扬大附中东部分校 2024-2025学年第一学期第一次模块学习效果调查
高二年级数学试卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．已知直线经过 A 3,5 ， B 2,6 两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．135° C．45° D．150°
【答案】B
2.过点 1,3 且垂直于直线 x 2y 3 0的直线方程为 （ ）
A．2x y 5 0 B. 2x y 1 0 C． x 2y 5 0 D． x 2y 7 0
【答案】B
3.已知圆C : x2 + y 2 +2x - 4y - 4 = 0 ，则圆C的半径为（ ）
A．1 B． 3 C． 13 D．3
【答案】D
4.已知点 A a, 2 a 0 到直线 l : x y 3 0的距离为1，则 a （ ）
A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D. 2 1
【答案】A
x2 y 25.圆 4x 0在点 P(1, 3)处的切线方程为 （ ）
A. x 3y 2 0 B. x 3y 4 0
C. x 3y 4 0 D. x 3y 2 0
【答案】A
6.直线 x 2y 1 0关于直线 x 1对称的直线方程是 （ ）
A. x 2y 1 0 B. 2x y 1 0 C. x 2y 3 0 D.2x y 3 0
【答案】C
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐
含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某
处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知
1
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
军营所在的位置为B 2,0 1 ，若将军从山脚下的点 A , 03 处出发，河岸线所在直线方程为
x 2 y 3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A 5 B 145 C 135
16
． ． ． D．
3 3 3
【答案】B
8．已知圆C : x2 y2 8x 0．动直线 l : x my 2 2m 4 0于圆 C交于 A，B两点，线段
AB的中点为 P，则 OP 的取值范围是（ ）
A．[2 2,4 2] B．[ 2,5 2] C．[ 2, 4 2] D．[ 2,2 6) (2 6,4 2]
【答案】A
二、多项选择题： 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分。把
正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.
9.下列说法错误的是 ( )
A.“a=-1”是“直线 a2x-y+1=0 与直线 x-ay-2=0 互相垂直”的充要条件
B.经过点(1,1)且在 x轴和 y轴上的截距相等的直线方程为 x+y-2=0
C.过(x1,y
1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为 1 = 1 2 1 2 1
D.直线 xsin α+y+2=0 π 3π的倾斜角θ的取值范围是 0, ∪ , π
4 4
【答案】ABC
10．已知动点 P到原点 O与到点 A 2,0 的距离之比为 2：1，动点 P的轨迹记为 C，直线
l：3x 4y 3 0，则下列结论中正确的是（ ）
2
A 8．C的方程为 x y 2 16
3 9
1 7
B．动点 P到直线 l的距离的取值范围为 ,
3 3
C 2 7．直线 l被 C截得的弦长为
3
1
D．C上存在三个点到直线 l的距离为
3
【答案】ACD
2
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
11．已知圆 M： (x 2)2 y2 1，点 P是直线 l： x y 0上一动点，过点 P作圆 M的切线
PA，PB，切点分别是 A，B，下列说法正确的有（ ）
A．圆 M 2上恰有一个点到直线 l的距离为 B．切线长 PA的最小值为 1
2
3 1
C．直线 AB恒过定点 , D．四边形 AMBP面积的最小值为 2
2 2
【答案】BC
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在题中的横线上.
12．直线 l1 : x ay 2a 1 0， l2 : ax y 1 0，若 l1∥ l2，则实数 a的值是 ．
【答案】 1 .
