2+(y+2)2=3,则圆心为C(1,-2).因为反射光线经过C(1,-2),故点C关于直线y=x的对称点(-2,1)在入射光线所在的直线上,且光源为P(-1,-3),所以入射光线所在直线的斜率k==-4.
4.C 根据题意,如图D 1所示,可得kPA==-,kPB==,因为l在变化过程中存在斜率不存在的情形,所以直线l的斜率k∈(-∞,-]∪[,+∞).
图D 1
5.C 因为圆心C在直线l:2x-y-3=0上,设圆心C(a,2a-3),又圆C经过两点A(0,2),B(4,6),
所以|CA|=|CB|,故=,解得a=3,
所以圆心C(3,3),半径r=|CA|==,则圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10,
化为一般方程为x2+y2-6x-6y+8=0.
6.B 圆C的圆心为C(0,2),半径为r=4.因为MA,MB是☉C的两条切线,所以CA⊥MA,CB⊥MB.设点M的坐标为(a,-6),因为∠MAC=∠MBC=90°,所以M,A,C,B四点共圆,且以MC为直径,该圆的方程为x(x-a)+(y+6)(y-2)=0,又圆C的方程为x2+(y-2)2=16,所以两圆方程相减得-ax+8y=0,即直线AB的方程为-ax+8y=0,所以直线AB恒过定点(0,0),所以定点N的坐标为(0,0).
7.D 对于选项A,已知圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0,将两圆的方程作差可得x-2y+2=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故选项A错误;
对于选项B,圆O1:x2+y2=4的圆心到直线x-2y+2=0的距离为d==,则|AB|=2=,故选项B错误;
对于选项C,设线段AB的中垂线方程为2x+y+m=0,
又圆O1:x2+y2=4的圆心(0,0)在直线2x+y+m=0上,则m=0,即线段AB的中垂线方程为2x+y=0,故选项C错误;
对于选项D,由题意可得圆O2的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则cos∠AO2B==-<0,故∠AO2B>90°,故选项D正确.
8.D ∵动点P(x,y)满足|PO|=|PM|,∴=·,化简得P的轨迹方程为C1:x2+y2-4x+4y+4=0,由C1-C2得公共弦AB所在直线方程为x-y+a=0.
又C1:(x-2)2+(y+2)2=4,∴圆心C1(2,-2),半径r1=2,C2:(x-)2+(y+)2=-a,∴圆心C2(,-),半径r2=,∴-a>0,即a< ①.
∵两圆有两个公共点,∴|r1-r2|<|C1C2|
∴C1(2,-2)到直线AB的距离d≥2-,解得≥2-,∴a≥-6+2或a≤-2-2 ③,
由①②③得-4-2
由题意知,d1=,d2=,因为=,所以=,即2|m+2|=|m+9|,解得m=5或m=-,
故直线l的方程为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.
10.ABD 曲线C的方程x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,它表示圆心为(1,0),半径为的圆.
对选项A,x2+y2表示圆C上的点到定点O(0,0)的距离的平方,故x2+y2的最大值为[+]2=(+1)2=4+2,故A正确;
对选项B,表示圆C上的点与点P(-1,-1)的连线的斜率k,圆心(1,0)与点P(-1,-1)的距离为,所以点P在圆C外,则圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d=≤,可得2-≤k≤2+,即的最大值为2+,故B正确;
对选项C,|x-y+3|表示圆C上任意一点到直线x-y+3=0的距离的倍,圆心到直线的距离d==2,所以|x-y+3|的最小值为(2-)=4-,故C错误;
对选项D,易知点(0,)在圆C上,过点(0,)作圆C的切线,则切线斜率存在,故可设切线方程为y=mx+,由=,解得m=,故切线方程为x-y+2=0,故D正确.
11.ABD 对于选项A,点P到圆O上的点的距离最大值为点P到点O的距离与圆O的半径之和,即+3=3+3,故选项A正确.
对于选项B,过点P且斜率为1的直线为x-y+3=0,则圆心O到该直线的距离d=,由圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理知,弦长为3,故选项B正确.
对于选项C,当直线斜率不存在时,圆心坐标为(0,0),半径r=3,则圆心(0,0)到直线x=3的距离为|3-0|=3=r,符合题意;当直线的斜率存在时,设斜率为k,直线方程为y-6=k(x-3),即kx-y-3k+6=0,则圆心(0,0)到直线的距离d==r=3,解得k=,则直线方程为3x-4y+15=0,综上,过点P与圆O相切的直线方程为x=3和3x-4y+15=0.故选项C不正确.
对于选项D,由题意知点Q(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),易知过点P的直线斜率存在,设为k,则其方程为y-6=k(x-3).联立得(k2+1)x2-6k(k-2)x+9k2-36k+27=0,由根与系数的关系和判别式得,所以kQA+kQB=+=+=2k++=2k+=2k+=2k+(-2k-1)=-1.故选项D正确.故选ABD.
12. 因为l1:x+y+1=0,l2:x+y-2=0,所以两平行直线间的距离为=.
