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21.3 实际问题与一元二次方程（2） 导学案
学习目标：
1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列方程解决实际问题的一般步骤.
2.会根据百分率问题，销售问题中的数量关系列方程并求解.（重难点）
3.通过实际问题的解答，认识到对方程的解必须要检验，以符合实际意义为标准.
一、问题引入
①若某物品售价为100元，价格第一次增长20%再出售，那现在的价格为_______；
若第二次继续增长20%，则现在的价格为_______________.
②若某物品售价为a元，若价格第一次增长20%再出售，那现在的价格为_______；
若第二次继续增长20%，则现在的价格为_______________.
思考：若价格降低20%呢？
二、推进新课
探究1： 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
思考：下降率是什么意思？ 它与原成本、终成本之间有何数量关系？
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为_____________，再次下降后的成本变为__________________.（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系_____________________________可得方程____________________________，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？
③ 设乙种药品成本平均每年的下降率为y ， 则由等量关系______________________可得方程_______________________.
④成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？
练习：某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.
探究2： 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查，当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，
设每件玩具涨x元，每天少卖________件，实际上卖出____________件，此时的售价为_________元，根据“利润＝售价－进价 ”，可列方程为___________________________.
练习：商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加________件，每件商品盈利_____________元；
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
三、当堂练习
1．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降低了190元，则x为( )
A．5 B．10 C．19 D．81
2.某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润1200元，则每件商品应降价( )
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．15元
3.加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单.中小学教育资源及组卷应用平台
21.3 实际问题与一元二次方程（2） 教学设计
教学目标
1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列方程解决实际问题的一般步骤.
2.会根据百分率问题，销售问题中的数量关系列方程并求解.
3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要检验，以符合实际意义为标准.
教学重点
利用一元二次方程解决百分率问题，销售问题.
教学难点
理解实际问题中的数量关系.
教学过程
一、问题引入
①若某物品售价为100元，价格第一次增长20%再出售，那现在的价格为__100(1+20%)_；
若第二次继续增长20%，则现在的价格为__100(1+20%)2_.
②若某物品售价为a元，若价格第一次增长20%再出售，那现在的价格为__a(1+20%)_；
若第二次继续增长20%，则现在的价格为___a(1+20%)2__.
思考：若价格降低20%呢？
a(1-20%)2
二、推进新课
探究1： 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
思考：下降率是什么意思？ 它与原成本、终成本之间有何数量关系？
下降率=（原成本－终成本）÷原成本×100%
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为5000(1-x)，再次下降后的成本变为5000(1-x) 2.（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系__终成本=原成本×(1－下降率)2_ 可得方程5000(1-x)2=3000，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？
x1≈0.225 x2≈1.775 应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.
③ 设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系终成本=原成本×(1－下降率)2
可得方程6000(1-y)2=3600.
④成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？
成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大.
练习：某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.
解：设总产值的年平均增长率为x.依题意100(1+x)2=121，
解得:x1=0.1，x2=-2.1(舍去)，∴年平均增长率为10%.
探究2： 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查，当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，
设每件玩具涨x元，每天少卖 10x件，
实际上卖出(300－10x)件，此时的售价为（30－x）元，
根据“利润＝售价－进价 ”，可列方程为 [(30＋x)－20]×(300－10x)＝3750.
练习：商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加__2x__件，每件商品盈利__(50－x)_元；
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
解：由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100. 化简，得x2－35x＋300＝0.
解得x1＝15，x2＝20. 答：每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2100元.
三、课堂练习
1．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降低了190元，则x为( B )
A．5 B．10 C．19 D．81
某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润1200元，则每件商品应降价( A )
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．15元
3.加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300＋5(200－x)]个，
依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32000，整理，得x2－360x＋32400＝0，
解得x1＝x2＝180.180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元.
四、课堂小结
谈谈你本节课的收获.
五、作业布置
见精准作业布置单.
