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RJA
3.1.1函数的概念(第一课时)
高中数学
必修第一册 RJ
教学目标:
1、会用集合与对应的语言刻画函数,深刻体会对应关系的作用.
2、了解构成函数的三要素.
3、从函数的角度理解相关事物中的变量关 系.
客观世界中有各种各样的运动变化现象。例如:天宫二号在发射过程中,离发射点的距离随时间的变化而变化;一个装满水的蓄水池在使用过程中,水面高度随时间的变化而不断降低;我国高速铁路营业里程逐年增加,已突破2万公里……;所有这些都表现为变量间的对应关系,这种关系常常可以函数模型来描述,并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律。
函数是贯穿高中数学的一条主线,是解决数
学问题的基本工具;数学概念及其反映的数学思
想方法已渗透到数学的各个领域,是进一步学习
数学的重要基础。
1、回顾初中学习的函数概念
设在一个变化过程中,有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量.
2、请问:我们在初中学过哪些函数?
温故知新
一次函数:
正比例函数:
反比例函数:
二次函数:
3、请同学们考虑以下两个问题:
显然,仅用初中函数的概念很难回答这些问题.因此,需要从新的高度认识函数,本节课我们将从集合的角度重新认识函数.
是函数吗?
与
是同一个函数吗?
一、新课导入
思考:根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,运行1h就前进了350km,这个说法正确吗?
不正确:忽略了t的变化范围
问题1:某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为?
对应关系
时间的范围集合
路程的范围集合
例2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?
思考:
(1)写出w和d的对应关系式;
w=350d
A={1,2,3,4,5, 6}
B={350,700,1050,1400,1750,2100}
(2)指出变量d和w的取值范围.分别用集合A和集合B表示出来.
思考:问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,它们是同一个函数吗?
不是,因为变量的取值范围不同.
分析、归纳以上实例,它们有什么共同特点?
(1)都包含两个非空数集,用A,B来表示;
(2)都有一个对应关系;
(3)对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.
那么问题来了!
二、研讨新知
思考:上述问题1~问题2中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗?
共同特征有:
(1)都包含两个非空数集,用A,B来表示;
(2)都有一个对应关系;
(3)尽管对应关系的表示方法不同,但它们都有如下特性:对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数y和它对应。
函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:
y=f(x) x∈A.
x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域,
集合{f(x)|x∈A} 叫作函数的值域.
思维实验
数集A
数集B
输入
输出
加工设备
值域
定义域
对应关系
函数的三要素:
例1 结合函数的定义,判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.
A
B
f
1
2
2
4
3
6
7
A
B
f
1
2
2
4
3
6
4
B
A
f
1
2
2
4
3
6
8
A
B
f
1
2
2
4
3
(1)
(4)
(3)
(2)
练习 判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.
A
B
f
1
2
2
4
3
6
7
A
B
f
1
2
1
3
(1)
(2)
不是
是
下列图形哪个可以表示函数的图象?
A
0
x
y
B
0
x
y
C
0
x
y
√
常见函数的定义域和值域
知识点2
a>0
a<0
题型一 函数的值域
函数y=-x2+1,-1≤x<2的值域是( )
A.(-3,0] B.(-3,1]
C.[0,1] D.[1,5)
[分析] 首先看二次函数的开口方向,再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系.
B
题型探究
例 1
[解析] A中x≥0,所以y≥0;B中x>0,所以y>0;C中x≠0,所以y≠0;D中x∈R,所以y≥1.
B
1、定义域:{t|0≤t≤26}
值域: {h|0≤h≤845},
对应关系:对于数集{t|0≤t≤26}中的任意一个数,在数集 {h|0≤h≤845}中都有唯一确定的数h=130t-5t2与之对应
三、巩固练习
完成书本第63-64页的练习
2.2016年11月2日8时至次日八时,北京的温度走势如图所示。
(1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域
(2)根据图像求,这一天中,12时所对应的温度
解(1)设从今日八点起24小时内经过时间t的温度y0C 定义域:{t|0≤t≤24}, 值域: {y|2≤y≤12}.
(2)由图知12时的温度约为9.70C
3.集合A,B与对应关系f,如图所示,
f:A→B是否为从集合A到集合B的函数?
如果是,那么定义值域与对应关系各
是什么?
解:由图知A中的任意一个数,B中都有唯一确定数,与之对应,所以f:A→B 是从A到B的函数定义域是A={1,2,3,4,5},值域C={2,3,4,5}
三、巩固练习
课堂小结
1、函数定义
2、函数的三要素:定义域、值域、对应关系