选择性必修第一册人教B版-第二章-单元测试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册人教B版-第二章-单元测试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 109.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-07 11:13:12 | ||
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文档简介
第二章 平面解析几何
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是 ( )
A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1
2.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),则直线AB与PQ的位置关系为 ( )
A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直
3.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为 ( )
A.x-y+1=0 B.x-y=0 C.x+y+1=0 D.x+y=0
4.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则该直线被抛物线截得的弦长为 ( )
A.8 B.16 C.32 D.64
5.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=2x相交于P,Q两点,则当△CPQ的面积为时,实数a的值为 ( )
A. B. C. D.
6.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器,该名称源于屈原长诗《天问》,寓意探求科学真理征途漫漫,追求科技创新永无止境.图1(1)是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图,火星的球心是椭圆的一个焦点.过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM,PN,则∠MPN就是“天问一号”在点P时对火星的观测角.图1(2)所示的Q,R,S,T四个点处,对火星的观测角最大的是 ( )
图1
A.Q B.R C.S D.T
7.已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0), B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x≠0) B.+=1(x≠0)
C.-=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
8.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的两个顶点为A,B,点P是双曲线上异于A,B的点,且点P与原点O的连线交椭圆C2:+=1于点Q,则直线PA,QA,PB和QB的斜率之和为 ( )
A. B.- C. D.0
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 ( )
A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
10.已知双曲线C:-y2=1(a>0),若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切,则 ( )
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的离心率e=
C.点P为双曲线C上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1,d2,则d1d2=
D.若直线y=k1x+m(m≠0)与双曲线C交于A,B两点,点D为弦AB的中点,直线OD(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2=
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足=,设点P的轨迹为曲线C,下列结论正确的是 ( )
A.曲线C的方程为(x+4)2+y2=9
B.在曲线C上存在点D,使得D到点(1,1)的距离为3
C.在曲线C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
D.在曲线C上存在点N,使得|NO|2+|NA|2=4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线l:x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为 .
13.设F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为 .
14.P是双曲线-=1右支在第一象限内的一点,F1,F2分别为其左、右焦点,A为右顶点,圆C是△PF1F2的内切圆,设圆与PF1,PF2分别切于点D,E,当圆C的面积为4π时,直线PF2的斜率为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点 M(m,4)到焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过点M的双曲线-=1(a>0,b>0)的一个顶点为抛物线C的焦点,求该双曲线的渐近线方程.
16.(15分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
17.(15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
18.(15分)在①点M为椭圆C的上顶点时,△MF1F2面积为4,②椭圆C过点(,),③离心率e=这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线处,并解决下面两个问题.
设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).已知椭圆C的短轴长为4, .
(1)求椭圆C的方程;
(2)求m的值和△PAB的面积.
19.(17分)如图2,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA, MB, AB, x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|·|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.
图2
第二章 平面解析几何
1.D 显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或 a=1.
2.D 直线AB的斜率kAB=,直线PQ的斜率kPQ=-.
由于kAB·kPQ=×(-)=-1,所以AB⊥PQ.
3.A 由题意知直线l与直线PQ垂直,所以直线l的斜率k=-=-=1.又直线l经过线段PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.
4.B 由题意得2p=8,∴ p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而直线被抛物线截得的弦长为x1+x2+p=12+4=16.
5.B 由题意得,圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)的圆心为C(a,a),半径r=1,所以圆心到直线y=2x的距离d=,所以弦长|PQ|=2=2,所以△CPQ的面积S=|PQ|×d=×==,解得a=.
6.D 设火星半径为R,椭圆左焦点为F1,连接PF1,NF1,MF1,则∠MPN=2∠MPF1,如图D 1.
图 D 1
因为sin∠MPF1=,所以PF1越小,sin∠MPF1越大,∠MPF1越大,∠MPN越大,观察可知,当点P位于条件中点T处时,对火星的观测角最大.
7.D 设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,其中A',B',P为垂足.因为l为圆O的切线,所以P为切点,且易得|AA'|+|BB'|=2|OP|=6.因为抛物线过点A,B,所以|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|,所以|FA|+|FB|=|AA'|+|BB'|=6>|AB|=2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).