六、板书设计
21.3 实际问题与一元二次方程（2） 右边板书
探究一：增长（降低率问题）
若变化前数量为a，平均增长（降低）率为x，则： 习题板书
（1）两次增长（降低）后的值为a(1±x)2
（2）n次增长（降低）后的值为a(1±x)n
探究二：市场销售问题
理解每天多售的数量与单价降低的函数关系
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课前诊测
1.“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为( )
A．500(1＋x)＝800 B．500(1＋2x)＝800
C．500(1＋x2)＝800 D．500(1＋x)2＝800
2.某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A．20% B．25% C．30% D．36%
精准作业
必做题
1．某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为( )
A．400(1＋x2)＝900 B．400(1＋2x)＝900
C．900(1－x)2＝400 D．400(1＋x)2＝900
2．某专卖店销售一种机床，3月份每台售价为2万元，共销售60台．根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，就会少售出1台.4月份该专卖店想将销售额提高25%，则这种机床每台的售价应定为( )
A．3 万元 B．5 万元 C．8 万元 D．3万元或5万元
据统计，2021年第一季度某市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________________．
去年某商店十一黄金周进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)该商店去年十一黄金周这七天的总营业额为________万元；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．
5．某超市于年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．
(1)求二、三月份销售量的月平均增长率．
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场当月获利4 250元？
探究题
某水果经销商上个月销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1 000 千克．经市场调查，若将该水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间符合一次函数关系式y＝kx＋b，且当x＝7时，y＝2 000；当x＝5时，y＝4 000.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)已知该种水果上个月的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上个月增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？(利润＝售价－成本价).
参考答案
课前诊断
D
A
精准作业
D
D
652(1＋x)2＝960_
解：(1) 504
设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x，依题意，
得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去).
答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.
5.解：(1)设二、三月份销售量的月平均增长率为x，则256(1＋x)2＝400，
解得：x1＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去).
答：二、三月份销售量的月平均增长率是25%.
设降价y元，(40－y－25)(400＋5y)＝4 250，整理得：y2＋65y－350＝0，
解得：y1＝5，y2＝－70(不合题意，舍去).
答：当商品降价5元时，商场当月获利4 250元.
探究题
解：(1)y＝－1 000x＋9 000
(2)由题意，得1 000×(10－5)×(1＋20%)＝(－1 000x＋9 000)·(x－4)，
整理，得x2－13x＋42＝0，
解得x1＝6，x2＝7(舍去)，
答：该种水果价格每千克应调低至6元.(共15张PPT)
21.3 实际问题与一元二次方程(2)
问 题 引 入
①若某物品售价为100元，价格第一次增长20%再出售，
那现在的价格为_______________；
若第二次继续增长20%，
则现在的价格为__________________.
②若某物品售价为a元，若价格第一次增长20%再出售，
那现在的价格为_______________；
若第二次继续增长20%，
则现在的价格为__________________.
100(1+20%)
100(1+20%)2
a(1+20%)
a(1+20%)2
思考：若价格降低20%呢？
推 进 新 课
探究1： 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
思考：下降率是什么意思？
它与原成本、终成本之间有何数量关系？
下降率= ×100%
原成本－终成本
原成本
推 进 新 课
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，
由等量关系________________________________ 可得方程 ，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？
5000(1-x)
5000(1-x) 2
终成本=原成本×(1－下降率)2
5000(1-x)2=3000
推 进 新 课
应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.
推 进 新 课
成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大.
③ 设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系
可得方程 .
④成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？
终成本=原成本×(1－下降率)2
6000(1-y)2=3600
推 进 新 课
练习：某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率.
解：设总产值的年平均增长率为x.
依题意100(1+x)2=121，
解得:x1=0.1，x2=-2.1(舍去)，
∴年平均增长率为10%.
推 进 新 课
探究2： 某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件．经调查，当单价每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，
设每件玩具涨x元，每天少卖 件，
实际上卖出 件，此时的售价为 元，
根据“利润＝售价－ ”
可列方程为 .
10x
(300－10x)
（30－x）
进价
[(30＋x)－20]×(300－10x)＝3750
推 进 新 课
练习：商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利_________元；
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？
解：(2)由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.
化简，得x2－35x＋300＝0. 解得x1＝15，x2＝20.
答：每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2100元.
2x
(50－x)
课 堂 练 习
1．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，商家决定降价销售，在连续两次降价x%后，售价降低了190元，则x为( )
A．5 B．10 C．19 D．81
B
2．某商户销售冰鲜海产品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，期间发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在每件盈利不少于25元的前提下，要取得每天利润1200元，则每件商品应降价( )
A．10元 B．20元
C．10元或20元 D．15元
A
课 堂 练 习
3.加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出
[300＋5(200－x)]个，
课 堂 练 习
解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出
[300＋5(200－x)]个，
依题意，得(x－100)[300＋5(200－x)]＝32000，
整理，得x2－360x＋32400＝0，
解得x1＝x2＝180.
180＜200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，
公司每天可获利32000元.
课 堂 小 结
探究一：增长（降低率问题）
若变化前数量为a，平均增长（降低）率为x，则：
（1）两次增长（降低）后的值为a(1±x)2
（2）n次增长（降低）后的值为a(1±x)n
探究二：市场销售问题
要深刻理解每天多售的数量与单价降低的函数关系.
本节课，你有什么收获？
作 业 布 置
见精准作业单.
