2024-2025学年天津市武清区燕京高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市武清区燕京高级中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图像大致为( )
A. B. C. D.
4.已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设是边长为的正三角形，是所在平面上的一点，且，则当取最小值时，的值为( )
A. B. C. D.
9.已知，且关于的方程恰有四个不相等的实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，则，则的值为______．
11.在中，若的面积为，且，则 ______．
12.若函数在上是增函数，则的取值范围是______．
13.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设，则不等式的解集为______．
14.在平面四边形中，，，连接，，，则______；为线段上的动点，则的最小值为______．
15.已知，函数若对任意，恒成立，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
若存在，满足成立，求的取值范围．
18.本小题分
在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，，．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知数列前和为，且，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前和为；
记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知函数，
判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；
若函数有且仅有一个零点，求的值；
若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：因为，
故的最小正周期为；
当，，
，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
17.解：因为，函数的导数为，
所以，
所以函数在处的切线方程为：，即．
要使成立，即，
只需求出函数在的最大值，即可，
设，函数的导数为，
由，解得，
当，，此时函数递增，
当，，此时函数递减，
所以当时，函数取的极小值，同时也是最小值，
，，
因为，
所以在上函数的最大值为，
所以要使，成立，
所以有，
即的取值范围是
18.解：因为，
由正弦定理可得，
即，
在中，，且，
可得，
又因为，，
由余弦定理可得，
可得；
由可得，，和正弦定理可得：，
可得，
因为，可得角为锐角，
所以，
所以，，
所以．
19.解：令，解得，
，
，
两式相减得：，
数列是首项为，公比为的等比数列，
；
由得：，
则

由得：；
当为奇数时，
，
，
两式做差得：n=2 3-3λ 2＞0
移项得：
解得：，
当为偶数时，
，
，
两式做差得：n=2 3+3λ 2＞0
移项得：
解得：，
故为奇数时，且；
为偶数时，且．
20.解：由，得，
，又，
曲线在点处的切线方程为，
代入，得，
当或时，，有两个公共点；
当或时，，有一个公共点；
当时，，没有公共点．
，
由，得，
令，，
在上递减，在上递增，
因此，．
，
令，
，
即有两个不同的根，，
令，
且当时，随的增大而增大；
当时，
，
，
此时．
即时，
．
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