8.D 设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),直线PA,PB,QA和QB的斜率分别记为k1,k2,k3,k4.由O,P,Q三点共线,得x1y2=x2y1.因为A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以k1+k2=+=.
又点P在双曲线C1上,所以-=1,即-a2=,从而k1+k2==.
同理可得,k3+k4=.
故k1+k2+k3+k4= - = =0.
9.BD 对于A,若直线过原点,横纵截距都为零,则不能用方程+=1表示,所以A不正确;对于B,当m=0时,方程为x=2,此方程表示的直线平行于y轴,所以B正确;对于C,若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,所以C不正确;对于D,设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据∥可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,所以D正确.故选BD.
10.BCD 由题意知双曲线C的渐近线方程为x±ay=0,所以=1,解得a=,所以半焦距c=2,所以e==,故A错误,B正确;设P(x0,y0),则d1d2=·==,故C正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),由点差法易得k1k2=,故D正确.故选BCD.
11.BD 设P(x,y),由A(-2,0),B(4,0),=可得=2,两边平方整理可得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故曲线C的方程为(x+4)2+y2=16,故A错误;
曲线C表示圆心为(-4,0),半径r=4的圆,点(1,1)到圆心的距离为=,所以点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为-r=-4,最大值为+r=+4,而3∈[-4,+4],故B正确;
设M(x,y),由|MO|=2|MA|,可得=2,两边平方整理可得x2+y2+x+=0,与x2+y2+8x=0联立,解得x=2,y无实数解,故C错误;
设N(x,y),由|NO|2+|NA|2=4,可得x2+y2+(x+2)2+y2=4,整理可得x2+y2+2x=0,与x2+y2+8x=0联立,解得x=0,y=0,故D正确.故选BD.
12.3 因为点P(cos θ,sin θ)的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆, 直线l:x-my-2=0过定点A(2,0),如图D 2所示.
图D 2
过O作OM⊥l,垂足为M,则|OM|≤|OA|=2,
所以|OM|+1≤2+1=3,当点M与点A重合时取等号,此时m=0,dmax=3.
故d的最大值为3.
13. 因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2与x轴垂直,则P的坐标为(2,±),所以|PF2|=,
则|PF1|=2a-|PF2|=,所以=.
14. 设圆C与线段F1F2切于点G,则由题意可知|PD|=|PE|,|F1D|=|F1G|,|F2G|=|F2E|,
所以|PF1|-|PF2|=(|PD|+|DF1|)-(|PE|+|EF2|)=|DF1|-|EF2|=|GF1|-|GF2|=2a,
设G(x0,0),
则(x0+c)-(c-x0)=2a,即x0=a,所以点G即为右顶点A.
设圆C的半径为r(r>0),因为圆C的面积为4π,则πr2=4π,则r=2,
因为CA⊥F1F2,所以C(2,2),
于是tan∠CF2A===2,
因为CF2是∠PF2F1的角平分线,
所以tan∠PF2F1=tan(2∠CF2A)==-,
所以tan∠PF2x=tan(π-∠PF2F1)=-tan∠PF2F=,即直线PF2的斜率为.
15.(1)由抛物线的定义可得4+=5,解得p=2,
故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)把M(m,4)代入x2=4y,得m=±4,
即点M的坐标为(±4,4).
又抛物线x2=4y的焦点为(0,1),则a=1,
所以双曲线的方程为y2-=1(b>0),
将M(±4,4)代入双曲线的方程,得b2=,即b=,
故双曲线的渐近线方程为y=±x.
16.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).
由= 得x0=x,y0=y.
因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则
=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,
=(m,n),=(-3-m,t-n).
由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
17.(1)依题意得圆C:(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为C(-1,2),半径为.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,
设切线方程为y=kx,由=,解得k=2±,则切线方程为y=(2±)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,
设切线方程为x+y-a=0,由=,解得a=-1 或 a=3,所以切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上,切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,得+=(x1+1)2+(y1-2)2-2,即2x1-4y1+3=0.
故点P在直线l:2x-4y+3=0上.
|PM|取得最小值,即|OP|取得最小值,易知直线OP⊥l时|OP|取得最小值.
所以此时直线OP的方程为2x+y=0.