13.光线沿直线 l1：x－2y＋5＝0 射入，遇到直线 l：3x－2y＋7＝0 后反射，则反射光线所
在直线的方程为______________．
【答案】 29x－2y＋33＝0
PA
14.若A， B是平面内不同的两定点，动点 P满足 kPB （ k 0且
k 1），则点 P的轨迹是
一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已
PA 1
知点 A(1,0)，C 4,0 ，D 4,9 ，动点 P满足 ，则 2 PD PCPC 2 的最大值为 ．
PA x 1 2 y2 1
【答案】设 P x, y ，则 2 ，整理得 x2 y2 4，PC x 4 y2 2
则 P是圆C： x2 y2 4上一点，
PA 1
由 PC 2 PAPC 2，得 ,如图所示
故 2 PD PC 2 PD PA 2 AD ，
当且仅当A，D， P三点共线，且A在DP之间时取得最大值．
又因为 AD 1 4 2 0 9 2 3 10 ,
所以 2 PD PC 的最大值为6 10 . 故答案为：6 10 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
3
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15（13分）．已知直线 l : (2 1)x (1 )y 11 7 0， R .
(1)若直线 l与直线 l1 : x (1 )y 1 0垂直，求实数 的值
(2)若直线 l在 x轴上的截距是在 y轴上截距的 2倍，求直线 l的方程.
【答案】(1) 0或 2
(2) x 2y 2 0或3x 4y 0
【分析】（1）根据直线垂直的充要条件列方程求解即可；
（2）求出在坐标轴上的截距，由条件求出 ，即可得出直线方程.
（1）
因为直线 l与直线 l1 : x (1 )y 1 0垂直，
所以 (2 1) 1 (1 )(1 ) 0 ，解得 0或 2 .
（2）
y 0 x 7 11 7 11 令 ，得 ，令 x 0， y ，
2 1 1
7 11 2 7 11 3 7由题意知 ，解得 或 ，
2 1 1 5 11
所以直线 l的方程为 x 2y 2 0或3x 4y 0 .
16（15 分）.已知△ 的顶点坐标为 A(0,5)，B(1, 2)，C( 5,4)．
(1)求△ ABC的 BC 边上的高所在直线的方程；
(2)求直线 AB 的方程及△ 的面积．
4+2
【解析】(1) = = 1，所求直线斜率为 1， 5 1
由直线斜截式方程得 = + 5，
故所求直线方程为 + 5 = 0，
(2) 5+2 = = 7，由直线斜截式方程得 = 7 + 5，0 1
故直线 AB 的方程为 7 + 5 = 0，
4
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
= (0 1)2 + (5 + 2)2 = 5 2，
7×( 5)+4 5 = 36点 C 到直线 AB 的距离为 2 2 5 2，7 +1
所以△ 1 36的面积为 × 5 2 × = 182 5 2 ．
17（15分）．在平面直角坐标系中，直线 x y 3 2 0与圆C 相切，圆心C 的坐标为 1, 1 ．
（1）求圆C 的方程；
（2）设直线 y kx 2与圆C 没有公共点，求 k的取值范围；
（3）设直线 y x m与圆C 交于M ,N 两点，O 为原点，且OM ON ，求m的值．
解：（1）∵直线 x y 3 2 0与圆C 相切，且圆心C 的坐标为 (1, 1)，
1 1 3 2
∴圆C 的半径 r 3 ，
2
则圆C 的方程为 (x 1)2 (y 1)2 9；
（2）∵直线 y kx 2与圆C 没有公共点，
k 1 2
∴点C(1, 1)
3
到直线的距离 3，解得0 k ，
k 2 1 4
3
∴k的取值范围为 0, ；
4
y x m
（3）联立 2 2 ，得 2 2(x 1) (y 1) 9 2x 2mx m 2m 7 0
，
由 4m2 8 m2 2m 7 0，解得 2 3 2 m 2 3 2 ，
设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
5
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
2
则 x1 x
m 2m 7
2 m, x1x2 ，2
∵OM ON ，∴OM ON x1x2 y1y2 0，
即 x1x2 x1 m x2 m 2x1x2 m x1 x2 m 2 0 ，
∴m2 2m 7 0，解得m 1 2 2 ，符合题意，
∴m 1 2 2 ．
18（17分）.已知圆C： x2 y2 2x 4 y 4 0，
(1)若过定点 2,0 的直线 l与圆C相切，求直线 l的方程；
(2)若过定点 1,0 且倾斜角为 30°的直线 l与圆C相交于A，B两点，求线段 AB的中点 P的
坐标；
(3)问是否存在斜率为 1的直线 l，使 l被圆C截得的弦为 EF ，且以 EF 为直径的圆经过原点？
若存在，请写出求直线 l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) x 2或5x 12y 10 0
1 3 3 1
(2) ,2 2
(3)存在， x y 1 0或 x y 4 0
【分析】（1）首先设直线 l的方程为：x my 2，与圆的方程联立，令 0，即可求解m的
值；
（2）设直线 l的方程为： x 3y 1，与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标；
（3）方法一，设直线 l： y x b，与圆的方程联立，利用韦达定理表示OE OF 0，即可
求解b；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线 y x b，以及圆经过原点，即可求解参数.
