(共17张PPT)
21.2 降次—解一元二次方程（6）
学习目标
1.掌握用因式分解法解一元二次方程；（重点）
2.会用因式分解法解决一些具体问题；
3.让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便(难点）
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度 (单位：m)为 10x - 4.9x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
分析：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x - 4.9x2 = 0. ①
合作探究
如何解方程①
解：
解：
a = 4.9，b = -10，c = 0.
∴ Δ = b2－4ac
= (-10)2 - 4×4.9×0 = 100.
公式法解方程10x - 4.9x2 = 0.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0.
4.9x2 - 10x = 0.
合作探究
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 4.9x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
10x - 4.9x2 = 0 ①
x(10 - 4.9x) = 0 ②
x = 0，
思考 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？
合作探究
使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
因式分解法的概念
新知讲解
填空：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x - 2) = 0；
x1 = 0，x2 = 2.
(2) (y + 2)(y - 3) = 0；
y1 = -2，y2 = 3.
(4) (x + 6)(2x - 4) = 0；
x1 = -6，x2 = 2.
(3) （x+1 )(x-1)= 0.
x1 = -1，x2 = 1.
新知应用
例1 解下列方程：
解：(1)因式分解，得
∴ x - 2 = 0，或 x＋1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1.
(2) 移项、合并得
因式分解，得 (2x＋1)(2x - 1) = 0.
解得
∴ 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0.
(x - 2)(x＋1) = 0.
新知应用
因式分解法的基本步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
练一练1 解下列方程：
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
即 x1 = 1，x2 = 4．
(2) x2 6x + 9 = (5 2x)2．
解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)，
∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0.
则 (x + 1)(x 4) = 0.
∴ x + 1 = 0，或 x 4 = 0，
解：方程整理得
(x 3)2 (5 2x)2 = 0，则
[(x 3)+(5 2x)][(x 3) (5 2x)]=0，
∴ 2 x = 0，或 3x 8 = 0，
即 x1 = 2，x2 = .
即 (2 x)(3x 8) = 0.
随堂练习
(3)(3m + 2)2 7(3m + 2) + 10 = 0．
解法一：
解：方程整理得m2 - m = 0.
分解因式，得m(m - 1) = 0.
解得 m1 = 0，m2 = 1.
解法二：
解：分解因式，得
(3m + 2 - 2)(3m + 2 - 5) = 0.
∴ 3m + 2 - 2 = 0，
或 3m + 2 - 5 = 0，
解得 m1 = 0，m2 = 1.
将 (3m + 2) 看作一个整体，进行因式分解
随堂练习
(x + p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq (a，b 均为常数)
反过来
x2 + (p + q)x + ab = (x + p)(x + q)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
知识点：若一元二次方程x2 + px + q =0中， q =a×b; p = a + b，那么 x2 + px + q=0 就可以用如上的方法进行因式分解.
新知讲解
简单十字相乘法——pq型的因式分解
步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
例2 解方程：x2 + 6x - 7 = 0.
解：因式分解得
(x + 7)(x 1) = 0.
∴ x + 7 = 0，
或 x 1 = 0.
∴ x1= 7，
x2 = 1.
·
×
新知应用
练一练2 解下列方程：
(1) x2 5x + 6 = 0；
解：分解因式，得
(x 2)(x 3) = 0，
(2) x2 + 4x 5 = 0；
解：分解因式，得
(x + 5)(x 1) = 0，
解得 x1 = 2，x2 = 3.
解得 x1 = 5，x2 = 1．
·
×
·
×
随堂练习
(3) (x + 3)(x 1) = 5；
解：整理得 x2 + 2x 8 = 0，
(4) 2x2 7x + 3 = 0.
解：分解因式，得
(2x 1)(x 3) = 0，
解得 x1 = 4，x2 = 2.
分解因式，得
(x + 4)(x 2) = 0，
解得 x1 = ，x2 = 3.
随堂练习
因式分解法
形式
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
x2 + (p + q)x + ab = (x + p)(x + q)
课堂总结
作业布置：详见《精准作业》
作业布置中小学教育资源及组卷应用平台
21.2 降次—解一元二次方程（6）导学案
合作探究
引例： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度(单位：m)为 10x－4.9x2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，
列方程为： ①
用配方法和公式法解方程① ？
配方法解： 公式法解：
思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？
二、新知讲解
（一）因式分解法的概念：
使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
（二）：简单十字相乘法——pq型的因式分解
(x +p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq x2 + (p + q)x + pq=(x +p)(x + q)
一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积
总结：若一元二次方程x2 + px + q =0中， q =a×b; p = a + b，那么 x2 + px + q=0 就可以用如上的方法进行因式分解.
三、新知应用
试一试 下列各方程的根分别是多少？
x(x－2)=0； (2) (y+2)(y－3)=0；
(3)(x+1)(x-1)=0 ; (4) (x+6)(2x－4)=0；
例1 解下列方程：
(1)； (2)
总结：因式分解法的基本步骤：
一移—— ；
二分—— ；
三化—— ；
四解—— .
例2 解方程x2+6x-7=0.
x2 + 6x -7
-x+7x=6x
三、随堂练习
练一练1 解下列方程：
(x+1)2=5x+5； (2)x2-6x+9=(5-2x)2．
练一练2 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； (2)x2+4x-5=0；
(3)(x+3)(x-1)=5； (4)2x2-7x+3=0.