解方程组得
故所求点P的坐标为(-,).
18.(1)由已知可得2b=4,解得b=2,故椭圆C的方程为+=1.
若选择①,则×2c×b=bc=2c=4,解得c=2,故a2=b2+c2=12,
故椭圆C的方程为+=1.
若选择②,则+=1,解得a2=12,
故椭圆C的方程为+=1.
若选择③,则e=====,
解得a2=12,故椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由可得4x2+6mx+3m2-12=0 (*),
由Δ=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0,可得-4且x1+x2=-,x1x2=.
设线段AB的中点为H(x0,y0),
则x0==-,y0=x0+m=,即H(-,).
因为-4因为△PAB是以AB为底边的等腰三角形,
所以PH⊥AB,即PH⊥l,
又直线l的斜率k=1,所以kPH=-1,即=-1,
解得m=2∈(-4,4),
此时方程(*)化为4x2+12x=0,解得x1=0,x2=-3,
|AB|=|x1-x2|=×|0-(-3)|=3,
此时H(-,),
故|PH|==,
故S△PAB=×|AB|×|PH|=×3×=.
综上,m=2,△PAB的面积为.
19.(1)由题意知p=2,所以抛物线的方程是y2=4x.
(2)由题意可设直线AB的方程为x=ty+1(t≠),A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,
所以y1+y2=4t,y1y2=-4.
直线MA的方程为y=(x+1),设直线l的方程为x=y+s.
记P(xP,yP),Q(xQ,yQ),
由得yP=.
同理得yQ=.
记R(xR,yR),由得yR=.
由题意知|yR|2=|yP|·|yQ|,化简得=.
易知s≠1,所以=.
因为=(+)2+≥,当且仅当t=-时等号成立,所以≥.
得s≤-7-4或s≥-7+4且s≠1.
因此直线l在x轴上截距的取值范围是(-∞,-7-4]∪[-7+4,1)∪(1,+∞).
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是 ( )
A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1
2.已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),则直线AB与PQ的位置关系为 ( )
A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直
3.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为 ( )
A.x-y+1=0 B.x-y=0 C.x+y+1=0 D.x+y=0
4.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则该直线被抛物线截得的弦长为 ( )
A.8 B.16 C.32 D.64
5.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=2x相交于P,Q两点,则当△CPQ的面积为时,实数a的值为 ( )
A. B. C. D.
6.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器,该名称源于屈原长诗《天问》,寓意探求科学真理征途漫漫,追求科技创新永无止境.图1(1)是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图,火星的球心是椭圆的一个焦点.过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM,PN,则∠MPN就是“天问一号”在点P时对火星的观测角.图1(2)所示的Q,R,S,T四个点处,对火星的观测角最大的是 ( )
图1
A.Q B.R C.S D.T
7.已知圆O的方程为x2+y2=9,若抛物线C过点A(-1,0), B(1,0),且以圆O的切线为准线,则抛物线C的焦点F的轨迹方程为 ( )
A.-=1(x≠0) B.+=1(x≠0)
C.-=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
8.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的两个顶点为A,B,点P是双曲线上异于A,B的点,且点P与原点O的连线交椭圆C2:+=1于点Q,则直线PA,QA,PB和QB的斜率之和为 ( )
A. B.- C. D.0
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的是 ( )
A.截距相等的直线都可以用方程+=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
10.已知双曲线C:-y2=1(a>0),若圆(x-2)2+y2=1与双曲线C的渐近线相切,则 ( )
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的离心率e=
C.点P为双曲线C上任意一点,若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1,d2,则d1d2=
D.若直线y=k1x+m(m≠0)与双曲线C交于A,B两点,点D为弦AB的中点,直线OD(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2=
11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足=,设点P的轨迹为曲线C,下列结论正确的是 ( )
A.曲线C的方程为(x+4)2+y2=9
B.在曲线C上存在点D,使得D到点(1,1)的距离为3
C.在曲线C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
D.在曲线C上存在点N,使得|NO|2+|NA|2=4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线l:x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,d的最大值为 .
13.设F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为 .
