选择性必修第一册苏教版-第4章-单元测试卷（含解析）

第4章　数列
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.　　
1.已知数列1,,,,3,,…,则是这个数列的 (　　)
A.第1 011项 B.第1 012项 C.第1 013项 D.第1 014项
2.若等比数列{an}的前5项的乘积为1,a6=8,则数列{an}的公比为 (　　)
A.-2 B.2 C.±2 D.
3.记Sn为等差数列{an}的前n项和,有下列四个等式.甲:a1=1.乙:a4=4.丙:S3=9.丁:S5=25.如果只有一个等式不成立,则该等式为 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.已知Sn是数列{an}的前n项和,log3Sn=n(n∈N*),则数列{an}是 (　　)
A.公比为3的等比数列 B.公差为3的等差数列
C.公比为的等比数列 D.既非等差数列,也非等比数列
5.“十二平均律”是通用的音律体系,由明代朱载堉最早发现,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十二个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它之前的一个单音的频率的比都等于,若第n个单音的频率是第1个单音频率的1.5倍,那么n的值为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
6.若数列{an},{bn}满足an·bn=1,an=n2+3n+2,则数列{bn}的前10项和为 (　　)
A. B. C. D.
7.古代《九章算术》记载:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何”其意思为:“今有5人分5钱,各人所得钱数依次成等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是 (　　)
A. B.1 C. D.
8.已知等差数列{an}的公差不为0,设Sn为其前n项和,若S9=0,则集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2 023}中元素的个数为 (　　)
A.2 022 B.2 021 C.2 015 D.2 019
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a1>0,S10=S20,则 (　　)
A.d<0 B.a16<0
C.Sn≤S15 D.当且仅当Sn<0时,n≥32　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是 (　　)
A.若Sn=n2-1,则{an}是等差数列
B.若{an}是等差数列,则三点(10,),(100,),(110,)共线
C.若{an}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,则数列{an}的前n项和Sn有最小值
D.若等差数列{an}的前12项和为354,前12项中,偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则公差为5
11.“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的,具体为取0,3,6,12,
24,48,96,…这样一组数,容易发现,这组数从第3项开始,每一项是前一项的2倍,将这组数的每一项加上4,再除以10,就得到“提丢斯数列”:0.4,0.7,1.0,1.6,
2.8,5.2,10.0,…则下列说法中正确的是 (　　)
A.“提丢斯数列”是等比数列
B.“提丢斯数列”的第99项为
C.“提丢斯数列”的前31项和为+
D.“提丢斯数列”中,不超过20的有8项
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知等比数列{an}满足an+1an<0(n∈N*),且其前n项和Sn>0,则数列{an}的通项公式可以是an=　　　　.(写出一个符合条件的即可)
13.已知等差数列{an}中,a3=7,a6=16,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:
a1
a2　a3
a4　a5　a6
a7　a8　a9　a10
…　…　…　…　…
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是　　　　.
14.已知数列{an}满足=n-1(n∈N*),a1+a2+a3=75,记Sn=a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+
…+anan+1·an+2,则a2=　　　　,使得Sn取得最大值的n的值为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知{an}是公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,且a5=1,　　　　　　.若存在正整数n,使得Sn有最小值.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn的最小值.
从①a3=-1,②d=2,③d=-2三个条件中选择符合题意的一个条件,补充在横线上并作答.
注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
16.(15分)已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,并且an+1=f(an).
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若bn=an,求数列{bn}的前n项和Sn.
17.(15分)已知数列{an}中,a1=1,anan+1=()n.
(1)求证:数列{a2n}与{a2n-1}都是等比数列;
(2)若数列{an}的前2n项和为T2n,令bn=(3-T2n)n(n+1),求数列{bn}的最大项.
18.(17分)已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn>0,且b1+b2+b3=15,a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.
(1)求数列{anbn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
19.(17分)2022年以来,我国产业升级发展态势持续,技术含量较高、附加值较高的高技术制造业持续保持较快增长,引领中国经济加速转型升级,产业升级加快的同时,高技术产业投资也在提速.某公司一下属企业负责某种高技术产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
第4章　数列
1.B　由数列1,,,,3,,…,可得an=,令an==,解得n=1 012,
所以是这个数列的第1 012项.
2.B　设数列{an}的公比为q,由题意得a1a2a3a4a5==1,所以a3=1,
所以q3==8,解得q=2.
3.B　若a1=1,a4=4同时成立,则d=1,此时S3=1+2+3=6,S5=1+2+3+4+5=15≠25与题意不符,故甲乙不可能同时成立,丙丁一定成立,所以
解得甲成立,乙不成立.故选B.
4.D　因为log3Sn=n(n∈N*),所以Sn=3n,当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1,由于a1=3,不满足an=2·3n-1,则an=
故选D.
5.D　设第n个单音的频率为fn,n∈N*,由题意可得,
所以()n-1=1.5,所以lg()n-1=lg 1.5=lg,即lg 2=lg 3-lg 2,
所以n≈×12+1≈8.
故选D.
6.B　∵an=n2+3n+2,an·bn=1,∴bn==-.
∴{bn}的前10项和为S10=-+-+…+-=-=.
7.A　由题意可设,5人的钱数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
则
解得
故第一人分得的钱数是a-2d=1-2×(-)=.
8.D　∵S9=9a1+d=9a1+36d=0,即a1=-4d,且d≠0,
∴Sk=ka1+=-4kd+d=d=[(k-)2-],且数列{Sk}(k≥5)单调递增,
根据二次函数的对称性可知S1=S8,S2=S7,S3=S6,S4=S5,
故集合{x|x=Sk,k=1,2,…,2 023}中元素个数为2 023-4=2 019.