四、课堂小结
1、因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、你还有什么疑惑吗？
五、作业布置
见《精准作业设计》中小学教育资源及组卷应用平台
21.2 降次—解一元二次方程（6）教学设计
教学目标：1.掌握用因式分解法解一元二次方程；
2.会用因式分解法解决一些具体问题；
3.让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便
重点：掌握用因式分解法解一元二次方程
难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便
合作探究
引例： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 离地面的高度(单位：m)为 10x－4.9x2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)
设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，
列方程为：10x -4.9x2 = 0 ①
用配方法和公式法解方程① ？
配方法解：解：
=
=
, 0
公式法解：解：4.9x2 - 10x = 0.
a = 4.9，b = -10，c = 0.
∴ Δ = b2－4ac = (-10)2 - 4×4.9×0 = 100.
方程有两个不相等的实根
, 0
思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？
二、新知讲解
（一）因式分解法的概念：
使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
（二）：简单十字相乘法——pq型的因式分解
(x +p)(x + q) = x2 + (p + q)x + pq x2 + (p + q)x + pq=(x +p)(x + q)
一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积
总结：若一元二次方程x2 + px + q =0中， q =a×b; p = a + b，那么 x2 + px + q=0 就可以用如上的方法进行因式分解.
三、新知应用
试一试 下列各方程的根分别是多少？
x(x－2)=0； x1 = 0，x2 = 2. (2) (y+2)(y－3)=0； y1 =-2，y2 = 3
(3)(x+1)(x-1)=0 ; x1 = -1，x2 = 1. (4) (x+6)(2x－4)=0； x1 = -6，x2 = 2.
例1 解下列方程：
(1)； (2)
解：(1)因式分解，得 (2) 移项、合并得：
(x - 2)(x＋1) = 0. 因式分解，得(2x＋1)(2x - 1) = 0.
x - 2 = 0，或 x＋1 = 0. 2x＋1 = 0，或 2x - 1 = 0.
解得 x1 = 2，x2 = -1. 解得
总结：因式分解法的基本步骤：
一移—— 使方程的右边为 0 ；
二分—— 将方程的左边因式分解 ；
三化—— 将方程化为两个一元一次方程 ；
四解—— 写出方程的两个解 .
例2 解方程x2+6x-7=0.
x2 + 6x -7
-x+7x=6x
解：因式分解得
(x + 7)(x 1) = 0.
∴ x + 7 = 0，或 x 1 = 0.
∴ x1= 7，x2 = 1.
三、随堂练习
练一练1 解下列方程：
(x+1)2=5x+5； (2)x2-6x+9=(5-2x)2．
解：(x + 1)2 = 5(x + 1)， 解：方程整理得 (x 3)2 (5 2x)2 = 0，
(x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. [(x 3)+(5 2x)][(x 3) (5 2x)]=0，
(x + 1)(x 4) = 0 即 (2 x)(3x 8) = 0.
∴ x + 1 = 0，或 x 4 = 0 ∴ 2 x = 0，或 3x 8 = 0，
即 x1 = 1，x2 = 4． 即 x1 = 2，x2 = .
练一练2 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； (2)x2+4x-5=0；
解：(x-2)(x-3)=0，
解得x1=2，x2=3；
(3)(x+3)(x-1)=5； (4)2x2-7x+3=0.
解：(x + 4)(x 2) = 0，
解得 x1 = 4，x2 = 2.
四、课堂小结
五、作业布置
见《精准作业设计》
六、板书设计中小学教育资源及组卷应用平台
21.2 降次—解一元二次方程（6）精准作业设计
课前诊断
用公式法解下列一元二次方程
(1) 5x2-2x-3=0； (2)x2－4x； (3) 3x2 - 2x + 1=.
精准作业
1．方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝﹣1
2．将（2x﹣1）2＝10x﹣5转化为两个一元一次方程，这两个方程是（ ）
A．2x﹣1＝0，2x+1＝5 B．2x+1＝5，2x﹣1＝0
C．2x﹣1＝0，2x﹣1＝-5 D．2x+1＝0，2x﹣1＝﹣5
3．代数式2x2﹣3x与x2﹣7x的值相等，则x的值为（ ）
A．0 B．﹣4 C．0或4 D．0或-4
4．若（x+y）2﹣4（x+y）+3＝0，则x+y的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1或3 D．﹣3或﹣1
5．若x2+1与x2﹣4x+1的值互为相反数，则x的值是 ．
6.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根，则该三角形的周长是 ．
7．用因式分解法解下列方程：
（1）x2+5x＝0； （2）（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0；
（3）x2﹣5x-14＝0； （4）3x（x﹣1）＝2x﹣2； （5）x（x﹣2）＝3；
探究题
阅读材料：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y，则原方程可化为
y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，∴x2＝2，∴x＝±．
当y＝4时，x2﹣1＝4，x2＝5，∴x＝±．
故原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝x，x4＝﹣．
解答问题：
（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的．
（2）请利用以上知识解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）+3＝0．
21.2 降次—解一元二次方程（6）精准作业设计
参考答案
课前诊断
（1）解：a=5,b=-2,c=-3
Δ=b2-4ac=4+60=64>0
方程有两个不相等的实数根
x1=1, x2
精准作业
1.C 2.A 3.D 4. C 5.1 6.15
7解：（1）x（x+5）＝0，
x＝0或x+5＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣5；
（3）（x﹣7）（x+2）＝0，
x﹣7＝0或x+2＝0，
所以x1＝7，x2＝﹣2；
所以x1＝1，x2＝；
（5）方程化为一般式为x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
探究题
解：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想，故答案为：换元．
（2）设 y＝x2+x，
原方程可化为 y2﹣4y+3＝0
则（y﹣3）（y﹣1）＝0，
∴y﹣3＝0或y﹣1＝0，
∴y1＝3，y2＝1，
当y＝3时，x2+x＝3，
解得 ，
当y＝1时，x2+x＝1，
解得 ，
∴原方程的解为
．