14.P是双曲线-=1右支在第一象限内的一点,F1,F2分别为其左、右焦点,A为右顶点,圆C是△PF1F2的内切圆,设圆与PF1,PF2分别切于点D,E,当圆C的面积为4π时,直线PF2的斜率为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点 M(m,4)到焦点的距离为5.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若过点M的双曲线-=1(a>0,b>0)的一个顶点为抛物线C的焦点,求该双曲线的渐近线方程.
16.(15分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
17.(15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
18.(15分)在①点M为椭圆C的上顶点时,△MF1F2面积为4,②椭圆C过点(,),③离心率e=这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线处,并解决下面两个问题.
设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).已知椭圆C的短轴长为4, .
(1)求椭圆C的方程;
(2)求m的值和△PAB的面积.
19.(17分)如图2,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA, MB, AB, x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|·|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.
图2
第二章 平面解析几何
1.D 显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或 a=1.
2.D 直线AB的斜率kAB=,直线PQ的斜率kPQ=-.
由于kAB·kPQ=×(-)=-1,所以AB⊥PQ.
3.A 由题意知直线l与直线PQ垂直,所以直线l的斜率k=-=-=1.又直线l经过线段PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.
4.B 由题意得2p=8,∴ p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而直线被抛物线截得的弦长为x1+x2+p=12+4=16.
5.B 由题意得,圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)的圆心为C(a,a),半径r=1,所以圆心到直线y=2x的距离d=,所以弦长|PQ|=2=2,所以△CPQ的面积S=|PQ|×d=×==,解得a=.
6.D 设火星半径为R,椭圆左焦点为F1,连接PF1,NF1,MF1,则∠MPN=2∠MPF1,如图D 1.
图 D 1
因为sin∠MPF1=,所以PF1越小,sin∠MPF1越大,∠MPF1越大,∠MPN越大,观察可知,当点P位于条件中点T处时,对火星的观测角最大.
7.D 设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,其中A',B',P为垂足.因为l为圆O的切线,所以P为切点,且易得|AA'|+|BB'|=2|OP|=6.因为抛物线过点A,B,所以|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|,所以|FA|+|FB|=|AA'|+|BB'|=6>|AB|=2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).
8.D 设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),直线PA,PB,QA和QB的斜率分别记为k1,k2,k3,k4.由O,P,Q三点共线,得x1y2=x2y1.因为A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以k1+k2=+=.
又点P在双曲线C1上,所以-=1,即-a2=,从而k1+k2==.
同理可得,k3+k4=.
故k1+k2+k3+k4= - = =0.
9.BD 对于A,若直线过原点,横纵截距都为零,则不能用方程+=1表示,所以A不正确;对于B,当m=0时,方程为x=2,此方程表示的直线平行于y轴,所以B正确;对于C,若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,所以C不正确;对于D,设点P(x,y)是经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线上的任意一点,根据∥可得(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0,所以D正确.故选BD.
10.BCD 由题意知双曲线C的渐近线方程为x±ay=0,所以=1,解得a=,所以半焦距c=2,所以e==,故A错误,B正确;设P(x0,y0),则d1d2=·==,故C正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),由点差法易得k1k2=,故D正确.故选BCD.
11.BD 设P(x,y),由A(-2,0),B(4,0),=可得=2,两边平方整理可得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故曲线C的方程为(x+4)2+y2=16,故A错误;
曲线C表示圆心为(-4,0),半径r=4的圆,点(1,1)到圆心的距离为=,所以点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为-r=-4,最大值为+r=+4,而3∈[-4,+4],故B正确;
设M(x,y),由|MO|=2|MA|,可得=2,两边平方整理可得x2+y2+x+=0,与x2+y2+8x=0联立,解得x=2,y无实数解,故C错误;
设N(x,y),由|NO|2+|NA|2=4,可得x2+y2+(x+2)2+y2=4,整理可得x2+y2+2x=0,与x2+y2+8x=0联立,解得x=0,y=0,故D正确.故选BD.
12.3 因为点P(cos θ,sin θ)的轨迹是圆心在原点,半径为1的圆, 直线l:x-my-2=0过定点A(2,0),如图D 2所示.
图D 2
过O作OM⊥l,垂足为M,则|OM|≤|OA|=2,
所以|OM|+1≤2+1=3,当点M与点A重合时取等号,此时m=0,dmax=3.