(1)
根据题意，设直线 l的方程为： x my 2
联立直线与圆的方程并整理得： m2 1 y2 4 6m y 4 0
12
Δ 20m2 48m所以 20m2 48m 0，m1 0，m2 5
6
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
从而，直线 l的方程为： x 2或5x 12y 10 0；
(2)
根据题意，设直线 l的方程为： x 3y 1
2
代入圆C方程得： 4y 4 1 3 y 1 0 ，显然Δ 0，
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，则 y1 y2 3 1， x1 x2 1 3
1 3 3 1
所以点 P的坐标为 ,
2 2
(3)
假设存在这样的直线 l： y x b
2
联立圆的方程并整理得： 2x 2b 2 x b2 4b 4 0
2
当Δ 4 b 6b 9 0, 3 3 2 b 3 2 3
设 E x 1 23 , y3 ， F x4 , y4 ，则 x3 x4 b 1 ， x3x4 b 4b 42
1
所以 y3y4 b 2 2b 4 2
因为以 EF 为直径的圆经过原点，所以OE x3 , y3 ，OF x4 , y4 ，OE OF 0
∴ x3x4 y4 y4 0，即b2 3b 4 0
均满足 3 3 2 b 3 2 3 .
∴b1 1，b2 4
所以直线 l的方程为： x y 1 0或 x y 4 0 .
（3 2 2）法二：可以设圆系方程 x y 2x 4y 4 x y b 0
2 , 4 则圆心坐标 ，圆心在直线 y x b上，
2 2
4 2
得 b ①
2 2
且该圆过原点，得 b 4 0 ②
b 1 b 4
由①②，求得 4或 1
所以直线 l的方程为： x y 1 0或 x y 4 0 .
7
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
19（17分）．已知圆C的圆心在直线 x 3y 0上，与 y轴正半轴相切，且截直线 l : 2x y 0
所得的弦长为 4.
(1)求圆C的方程；
AM
(2)设点A在圆C上运动，点 B 5,1 ，M为线段 AB上一点且满足 3MB ，记点M 的轨迹
为曲线 E .
①求曲线 E的方程，并说明曲线 E的形状；
PT
②在直线 l上是否存在异于原点的定点T，使得对于 E上任意一点 P， PO 为定值，若存在，
求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1) (x 3)2 (y 1)2 9
9
(2)① (x 3)2 (y 1)2 ，曲线 E是 ( 3,1)
3
为圆心， 为半径的圆.
16 4
②不存在，理由见解析.
【分析】（1）令C (3m,m)且m 0，结合题设得圆C为 (x 3m)2 (y m)2 9m2，联立直线
l结合韦达定理及弦长公式列方程求参数 m，进而写出圆C的方程；
（2）①设M (x, y)， A(x0 , y0 )，应用坐标表示 AM ，MB，再根据 AM 3MB列方程组分别用
x表示 x0、用 y表示 y0，最后由点在圆上代入化简即可确定 E的方程，并说明曲线的形状即
可.
