选择性必修第一册人教A版-第三章-单元测试卷（含解析）

第三章　圆锥曲线的方程
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.椭圆+=1的离心率是 (　　)
A. B. C. D.
2.“k<2”是“方程+=1表示双曲线”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知两定点M(0,-1),N(0,1),直线l:y=x+,则在l上满足|PM|+|PN|=2的点P的个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.0或1或2
4.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为 (　　)
A. B.- C.± D.-
5.如图1,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,|F1F2|为半径的圆与两条渐近线交于A,B,C,D四点,∠ACB=90°,则双曲线的离心率为 (　　)
A.2 B. C. D.3
图1
6.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中,完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明.他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时,轨迹为双曲线.现有方程x2+y2+3x-4y+=(3x-4y)2表示的圆锥曲线的离心率为 (　　)
A. B.1 C.3 D.5
7.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2,椭圆C的离心率为,M为蒙日圆上一个动点,过点M作椭圆C的两条切线,与蒙日圆分别交于P,Q两点,则△MPQ面积的最大值为(　　)
A.3b2 B.2b2 C.b2 D.6b2
8.在矩形ABB'A'中,|A'A|=8,|AB|=6,把边AB分成n等份,在B'B的延长线上,以B'B的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点A'作直线,过B'B延长线上的对应分点和点A作直线,这两条直线的交点为P,如图2所示,建立平面直角坐标系,则点P满足的方程可能是 (　　)
图2
A.+=1(x≥4,y≥0) B.+=1(x≥8,y≥0)
C.-=1(x≥4,y≥0) D.-=1(x≥8,y≥0)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得部分分,部分选对的得2分.
9.已知椭圆Ω:+=1(a>b>0),则下列结论正确的是 (　　)
A.若a=2b,则Ω的离心率为
B.若Ω的离心率为,则=
C.若F1,F2分别为Ω的两个焦点,直线l过点F1且与Ω交于点A,B,则△ABF2的周长为4a
D.若A1,A2分别为Ω的左、右顶点,P为Ω上异于点A1,A2的任意一点,则PA1,PA2的斜率之积为-
10.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派把(≈0.618)称为黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线E:-y2=1(a>0)的左、右顶点分别为A1,A2,虚轴的上端点为B,左焦点为F,离心率为e,则 (　　)
A.a2e=1
B.·=0
C.顶点到渐近线的距离为e
D.△A2FB的外接圆的面积为π
11.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px(p>0),弦AB过焦点F,△ABQ为其阿基米德三角形,则下列结论一定成立的是(　　)
A.存在点Q,使得·>0
B.·=||·||
C.对于任意的点Q,必有向量+与向量a=(-1,0)共线
D.△ABQ面积的最小值为p2
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知抛物线y=mx2的准线方程为y=,则实数m=　　　　.
13.双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,则该双曲线的离心率为　　　　,若E上的点A满足AF2⊥F1F2,其中F1,F2分别是E的左、右焦点,则sin∠AF1F2=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的面积为2π,两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形,若过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,则△OAB面积的最大值为　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+;②C的焦距为6;③C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.
问题:已知双曲线C:-=1,　　　　,求C的方程.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
16.(15分)兰州黄河铁桥,又名中山桥,是位于兰州市中心,横跨黄河的一座百年老桥,如图3,桥上有五个拱形桥架紧密相连,每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱,气势宏伟,素有“天下黄河第一桥”之称.如图4,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的抛物线MOF(部分)组成,建立如图4所示的平面直角坐标系,已知|AB|=44 m,∠MAB=45°,|AC|=4 m,|CD|=5 m,立柱|DN|=5.55 m.
(1)求立柱CM及横梁MF的长;
(2)求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高OH.
图3　　　图4
17.(15分)已知点M(2,1)在双曲线C:-=1(a>1)上.
(1)求双曲线的方程;
(2)是否存在过点P(1,-)的直线l与双曲线相交于A,B两点,且满足P是线段AB的中点 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
18.(17分)已知椭圆C1:+=1 (a>b>0)和圆C2:x2+y2=r2(r>0),F1,F2分别为椭圆C1的左、右焦点,点B(0,)在椭圆C1上,当直线BF1与圆C2相切时,r=.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k>0,m>0)与x轴交于点Q,且与椭圆C1和圆C2都相切,切点分别为M,N,记△F1F2M和△QF2N的面积分别为S1和S2,求的最小值.
19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,动点M到直线x=4的距离等于点M到点D(1,0)的距离的2倍,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A,B两个不同的点,若直线l不过点P(1,),设直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,求kPA+kPB的值;
(3)设点Q为曲线C的上顶点,点E,F是C上异于点Q的任意两点,以EF为直径的圆恰好经过Q点,试判断直线EF是否经过定点.若经过定点,请求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.
第三章　圆锥曲线的方程
1.A　由椭圆+=1,得a2=4,b2=2,
∴a=2,c==,∴离心率e==.
