2024-2025学年贵州省遵义市正安二中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省遵义市正安二中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一组数据：，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.若，，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，值域为且区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，是抛物线上的一点，为坐标原点，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处取得极小值，则( )
A. B. C. D. 或
8.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A. 两人都中靶的概率为 B. 两人都不中靶的概率为
C. 恰有一人中靶的概率为 D. 至少一人中靶的概率为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. 已知集合，若，则实数
B. 设，，则“且”是“”的充分不必要条件
C. 若，则
D. 的定义域为，则的定义域为
10.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
11.对于函数定义域中任意的，，有如下结论，，，，下列函数能同时满足以上两个结论的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为______．
13.已知函数则 ______．
14.函数零点的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
16.本小题分
某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有次答题机会，选手累计答对题或答错题即终止比赛，答对题者直接进入复赛，答错题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响．
Ⅰ求选手甲进入复赛的概率；
Ⅱ设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，是圆的直径，平面面，且．
求证：平面；
若，，，求直线与面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为，的最大面积为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设，是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：一个正整数称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列，，，，满足：
；
．
写出最小的“漂亮数”；
若是“漂亮数”，证明：是“漂亮数”；
在全体满足的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”，求是质数的概率．
参考答案
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15.解：，，
且，，
函数在点处的切线方程为，即．
，的定义域为，
由得．
令，解得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
16.解：Ⅰ设选手甲任答一题，正确的概率为，则，
记选手甲进入复赛为事件，则甲选答道题目后进入复赛的概率为，
或选手甲答了个题，前个对错，第次对进入复赛，，----分
或选手甲答了个题，前个对错，第次对进入复赛，----分
选手甲进入复赛的概率----分
Ⅱ由题意知，可取，，，则
；；
，
的分布列
----分
17.解：证明：因为平面面，且，
又平面面，平面，
所以面，又因为平面，
所以，又是圆的直径，所以，
又，，平面，
所以平面；
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，
而，
所以直线与面所成角的正弦值为：
，．
18.解：Ⅰ因为的周长为，的最大面积为，
所以，
解得，或，，
则椭圆的方程为或；
Ⅱ因为，
由Ⅰ知，，
设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
若的内心在轴上，
此时，
可得，
即，
整理得，
即，
因为，，
所以，
解得，
当直线垂直于轴，即时，显然点也是符合题意的点．
故在轴上存在定点，使得的内心在轴上．
19.解：若是“漂亮数”，设满足．
则，，即．
故，得，从而，．
此时，假设，则，，，．
但由于，故的全部可能取值就是，，，，，
计算可知它们都不等于，不满足；
．
，是“漂亮数”．
最小的“漂亮数”是．
若是“漂亮数”，设满足．
则，，即．
此时有
．
再由，即知．
而，
是“漂亮数”．
若，设满足．
则，，即．
而，故，即．
，得，即．
由于，故．
而，故，即．
若，则，．
假设，则，矛盾．
，故，得．
故只可能，从而，得，而，故．
但，矛盾．
只可能或．
当时，有，．
从而，，得，即．
，分别代入，，，，，
使得是正整数的有，，，，对应的分别为，，，．
当时，有，．
从而，，得，即．
，分别代入，，，使得是正整数的有，，对应的分别为，．
综上，全体满足条件的有，，
，，，．
所有满足的“漂亮数”的值为，，，，，．
的全部可能值为，，，，，，共个，
其中是质数的有，，，，，共个，
是质数的概率为．
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