PT 2
②设T (n, 2n)且 n 0， P(x, y)，不妨假设 2 k为定值，根据两点距离公式、 P在 E上PO
(2 2k 4n)y (6 6k 2n)x 5n2 151 151化简并整理可得 k 0，则多项式方程中的 x, y
16 16
系数及常数项均为 0求参数，即可判断存在性.
(1)
令C (3m,m)且m 0，易知圆C的半径为3m，
∴圆C的方程为 (x 3m) 2 (y m) 2 9m 2 ，联立 l : 2x y 0，整理可得5x2 10mx m2 0，
m2
若 l与圆C交点横坐标分别为x 、x ，则 x1 x2 2m1 2 ， x1x2 ，5
8
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
2
∴ 1 k 2 | x1 x | 5 4m
2 4m
2 4，解得m 1，又m 0，即m 1，5
∴圆C的方程为 (x 3)2 (y 1)2 9 .
(2)
①设M (x, y)， A(x0 , y0 )，则 AM (x x0 , y y0 )，MB ( 5 x,1 y)，而 AM 3MB，
x x0 3( 5 x) x0 4x 15
∴ ，则 ，又A在圆C上，
y y0 3(1 y) y0 4y 3
9 3
∴曲线 E 2的方程为 (x 3) (y 1)2 ，故曲线 E是 ( 3,1)为圆心， 为半径的圆.
16 4
②设T (n, 2n)且 n 0， P(x, y)，
PT PT 2 (x n)2 (y 2n)2
∴要使 PO 为定值，即 2 为定值即可，则
k，
PO x2 y2
9 151
∴ (1 k)(x2 y 2) 2nx 4ny 5n2 0 ，又 (x 3)2 (y 1)2 x2 y2，则 2y 6x ，
16 16
∴ (2 2k 4n)y (6 6k
151 151
2n)x 5n2 k 0，
16 16
2 2k 4n 0
k 1
∴ 6 6k 2n 0 ，可得 ，又T异于原点，
n 0
5n2 151 151 k 0
16 16
PT
∴不存在T，使 E上任意一点 P有 PO 为定值.
9
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}扬大附中东部分校 2024-2025学年第一学期第一次模块学习效果调查
高二年级数学试卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．已知直线经过 A 3,5 ， B 2,6 两点，则该直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．135° C．45° D．150°
2.过点 1,3 且垂直于直线 x 2y 3 0的直线方程为 （ ）
A．2x y 5 0 B. 2x y 1 0 C． x 2y 5 0 D． x 2y 7 0
3.已知圆C : x2 + y 2 +2x - 4y - 4 = 0 ，则圆C的半径为（ ）
A．1 B． 3 C． 13 D．3
4.已知点 A a, 2 a 0 到直线 l : x y 3 0的距离为1，则 a （ ）
A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D. 2 1
2
5.圆 x y 2 4x 0在点 P(1, 3)处的切线方程为 （ ）
A. x 3y 2 0 B. x 3y 4 0 C. x 3y 4 0 D. x 3y 2 0
6.直线 x 2y 1 0关于直线 x 1对称的直线方程是 （ ）
A. x 2y 1 0 B. 2x y 1 0 C. x 2y 3 0 D.2x y 3 0
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐
含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某
处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知
1
军营所在的位置为B 2,0 ，若将军从山脚下的点 A , 03 处出发，河岸线所在直线方程为
x 2 y 3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A 5 B 145 C 135
16
． ． ． D．
3 3 3
8．已知圆C : x2 y2 8x 0．动直线 l : x my 2 2m 4 0于圆 C交于 A，B两点，线段
AB的中点为 P，则 OP 的取值范围是（ ）
A．[2 2,4 2] B．[ 2,5 2] C．[ 2, 4 2] D．[ 2,2 6) (2 6,4 2]
1
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
二、多项选择题： 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项是符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分。把
正确选项填在选择题答题区域相应的题号内.