2.A　∵方程+=1表示双曲线,∴(25-k)(k-9)<0,
∴k<9或k>25,∴“k<2”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件,故选A.
3.B　∵|PM|+|PN|=2,|MN|=2,∴P在以M,N为焦点,2为长轴长的椭圆上.由于2a=2,a=,c=1,因此b==1,∴椭圆方程为+x2=1.由得3x2+2x+1=0,Δ=0,则直线l与椭圆相切,∴点P的个数为1.故选B.
4.B　由题意可知点A的纵坐标为1.将y=1代入y2=4x,得x=,则A(,1),
由抛物线的光学性质可知,直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率k==-.
5.C　如图D 1,连接AB.
图D 1
因为∠ACB=90°,则AB为☉F2的直径,故A,F2,B三点共线且AB⊥F1F2.
又|BF2|=|F1F2|=2c,|OF2|=c,所以kOB===2,
故离心率e==.
6.D　由x2+y2+3x-4y+=(3x-4y)2得=|3x-4y|,
即=5,
表示动点(x,y)到定点(-,2)的距离与到定直线3x-4y=0的距离之比等于5,
所以该圆锥曲线的离心率为5,故选D.
7.A　因为e====,所以a=b,所以蒙日圆的方程为x2+y2=3b2.
由已知条件可得MP⊥MQ,则PQ为圆x2+y2=3b2的一条直径,则|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=12b2,
所以S△MPQ=|MP|·|MQ|≤=3b2,当且仅当|MP|=|MQ|=b时,等号成立.
故选A.
8.C　设P(x0,y0),则x0≥4,y0≥0,根据题意,易得直线lA'P:y=(x+4),直线lAP:y=(x-4).
由lA'P:y=(x+4),令x=4,得y=,因此边AB上各分点坐标为(4,).
由lAP:y=(x-4),令y=6,得x=+4,因此B'B延长线上的对应分点坐标为(+4,6).
结合题意,可知= ,化简得-=1.
因此点P满足的方程为-=1(x≥4,y≥0).
故选C.
9.BCD　对于选项A,e==== ,若a=2b,则e===,所以A不正确.对于选项B,e==,则=,所以B正确.对于选项C,根据椭圆定义可知是正确的.对于选项D,设P(x0,y0),则+=1,易知A1(-a,0),A2(a,0),所以·=·===-,所以D正确.故选BCD.
10.ABD　对于A,设双曲线的半焦距为c,则c=,e==,
由题意知=,得a2=,∴c2=,
∴a2e=ac=1,A正确.
对于B,A2(a,0),B(0,1),F(-c,0),=(-a,1),=(c,1),
∴·=12-ac=0,B正确.
对于C,双曲线-y2=1的渐近线方程为x±ay=0,
∴顶点到渐近线的距离d===,C错误.
对于D,因为·=0,所以A2B⊥FB,
∴△A2FB为直角三角形,且∠A2BF=90°,A2F=a+c,
∴△A2FB的外接圆半径为,故△A2FB外接圆面积S=π·()2=(a2+c2+2ac)=π,D正确.
故选ABD.
11.BCD　由题意可作图,如图D 2所示.
图D 2
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+.
联立得y2-2pmy-p2=0,
则y1+y2=2pm,y1y2=-p2.
设过点A的切线为y-y1=k(x-x1),显然k≠0,
由整理可得y2-y+-=0,
由Δ=(-)2-4(-)=0,可得k=.
同理可得过点B的切线斜率为.
对于A,∵kQA·kQB=·==-1,∴·=0,故A错误.
对于B,可得A,B处的切线方程分别为y1y=p(x+x1),y2y=p(x+x2),且Q(-,),∴kQF=-=-m,
当m=0时,kQF=-=0,直线AB斜率不存在,两直线垂直,即AB⊥QF,∴|AQ|2=|AF|·|AB|,
∴·=|AQ|2=|AF|·|AB|.
当m≠0时,又直线AB的斜率为,
∴AB⊥QF,∴|AQ|2=|AF|·|AB|,
∴·=|AQ|2=|AF|·|AB|.故B正确.
对于C,设AB的中点为H,则yH=,∴QH∥x轴,
∵+=2,∴向量+与向量a=(-1,0)共线,故C正确.
对于D,如图D 2,设准线l与x轴的交点为M,∵AB⊥QF,
∴△ABQ的面积S=|AB|·|QF|,则当AB最短时(最短为2p),QF也最短,最短为|MF|=p,故△ABQ面积的最小值为p2,故D正确.
故选BCD.
12.-2　由y=mx2可得x2=y,则其准线方程为y=-=,解得m=-2.
13.　　由题意得=,则b=a,c2=a2+b2=3a2,所以c=a,所以双曲线的离心率e==.在-=1中,令x=c,得y=±=±2a,所以不妨设A(a,2a),则|AF2|=2a,由|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=4a,所以sin∠AF1F2==.
14.　依题意有解得所以椭圆C的标准方程是+=1.