故d的最大值为3.
13. 因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2与x轴垂直,则P的坐标为(2,±),所以|PF2|=,
则|PF1|=2a-|PF2|=,所以=.
14. 设圆C与线段F1F2切于点G,则由题意可知|PD|=|PE|,|F1D|=|F1G|,|F2G|=|F2E|,
所以|PF1|-|PF2|=(|PD|+|DF1|)-(|PE|+|EF2|)=|DF1|-|EF2|=|GF1|-|GF2|=2a,
设G(x0,0),
则(x0+c)-(c-x0)=2a,即x0=a,所以点G即为右顶点A.
设圆C的半径为r(r>0),因为圆C的面积为4π,则πr2=4π,则r=2,
因为CA⊥F1F2,所以C(2,2),
于是tan∠CF2A===2,
因为CF2是∠PF2F1的角平分线,
所以tan∠PF2F1=tan(2∠CF2A)==-,
所以tan∠PF2x=tan(π-∠PF2F1)=-tan∠PF2F=,即直线PF2的斜率为.
15.(1)由抛物线的定义可得4+=5,解得p=2,
故抛物线C的方程为x2=4y.
(2)把M(m,4)代入x2=4y,得m=±4,
即点M的坐标为(±4,4).
又抛物线x2=4y的焦点为(0,1),则a=1,
所以双曲线的方程为y2-=1(b>0),
将M(±4,4)代入双曲线的方程,得b2=,即b=,
故双曲线的渐近线方程为y=±x.
16.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).
由= 得x0=x,y0=y.
因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.
因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.
(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则
=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,
=(m,n),=(-3-m,t-n).
由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
17.(1)依题意得圆C:(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为C(-1,2),半径为.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,
设切线方程为y=kx,由=,解得k=2±,则切线方程为y=(2±)x.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,
设切线方程为x+y-a=0,由=,解得a=-1 或 a=3,所以切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
综上,切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由|PO|=|PM|,得+=(x1+1)2+(y1-2)2-2,即2x1-4y1+3=0.
故点P在直线l:2x-4y+3=0上.
|PM|取得最小值,即|OP|取得最小值,易知直线OP⊥l时|OP|取得最小值.
所以此时直线OP的方程为2x+y=0.
解方程组得
故所求点P的坐标为(-,).
18.(1)由已知可得2b=4,解得b=2,故椭圆C的方程为+=1.
若选择①,则×2c×b=bc=2c=4,解得c=2,故a2=b2+c2=12,
故椭圆C的方程为+=1.
若选择②,则+=1,解得a2=12,
故椭圆C的方程为+=1.
若选择③,则e=====,
解得a2=12,故椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由可得4x2+6mx+3m2-12=0 (*),
由Δ=(6m)2-4×4×(3m2-12)>0,可得-4
设线段AB的中点为H(x0,y0),
则x0==-,y0=x0+m=,即H(-,).
因为-4
所以PH⊥AB,即PH⊥l,
又直线l的斜率k=1,所以kPH=-1,即=-1,
解得m=2∈(-4,4),
此时方程(*)化为4x2+12x=0,解得x1=0,x2=-3,
|AB|=|x1-x2|=×|0-(-3)|=3,
此时H(-,),
故|PH|==,
故S△PAB=×|AB|×|PH|=×3×=.
综上,m=2,△PAB的面积为.
19.(1)由题意知p=2,所以抛物线的方程是y2=4x.
(2)由题意可设直线AB的方程为x=ty+1(t≠),A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线AB的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,
所以y1+y2=4t,y1y2=-4.
直线MA的方程为y=(x+1),设直线l的方程为x=y+s.
记P(xP,yP),Q(xQ,yQ),
由得yP=.
同理得yQ=.
记R(xR,yR),由得yR=.
由题意知|yR|2=|yP|·|yQ|,化简得=.
易知s≠1,所以=.
因为=(+)2+≥,当且仅当t=-时等号成立,所以≥.
得s≤-7-4或s≥-7+4且s≠1.
因此直线l在x轴上截距的取值范围是(-∞,-7-4]∪[-7+4,1)∪(1,+∞).