9.下列说法错误的是 ( )
A.“a=-1”是“直线 a2x-y+1=0 与直线 x-ay-2=0 互相垂直”的充要条件
B.经过点(1,1)且在 x轴和 y轴上的截距相等的直线方程为 x+y-2=0
C.过(x y 1, 1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为 1 = 1 2 1 2 1
D.直线 xsin α+y+2=0 π 3π的倾斜角θ的取值范围是 0, ∪ , π
4 4
10．已知动点 P到原点 O与到点 A 2,0 的距离之比为 2：1，动点 P的轨迹记为 C，直线
l：3x 4y 3 0，则下列结论中正确的是（ ）
2
A 8．C的方程为 x y
2 16
3 9
1 7
B．动点 P到直线 l的距离的取值范围为 , 3 3
C l C 2 7．直线 被 截得的弦长为
3
1
D．C上存在三个点到直线 l的距离为
3
11．已知圆 M： (x 2)2 y2 1，点 P是直线 l： x y 0上一动点，过点 P作圆 M的切线
PA，PB，切点分别是 A，B，下列说法正确的有（ ）
A．圆 M 2上恰有一个点到直线 l的距离为 B．切线长 PA的最小值为 1
2
3 1
C．直线 AB恒过定点 , D．四边形 AMBP面积的最小值为 2
2 2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在题中的横线上.
12．直线 l1 : x ay 2a 1 0， l2 : ax y 1 0，若 l1∥ l2，则实数 a的值是 ．
13.光线沿直线 l1：x－2y＋5＝0 射入，遇到直线 l：3x－2y＋7＝0 后反射，则反射光线所
在直线的方程为______________．
PA
14.若A， B是平面内不同的两定点，动点 P满足 k（ k 0且 k 1PB ），则点 P的轨迹是
一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已
2
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
PA
知点 A(1,0)，C 14,0 ，D 4,9 ，动点 P满足 ，则 2 PD PCPC 2 的最大值为 ．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15（13分）．已知直线 l : (2 1)x (1 )y 11 7 0， R .
(1)若直线 l与直线 l1 : x (1 )y 1 0垂直，求实数 的值
(2)若直线 l在 x轴上的截距是在 y轴上截距的 2倍，求直线 l的方程.
16（15 分）.已知△ 的顶点坐标为 A(0,5)，B(1, 2)，C( 5,4)．
(1)求△ ABC的 BC 边上的高所在直线的方程；
(2)求直线 AB 的方程及△ 的面积．
1（7 15分）．在平面直角坐标系中，直线 x y 3 2 0与圆C 相切，圆心C 的坐标为 1, 1 ．
（1）求圆C 的方程；
（2）设直线 y kx 2与圆C 没有公共点，求 k的取值范围；
（3）设直线 y x m与圆C 交于M ,N 两点，O 为原点，且OM ON ，求m的值．
3
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
18（17分）.已知圆C： x2 y2 2x 4 y 4 0，
(1)若过定点 2,0 的直线 l与圆C相切，求直线 l的方程；
(2)若过定点 1,0 且倾斜角为 30°的直线 l与圆C相交于A，B两点，求线段 AB的中点 P的
坐标；
(3)问是否存在斜率为 1的直线 l，使 l被圆C截得的弦为 EF ，且以 EF 为直径的圆经过原点？
若存在，请写出求直线 l的方程；若不存在，请说明理由.
19（17分）．已知圆C的圆心在直线 x 3y 0上，与 y轴正半轴相切，且截直线 l : 2x y 0
所得的弦长为 4.
(1)求圆C的方程；
AM
(2)设点A在圆C上运动，点 B 5,1 ，M为线段 AB上一点且满足 3MB ，记点M 的轨迹
为曲线 E .
①求曲线 E的方程，并说明曲线 E的形状；
PT
②在直线 l上是否存在异于原点的定点T，使得对于 E上任意一点 P， PO 为定值，若存在，
求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.
4
{#{QQABDQCQogAAAJBAAAgCQwmICAOQkAEAASgGBFAMsAIBCANABAA=}#}