故选D.
9.ABC　由题意得,S10=S20,a11+a12+…+a20=0,即a15+a16=0,也即2a1+29d=0(d为公差),因为a1>0,所以d<0,所以a16<0,Sn≤S15.所以A,B,C正确.由于S2n=n(an+an+1),S2n-1=(2n-1)an,
S30=15(a15+a16)=0,S31=31a16<0,所以D不正确.
10.BCD　若Sn=n2-1,则a1=0,a2=3,a3=5,显然不是等差数列,A错误;
若{an}是等差数列,则为等差数列,三点(10,),(100,),(110,)共线,B正确;
若{an}是等差数列,公差为d,且a1=-11,a3+a7=2a1+8d=-6,则d=2,因为a1=-11<0,d>0,故Sn有最小值,C正确;
等差数列{an}的前12项和为354,前12项中,偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,所以偶数项和为192,奇数项和为162,故6d=192-162=30,所以d=5,D正确.
11.BCD　记“提丢斯数列”为数列{an},则当n≥3时,an==,当n=2时,a2=0.7,符合该式,当n=1时,a1=0.4不符合上式,故an=故A错误;
a99=,故B正确;
“提丢斯数列”的前31项和为+(20+21+22+…+229)+×30=+,故C正确;
令≤20,即2n-2≤,解得n=2,3,4,5,6,7,8,又a1<20,∴不超过20的有8项,故D正确.
12.(-)n-1(答案不唯一)　设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由an+1an<0(n∈N*)可得该等比数列的奇数项和偶数项的符号不同,则q<0,因为Sn>0,
所以S1=a1>0,S2=a1+a2=a1(1+q)>0,所以q>-1,所以取a1=1,q=-,则an=(-)n-1.
13.598　第1行有1项,第2行有2项,第3行有3项,故前19行共有19×1+×1=190(项),则第20行第10项为数列{an}中的第200项.又a3=7,a6=16,
∴公差d===3,∴an=a3+(n-3)·d=7+3(n-3)=3n-2,∴a200=3×200-2=598.
14.25　10　因为n∈N*,所以取n=1,则a1-28=0,可得a1=28,取n=2,可得=1,即a3=2a2-28,
又a1+a2+a3=75,可得a2=25,a3=22.
当n≥2时,由=n-1,得-=-,
可令cn=,则cn-cn-1=28(-)(n≥2),
由cn=c1+(c2-c1)+…+(cn-cn-1)=c1+28×(-1+-+…+-),
可得cn=c1+28(-1)=a2+28(-1),
则an+1=ncn=na2+28(1-n)=28+n(a2-28),
故an+1=28-3n(n≥2),所以an=31-3n(n≥3),
又a1=28,a2=25,也符合上式,所以an=31-3n.
设bn=anan+1an+2=(31-3n)(28-3n)(25-3n),
令bn≥0,则可得(31-3n)(28-3n)(25-3n)≥0,
解得1≤n≤8(n∈N*)或n=10,
又b9=-8,b10=10,所以n=10时,Sn取得最大值.
15.当选条件①a3=-1时,根据题意得a5-a3=2d,即1-(-1)=2d,解得d=1.
(1)an=a5+(n-5)d=1+(n-5)×1=n-4.
(2)a1=a3-2d=-3,所以Sn=na1+=n×(-3)+×1=,
所以当n=3或4时,Sn取得最小值,最小值为-6.
当选条件②d=2时,根据题意得a1=a5-4d=1-4×2=-7.
(1)an=a1+(n-1)d=-7+(n-1)×2=2n-9.
(2)Sn=na1+=n×(-7)+=n2-8n,
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
当选条件③d=-2时,根据题意得a1=a5-4d=1-4×(-2)=9.
(1)an=a1+(n-1)d=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.
(2)Sn=na1+=n×9+×(-2)=-n2+10n,无最小值,所以条件③不符合题意.
(本题可以选择条件①或②并进行作答)
16.(1)由题意得an+1=,∴==1+,即-=1,
∴数列{}是一个等差数列,其公差为1,首项为=1,从而=n,∴an=.
(2)由(1)得bn=an==-,
∴Sn=b1+b2+…+bn=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.
17.(1)数列{an}中,a1=1,anan+1=()n,
∴an+1an+2=()n+1,∴=.
∵a1=1,∴a2=,故数列{a2n-1}是以1为首项,为公比的等比数列,数列{a2n}是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-.
∴bn=(3-T2n)n(n+1)=3n(n+1)()n,
∴bn+1-bn=3(n+1)()n(-n)=(2-n),∴b3=b2>b1,且b3>b4>b5>…,
故{bn}的最大项是b2=b3=.
18.(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.
∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,即b2=5.
设等差数列{bn}的公差为d,∵a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,
∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.
∵bn>0,∴d=-10应舍去,∴d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.
故anbn=(2n+1)·3n-1.
(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1　①,
3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n　②,
①-②,得
-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n
=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n
=3+2×-(2n+1)3n
=3n-(2n+1)3n
=-2n·3n.
∴数列{anbn}的前n项和Tn=n·3n.
19.(1)由题意得a1=2 000×(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4 500-d,
an+1=an(1+50%)-d=an-d.
(2)由(1)得an=an-1-d=(an-2-d)-d=()2·an-2-d-d=…=()n-1a1-d[1++()2+…+()n-2],
整理得an=()n-1(3 000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1·(3 000-3d)+2d.
由题意知am=4 000,所以()m-1(3 000-3d)+2d=4 000,解得d=.
故该企业每年上缴资金d的值为万元时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.