4.2 一次函数与正比例函数 北师大版数学八年级上册(共28张PPT)

(共28张PPT)
第四章 一次函数
北师大版八年级（初中）数学上册
授课老师：孙老师
4.2 一次函数与正比例函数
复习回顾
1.一般地，如果在一个变化过程中有_____变量x 和y ，并且对于变量x 的______________，变量 y 都有________的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的_____.其中 x 是_______.
2.如果当x =a时，y=b，那么___称作当自变量的值为___时的函数值.
3.用关于____________表示_____之间的关系，这种关系叫做函数的解析式.
自变量的式子
变量
b
a
函数
自变量
唯一确定
两个
每一个确定的值
解： （1） y=3x 中自变量的取值范围是全体实数.
（1）y=3x； （2）y=； （3）y=
（2） y= 中自变量的取值范围是 x≠3.
（3） y= 中自变量的取值范围是 x≥-3.
1.下列函数关系式的自变量的取值范围是多少？
2.点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，则 a 的值为（ ）.
A. 2 B. 8 C. -2 D. -8
B
解：因为点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，所以 a=3+5=8. 故应该选 B.
学习目标
1.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件或情境写出正比例函数和简单的一次函数的关系式.
2.会用一次函数的知识解决实际问题.
新知探究
例1 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm.
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
5.5
4
4.5
5
3
3.5
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
(2)你能写出y与x之间的关系式吗？
答：y=3+0.5x.
例2 某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量y/L
0
6
12
18
24
36
（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
答：
答：
答：汽车行驶路程x不可能无限增大,因为汽油只有60L,每行驶50km耗油6L,行驶500km后,油箱就没有油了,所以x不会超过500km,即 ， y代表油箱剩余油量,所以y应该小于60但不能小于零 ，即 .
(4) 汽车行驶的路程x可以无限增大吗 有没有一个取值范围 剩余油量y呢
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点？
（1）y ＝ 0.5x ＋ 3
（2）y ＝ 0.12x
（3）y ＝ -0.12x ＋60
y
＝
kx
＋
b
这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是一次函数
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0)
关系式为：y=kx+b
(k为常数，k≠0)
知识点一 一次函数：若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0;
②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数.
知识点二 正比例函数：一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），当 b=0 时，变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
注意：正比例函数必须满足两个条件：①比例系数k是常数，且k≠0.②两个变量x，y的次数都是1.
例3 下列函数哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-4x; （2）y=-; （3）y=2;
解：（4）,（5）是一次函数；（1）,（6）是正比例函数.
（4）y=-x+3; （5）y=2(x+1); （6）y=(x+2)-1;
① k 是常数，k ≠ 0；
② x 的次数是 1.
一次函数
正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的结构特征有哪些？
思考1
正比例函数一定是一次函数？
思考2
【例2 】自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是:每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款＝（每次收入－800）×20%.
当每次收入超过800元但不超过4000元时，
y＝（x－800）×20%，即y＝0.2x－160;
(1)当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款 y（元）与每次收入x（元）之间的关系式;
解
（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元
（2）当x＝3500时，y ＝0.2×3500－160＝ 540（元）;
（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元
（3）因为（4000－800）×20%＝640（元），600 < 640
所以此人这次取得的劳务报酬不超过4000元.
设此人这次取得的劳务报酬是 x 元，
则 600 ＝0.2x －160．解得 x＝3800.
所以此人这次取得的劳务报酬是3800元.
解
(1) 求滑车滑行轨道剩下的路程S (米)和滑行时间t (分)之间的关系式.
(2) 如果滑行时间为12分钟，求剩下的路程.
(3) 若剩下的路程为20米，那么它滑行的时间为多少分钟？
滑车以每分1.5米的速度匀速从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为50米.
（1）S＝50－1.5t
（2）当t＝12时，S＝50－1.5×12＝ 32（米）；
（3）50 －1.5t ＝20 t＝20（分）.
解
寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关系).
用字母表示自变量和因变量，根据等量关系列出等式.
