选择性必修第一册苏教版-第5章-单元测试卷（含解析）

第5章　导数及其应用
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f(x)=x3-f '(1)·x2-x,则f '(1)的值为 (　　)
A.0 B.2 C.1 D.-1
2.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为 (　　)
A.x+4y+3=0 B.x+4y-9=0
C.4x-y+3=0 D.4x-y-2=0
3.三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上单调递减,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(-∞,0] D.(-∞,1]
4.若函数f(x)=sin 2x+sin x,则f '(x)是 (　　)
A.仅有最小值的奇函数
B.仅有最大值的偶函数
C.既有最大值又有最小值的偶函数
D.非奇非偶函数
5.函数y=-2sin x的图象大致是 (　　)
A　　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　D
6.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f '(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为 (　　)
A.{x|x>0} B.{x|x<0}
C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x<-1或07.德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一,他从几何问题出发,引进了微积分概念.他在研究曲线的切线时认识到,求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值,当横坐标的差值趋于0时,纵坐标的差值与横坐标的差值的比值可作为曲线的切线的斜率,这也是导数的几何意义.设f '(x)是函数f(x)的导函数,若f '(x)>0,对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,总有<,则下列选项正确的是(　　)
A.f(π)f '(e)>f '(2)
C.f '(2)8.若不等式mx≥ln x恒成立,则实数m的取值范围为 (　　)
A.[,+∞) B.[,+∞) C.(,+∞) D.[,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)定义域为[-1,5],部分对应值如下表所示.
x -1 0 2 4 5
f(x) 1 2 0 2 1
f(x)的导函数f '(x)的图象如图1所示.
图1
下列关于函数f(x)的结论正确的有 (　　)
A.函数f(x)的极大值点有2个
B.函数f(x)在(0,2)上单调递减
C.若x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4
D.当1≤a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点
10.已知函数f(x)=xln x,若0A.x2f(x1)C.<0 D.当ln x>-1时,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)
11.函数f(x)=和g(x)=有相同的最大值b,直线y=m与两曲线y=f(x)和y=g(x)恰好有三个交点,从左到右三个交点的横坐标依次为x1,x2,x3,则下列说法正确的是 (　　)
A.a=1 B.b= C.x1+x3=2x2 D.x1x3=
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=ex3+2e-x,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　.
13.记f '(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数,若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f '(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.已知m,n∈R,若函数f(x)=mx2+nx与g(x)=ln x存在“S点”,则实数m的取值范围为　　　　.
14.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题,牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿法,即用“作切线”的方法求方程的近似解,具体步骤如下:设r是函数y=f(x)的一个零点,任意选取x0作为r的初始近似值,过点(x0,f(x0))作曲线y=f(x)的切线l1,设l1与x轴交点的横坐标为x1,并称x1为r的1次近似值;过点(x1,f(x1))作曲线y=f(x)的切线l2,设l2与x轴交点的横坐标为x2,称x2为r的2次近似值.一般地,过点(xn,f(xn))(n∈N*)作曲线y=f(x)的切线ln+1,记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1,并称xn+1为r的n+1次近似值.若f(x)=x2-3,取x0=2作为r的初始近似值,则f(x)=0的正根的二次近似值为　　　　.若f(x)=x3+3x-2,x1=1,设an=,n∈N*,数列{an}的前n项积为Tn.若Tn<λ恒成立,则整数λ的最小值为　　　　 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=x--4ln x.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)判断f(x)在(0,10]上的零点的个数,并说明理由.(提示:ln 10≈2.303)
16.(15分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在x=-1处取得极大值2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量x1,x2都有≤c,求实数c的最小值.
17.(15分)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图2所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价k(万元)(k>0),问O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低
图2
18.(17分)已知f(x)=2ex-1+4ax(a∈R).
(1)若a=,求f(x)的图象在x=0处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值为3e,求a的值.
19.(17分)已知函数f(x)=x-aln x.