由题意知直线l的斜率不能为0,设直线l的方程为x=my+1,
由得(3m2+4)y2+6my-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以y1+y2=-,y1·y2=-,
所以|y1-y2|==,
所以S△OAB=×|OP|×|y1-y2|=,
令t=(t≥1),则m2=t2-1,S△OAB==,
因为y=3t+在[1,+∞)上单调递增,
所以当t=1,即m=0时,△OAB面积取得最大值,为.
15.选①.因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=,c=.
因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c,
所以a+c=+=3+,解得m=3,故C的方程为-=1.
选②.若m>0,则a2=m,b2=2m,c2=3m,所以a=,c=,所以C的焦距2c=2=6,解得m=3,故C的方程为-=1;
若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=-3m,所以c=,所以C的焦距2c=2=6,解得m=-3,则C的方程为-=1.
选③.若m>0,则a2=m,所以a=,
因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4,
所以2a=2=4,解得m=4,则C的方程为-=1;
若m<0,则a2=-2m,所以a=,
因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4,
所以2a=2=4,解得m=-2,
则C的方程为-=1.
16.(1)由题意知,∠MAB=45°,|AC|=4 m,则|CM|=4 m,
因为四边形ABFM是等腰梯形,
由对称性可知,|AH|=|HB|=|AB|=22 m,|AC|=|BE|=4 m,|CH|=|AH|-|AC|=18 m,所以|MF|=2|CH|=36 m.
(2)由(1)知点M的横坐标为-18,N的横坐标为-(18-5)=-13.
设M,N的纵坐标分别为y1,y2,
由题图可知|y1-y2|=|5.55-4|=1.55.
设抛物线MOF的方程为x2=-2py,p>0,x∈[-18,18].
将点M,N的坐标代入抛物线方程,得
两式相减得2p(y2-y1)=182-132=155,解得2p=100,故抛物线方程为x2=-100y,x∈[-18,18].
因此当x=-18时,y=-×(-18)2=-3.24,
故|y1|=3.24 m,
所以桥梁的拱高|OH|=3.24+4=7.24 m.
17.(1)∵点M(2,1)在双曲线C:-=1上,
∴-=1,解得a2=2,
故双曲线的方程为-y2=1.
(2)不存在.假设存在过点P(1,-)的直线l与双曲线C交于A,B两点且点P平分线段AB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②得,(x1+x2)(x1-x2)-2(y1+y2)(y1-y2)=0,
又AB的中点P(1,-),∴k==-1.
故直线l的方程为y+=-(x-1),即2x+2y-1=0.
又直线的斜率为-1,双曲线的渐近线的斜率为±,
∴不存在满足条件的直线.
18.(1)因为点B(0,)在椭圆C1上,所以b=,
因为F1(-c,0),所以直线BF1的方程为+=1,即x-cy+c=0.
因为当直线BF1与圆C2相切时,r=,所以=,得c2=1,
则a2=b2+c2=4,所以椭圆的方程为+=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+m代入+=1,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
由直线l与椭圆C1相切得Δ=0,即m2=4k2+3,且则△F1F2M的面积S1=|F1F2||y1|=·2·=.
直线l:y=kx+m(k>0,m>0)与x轴交于点Q,则Q(-,0).
当直线l与圆C2相切时,设O为坐标原点,
则直线ON:y=-x,与y=kx+m联立,解得即N(,),则△QF2N的面积S2=|QF2||y2|=(1+)()=,
因为m2=4k2+3,所以==2k+≥2=2,
当且仅当2k=,即k=时取等号.
因此的最小值为2.
19.(1)不妨设点M的坐标为(x,y),
由题意可知,|x-4|=2,
化简可得+=1,
故曲线C的方程为+=1.
(2)不妨设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
因为直线l不过点P(1,),易知m≠1.
由可得x2+mx+m2-3=0,
由Δ=m2-4(m2-3)>0且m≠1可得,-2由根与系数的关系可知,x1+x2=-m,x1x2=m2-3　①.
因为kPA=,kPB=,y1=x1+m,y2=x2+m,
所以kPA+kPB=+=,
将①代入上式得,kPA+kPB=0,
故kPA+kPB的值为0.
(3)由椭圆方程+=1可知,Q点坐标为(0,),
因为以EF为直径的圆恰好经过Q点,所以QE⊥QF,
结合椭圆特征可知,直线EF的斜率存在,
不妨设直线EF的方程为y=kx+b,且b≠,E(x3,y3),F(x4,y4),
由可得(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0.
由Δ=(8kb)2-4(4k2+3)(4b2-12)>0可得,b2<4k2+3.
由根与系数的关系可知,
x3+x4=-,x3x4=　②.
因为=(x3,y3-),=(x4,y4-),y3=kx3+b,y4=kx4+b,
所以·=x3x4+(y3-)(y4-)=(k2+1)x3x4+k(b-)(x3+x4)+(b-)2=0,
将②代入上式并化简可得,b=-,
故直线EF的方程为y=kx-,
则直线EF必过定点(0,-).
从而直线EF经过定点,定点坐标为(0,-).