将等式变形，写成一次函数的一般形式.
知识点三 列一次函数关系式的步骤：
李大爷要围成一个长方形菜园ABCD(如图),菜园的一边利用足够长的墙,另外三边用篱笆围成,所用篱笆的总长恰好为 24 m,设BC 边的长为 x m,AB 边的长为 y m.
(1) 求y与x之间的关系式,并判断 y 是否为 x的一次函数;
(2) 当BC 边的长为10 m时,求AB边的长;
(3) 当AB 边的长为5m时,求BC边的长.
解:(1)由题意得 2y+x = 24,所以 y=－x+12,
y是x的一次函数.
(2)当BC 边的长为10 m,即 x = 10时,
y= －×10+12=7,即AB 边的长为7 m.
(3)当AB 边的长为5 m,即 y=5时，
－x+12=5,解得 x =14,即 BC 边的长为14 m.
课堂练习
1. 某种大米的单价是 2.2 元/kg，当购买 x kg大米时，花费为 y 元. y 是 x 的一次函数吗？是正比例函数吗？
解：由 y =2.2x 得，y是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
【教材P80 随堂练习 第1题】
2.根据下表写出 y 与 x 之间的一个关系式.
x -1 0 1 2 3
y 3 0 -3 -6 -9
解： y＝﹣3x.
【教材P82 习题4.2 第1题】
（1）y = 3x ，是正比例函数.
写出下列各题中y与x间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
3.
（2） ，不是一次函数，也不是正比例函数.
【教材P82 习题4.2 第2题】
（1）一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球，其速度每秒增
加3 m/s，小球的速度y（m/s）与时间 x（s）之间的关系；
（2）周长为10 cm的长方形的一边长为 x cm，其面积 y（cm2 ）
与 x（cm）之间的关系.
解
4. 如图，甲、乙两地相距500km. 现有一列“复兴号”动车
组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶.
设x（h）表示列车行驶的时间，y（km）表示列车与甲地的距离.
（1）写出 y 与 x之间的关系式，并判断 y 是否为x的一次函数；
（2）当 x＝0.5 时，求 y 的值.
（1）y＝500＋350x，y是x的一次函数；
（2）y＝500＋350×0.5＝675（km）
v ＝ 350km/h
【教材P81 随堂练习 第2题】
解
某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，
每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计.
5.
（1） y＝12＋0.2x
（2）当x＝180时，y＝12＋0.2×180＝ 48（元）；
（3） 12＋0.2x ＝100 x＝440（min）.
【教材P82 习题4.2 第3题】
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式;
（2）某手机用户这个月通话时间为180min，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可通
话多长时间？
解
某电信公司手机的B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计．
6.
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式;
（2）某手机用户这个月通话时间为180min，他应缴费多少元？
（3）如果该手机用户本月预缴了100元的话费，那么该用户本月可
通话多长时间？
（1） y＝0.25x（x≥0）
（2）当 x＝180时，y＝0.25×180＝ 45（元）；
（3） 0.25x ＝100 x＝400（min）.
【教材P82 习题4.2 第4题】
解
解
某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，
每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计;B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计．
7.
(1) A类收费:y ＝12＋0.2×300＝72（元）,
B类收费:y＝0.25×300＝75（元）,
所以应选择A类收费方式.
【教材P82 习题4.2 第5题】
（1）若每月平均通话时间为300 min，你选择哪类收费方式
解
某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，
每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计;B类收费标准如下:没有月租费，但通话费按0.25元/ min计．
7.
（2）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费
相等
（2）由题意，得12＋0.2x＝0.25x, 解得x＝240.
所以每月通话时间为240 min时,
按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等.
【教材P82 习题4.2 第5题】
课堂小结
一次函数与正比例函数
定义
列一次函数关系式的步骤
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
①寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关系).②用字母表示自变量和因变量，根据等量关系列出等式.③将等式变形，写成一次函数的一般形式.
一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），当 b=0 时，变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
第三章 位置与坐标
北师大版八年级（初中）数学上册
授课老师：孙老师
课程结束