(1)若曲线y=f(x)+b(a,b∈R)在x=1处的切线方程为x+y-3=0,求a,b的值;
(2)求函数g(x)=f(x)+(a∈R)的极值点;
(3)设h(x)=f(x)+aex-+ln a(a>0),若当x>a时,不等式h(x)≥0恒成立,求a的最小值.
第五章　导数及其应用
1.A　f '(x)=x2-2f '(1)·x-1,则f '(1)=12-2f '(1)·1-1,解得f '(1)=0.
2.D　设切点坐标为(x0,y0).易知y'=4x,则有4x0=4,解得x0=1,
所以y0=2,故切线l的方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
3.A　依题意可得 f '(x)=3mx2-1≤0,且m≠0,从而 m<0.
4.C　∵函数f(x)=sin 2x+sin x,∴f '(x)=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1=2(cos x+)2-(x∈R).
当cos x=-时,f '(x)取得最小值-;当cos x=1时,f '(x)取得最大值2.
又f '(-x)=f '(x),故f '(x)是偶函数.
5.C　函数y=-2sin x是奇函数,图象关于坐标原点对称,排除选项A.
易知y'=-2cos x,令y'=0,解得cos x=,根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解,
即函数y=-2sin x有无穷多个极值点.令g(x)=,h(x)=2sin x,
则易知g(x)与h(x)的图象(图略)共有三个交点,即y=-2sin x共有3个零点.
综上,并结合选项可排除B,D.故选C.
6.A　构造函数g(x)=ex·f(x)-ex,则g'(x)=ex·f(x)+ex·f'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)]-ex>ex-ex=0,
所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.
又g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以g(x)>1,当x>0时,exf(x)-ex>1,即exf(x)>ex+1.故选A.
7.C　若f '(x)>0,则f(x)在R上单调递增,
由条件对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,总有<,
图D 1
据此可画出y=f(x)的大致图象,如图D 1所示,易知此函数图象是上凸的,
则f(π)>f(e)>f(2),f '(π)又f(2)-f(1)=,表示点A(1,f(1)),B(2,f(2))连线的斜率,
由图D 1可知,f '(2)8.B　当x=e时,me·≥1,则m>0.
①当00,不等式显然成立.
②当x≥1时,不等式mx≥ln x,可化为mx2≥xln x,两边取对数有ln(mx2)+mx2≥ln x+ln(ln x).
令g(x)=x+ln x,可得g(mx2)≥g(ln x),
易知函数g(x)在其定义域上单调递增,则可得mx2≥ln x,即m≥.
令h(x)=,则h'(x)==(x≥1),
由h'(x)>0,得1≤x<,可得函数h(x)的单调递增区间为[1,),单调递减区间为(,+∞),得h(x)max=h()==.
故实数m的取值范围为[,+∞).故选B.
9.ABD　由题图可知,函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,4)上单调递增,在(4,+∞)上单调递减,易知选项A,B正确.
对于C,结合题表及函数f(x)的单调性可得,当t≥0时,f(x)在[-1,t]上的最大值为2,故t的最大值不为4.故C错误.
对于D,求函数y=f(x)-a的零点个数,即求函数y=f(x)和y=a的图象的交点个数,由函数f(x)的简图(图略)易知,当1≤a<2时,函数y=f(x)和y=a的图象有4个交点,故D正确.
10.AD　令g(x)==ln x,易知g(x)在(0,+∞)上是增函数,∴当 0所以x2f(x1)令h(x)=f(x)+x=xln x+x,则h'(x)=ln x+2.
∴当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(e-2,+∞)上单调递增,
当x∈(0,e-2)时,h'(x)<0,h(x)在(0,e-2)上单调递减.
∴x1+f(x1)与x2+f(x2)无法比较大小.故B错误.
∵f(x)=xln x,∴f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0∵当x>,即ln x>-1时,f(x)单调递增,又由选项A知,x2f(x1)x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]=(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故D正确.故选AD.