13.-1(答案不唯一) 曲线y=表示圆心在原点,半径为1的圆的上半部分,如图D 2所示,
图D 2
当直线y=x+b在l2和l3之间移动或与半圆相切,即处于l1的位置时,直线与圆恰好有一个公共点,当直线y=x+b在l3时,经过点(1,0),所以b=-1,当直线y=x+b在l2时,经过点(-1,0),所以b=1,当直线与半圆相切时,=1,所以b=,或b=-(舍),故b=或-1≤b<1.
14.2-3 易知圆C1:x2+(y+2)2=1,则圆心为C1(0,-2),半径为1,圆C2:(x-3)2+(y+1)2=4,则圆心为C2(3,-1),半径为2.设C1(0,-2)关于直线y=x+1对称的点的坐标为(x,y),
所以得所以圆C1关于直线y=x+1对称的圆为圆C3,如图D 3.
图D 3
由对称性知问题转化为P到D,N的距离之和的最小值.
由图知当圆心C3、圆心C2、P三点共线时,|MP|+|NP|的距离最小,此时最小值为|C2C3|-1-2=-3=-3=2-3.
15.(1)因为kBC==,且直线l1与BC垂直,
所以直线l1的斜率k=-=-4,
所以直线l1的方程是y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.
(2)因为直线l2过C点,且A,B到直线l2的距离相等,所以直线l2与AB平行或过AB的中点M.
①当直线l2与AB平行时,因为kAB==-1,所以直线l2的方程是y-4=-(x-3),即x+y-7=0;
②当直线l2过AB的中点时,因为AB的中点M的坐标为(0,2),所以kCM==,所以直线l2的方程是y-4=(x-3),即2x-3y+6=0.
综上,直线l2的方程是x+y-7=0或2x-3y+6=0.
16.(1)选①.
因为直线4x-3y+5=0的斜率为k1=,且直线4x-3y+5=0与直线l垂直,所以直线l的斜率为k=-,
又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
选②.
因为直线l的一个方向向量为a=(-4,3),
所以直线l的斜率为k=-,
又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
选③.
因为直线3x+4y+2=0的斜率为k=-,且直线l与直线3x+4y+2=0平行,所以直线l的斜率为k=-,
又直线l过点P(1,-2),所以直线l的方程为y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
(2)圆x2+y2=5的圆心O(0,0)到直线3x+4y+5=0的距离为d==1,
设弦PQ的中点为M,由圆的半径为r=,可知|PM|==2,
因此|PQ|=2|PM|=4,即弦长|PQ|为4.
17.(1)如图D 4,建立平面直角坐标系,设 A(0,2a),B(0,a),M(x,y),
图D 4
由≤,得2|BM|≤|AM|,即 2≤,
两边平方,整理得3x2+3y2-4ay≤0,
即 x2+(y-)2≤,
所以M在以(0,)为圆心,半径为的圆上及其内部,
所以S(a)=π.
(2)设直线AD的方程为lAD:y=kx+2a(k≠0),兔子要想不被狼吃掉,需点M在圆的外部,即直线AD和圆相离,即圆心(0,)到直线AD的距离大于半径.
由>,得k∈(-,0)∪(0,),由于∠ADC为锐角,故 0<∠ADC<,所以θ∈(,).
18.圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,∴圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
∵圆N与x轴相切,与圆M外切,∴0
因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)∵直线l∥OA,∴直线l的斜率为=2,
∴可设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离d==.
∵|BC|=|OA|==2,而|MC|2=d2+()2,
∴25=+5,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
19.(1)设圆心C(t,3t),则由圆C与x轴正半轴相切,可得半径r=3|t|.
圆心C到直线l的距离d==|t|,由7+2t2=r2,解得t=±1.故圆心C的坐标为(1,3)或(-1,-3),半径等于3.
又圆C与x轴正半轴相切,∴圆心只能为(1,3),故圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=9.
(2)①设M(x,y),A(xA,yA),则=(x-xA,y-yA),=(7-x,6-y),
∴∴∴A(3x-14,3y-12).
∵点A在圆C上运动,∴(3x-14-1)2+(3y-12-3)2=9,即(3x-15)2+(3y-15)2=9,即(x-5)2+(y-5)2=1,∴点M的轨迹方程为(x-5)2+(y-5)2=1,它是一个以(5,5)为圆心、1为半径的圆.
②假设存在一点T(t,t)满足=λ(其中λ为常数).
设P(x,y),则=λ,
整理化简得x2+y2=λ2(x2-2tx+t2+y2-2ty+t2) ①,
∵P在轨迹Γ上,∴(x-5)2+(y-5)2=1,化简得x2+y2=10x+10y-49 ②.
由①②可得10x+10y-49=λ2(10x+10y-49-2tx-2ty+2t2),整理得x(10-10λ2+2tλ2)+y(10-10λ2+2tλ2)-49+49λ2-2λ2t2=0,
∴解得t=,
∴存在T(,)满足题目条件.