11.ABD　因为f '(x)=,g'(x)=,a≠0,所以令f '(x)=0,得x=1,令g'(x)=0,得x=e,当a<0时,
在(-∞,1)上,f '(x)<0,f(x)单调递减,在(1,+∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)有最小值,无最大值,
不合题意.当a>0时,在(-∞,1)上,f '(x)>0,f(x)单调递增,在(1,+∞)上,f '(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)max=f(1)=,在(0,e)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(e,+∞)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)max=g(e)=,因为函数f(x)=和g(x)=有相同的最大值b,所以==b,
所以a=1,b=,作出函数f(x)与g(x)的图象如图D 2所示.
图D 2
根据题意知,当直线y=m过两曲线的交点A时,满足题意.设A(x2,m),直线y=m与曲线f(x)在A的左边的交点为P(x1,m),直线y=m与曲线g(x)在A的右边的交点为Q(x3,m),所以01,ln x3>
ln e=1,且f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以x2=ln x3,所以==,所以==,所以x1,x2,x3成等比数列,所以x1x3=.故选ABD.
12.y=ex-2e　因为奇函数的图象在关于原点对称的两点处的切线平行,且f'(x)=3ex2-2e-x(x<0),
故f'(1)=f'(-1)=e,又f(1)=-f(-1)=-e,故切线方程为y+e=e(x-1),即y=ex-2e.
13.[-,+∞)　函数f(x)=mx2+nx,g(x)=ln x,则f '(x)=2mx+n,g'(x)=.由题意得
则m=.令h(x)=(x>0),则h'(x)=.令h'(x)=0,则x=,
所以x∈(,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,x∈(0,)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)在x=处取得极小值,也是最小值,h(x)min=)==-,且x→0+时,h(x)→+∞,所以实数m的取值范围为[-,+∞).
14.　2　f '(x)=2x,切线方程为y=f '(xn)(x-xn)+f(xn),令y=0,则xn+1=xn-=xn-=xn+,
当x0=2时,x1=x0+=1+=,x2=x1+=×+=.因为f(xn)=+3xn-2,f '(xn)=3+3,则xn+1=,则==,故Tn=anan-1…a1=··…··=<λ恒成立,函数f(x)=x3+3x-2在(0,+∞)上单调递增,f()=-<0,f(1)=2>0,故r∈(,1),故15.(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1+-==.
令f'(x)<0,解得1令f'(x)>0,解得03,故f(x)在区间(0,1),(3,+∞)上单调递增,
所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞),单调递减区间为(1,3).
(2)f(1)=1-3-4×0=-2<0,
f(3)=3-1-4ln 3=2-4ln 3<0,
f(10)=10--4ln 10=-4ln 10≈9.7-4×2.303>0,
结合函数f(x)的单调性可得,函数f(x)在(0,10]上的零点有一个.
16.(1)f '(x)=3ax2+2bx-3,因为函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R)在x=-1处取得极大值2,所以解得经检验符合题意,所以f(x)=x3-3x.
(2)f '(x)=3x2-3,当-20,当-117.(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足,如图D 3所示.
由条件知,当O'B=40时,BB1=-×403+6×40=160,则AA1=160.
由O'A2=160,得O'A=80.
所以AB=O'A+O'B=80+40=120(米).
故桥AB的长度为120米.
(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图D 3所示).
图D 3
设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-x3+6x,
EF=160-y2=160+x3-6x.
因为CE=80,所以O'C=80-x.
设D(x-80,y1),则y1=(x-80)2,
所以CD=160-y1=160-(x-80)2=-x2+4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x),
则f(x)=k(160+x3-6x)+k(-x2+4x)=k(x3-x2+160)(0f '(x)=k(x2-x)=x(x-20),
令f '(x)=0,得x=20.
x (0,20) 20 (20,40)
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x=20时,f(x)取得最小值.
故当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.
18.(1)当a=时,f(x)=2ex-1+x,
f'(x)=2ex-1+,∴f'(0)=,f(0)=.
∴f(x)的图象在x=0处的切线方程为y-=(x-0),即x-y+=0.
令x=0,可得y=;令y=0,可得x=-.
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为××=.
(2)f'(x)=2ex-1+4a.
当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=2e+8a=3e,∴a=.
当a<0时,由f'(x)=0,解得x=1+ln(-2a),
①令1+ln(-2a)≤1,解得-≤a<0,此时f(x)在[1,2]上单调递增,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=2e+8a=3e,∴a=,舍去.
②令1+ln(-2a)≥2,解得a≤-,此时f(x)在[1,2]上单调递减,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=2+4a=3e,∴a=,舍去.
③令1<1+ln(-2a)<2,解得-由①②可知,f(2)不可能为最大值,而f(1)=2+4a=3e,则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=2+4a=3e,
∴a=,舍去.
综上可得,a=.
19.(1)由f(x)=x-aln x得,y=x-aln x+b,
∴y'=f'(x)=1-.
由已知可得,即解得
(2)g(x)=f(x)+=x-aln x+,
∴g'(x)=1--=(x>0).
∴当a+1≤0, 即a≤-1时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点;
当a+1>0, 即a>-1时,则可知当0a+1时,g'(x)>0,
∴g(x)在(0,a+1) 上单调递减,在(a+1,+∞)上单调递增,
此时,x=a+1是g(x)的极小值点,无极大值点.
综上可知,当a≤-1时,函数g(x)无极值点;
当a>-1时,函数g(x)的极小值点是a+1,无极大值点.
(3)h(x)=f(x)+aex-+ln a=aex-ln x+ln a(a>0),
由题意知,当x>a时,aex-ln x+ln a≥0恒成立,
又不等式aex-ln x+ln a≥0等价于aex≥ln,即ex≥ln ,即xex≥ln 　①.
对于①式,有两种方法可展开作答.
方法一　①式等价于xex≥ln ·,
由x>a>0知,>1,ln >0.
令φ(x)=xex(x>0),则原不等式可化为φ(x) ≥φ(ln ),
又φ(x)=xex (x>0)在(0,+∞)上单调递增,
∴原不等式等价于x≥ln 　②,
又②式等价于ex≥,即a≥(x>a>0)　③.
方法二　由x>a>0知,>1,ln >0,
则①式等价于ln(xex)≥ln(ln ),
即x+ln x≥ln +ln(ln).
设q(x)=x+ln x(x>0),则原不等式可化为q(x)≥q(ln),
又q(x)=x+ln x(x>0)在(0,+∞)上为增函数,
∴原不等式等价于x≥ln 　②,
又②式等价于ex≥,即a≥(x>a>0)　③.
对于③式有两种方法可展开作答.
方法一　设F(x)=(x>0),则f'(x)=.令F'(x)>0,解得01.
∴F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
又x>a>0,∴当0∴F(x)≤F(1)=.
要使原不等式恒成立,必须使≤a<1.
当a≥1时,F(x)在(a,+∞)上单调递减,F(x)要使原不等式恒成立,必须使a≥,∴a≥1时,原不等式恒成立.
综上可知,a的取值范围是[,+∞),∴a的最小值为.
方法二　②式等价于x≥ln x-ln a,即ln a≥ln x-x.
设H(x)=ln x-x(x>0),则H'(x)=,令H'(x)>0,解得01,
∴H(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
又x>a>0,∴当0要使原不等式恒成立,必须使ln a≥-1,∴≤a<1.
当a≥1时,H(x)在(a,+∞)上单调递减,
∴H(x)要使原不等式恒成立,必须使ln a≥-1,
又a≥1,ln a≥0,∴当a≥1时,原不等式恒成立.
综上可知,a的取值范围是[,+∞),∴a的最小值为.