4.5.2 用二分法求方程的近似解——高一数学人教A版（2019）必修第一册随堂小练
1.用二分法判断方程在区间内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：，）( )
A.0.825 B.0.635 C.0.375 D.0.25
2.若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为( )
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
3.函数的零点所在的大致区间的( )
A. B. C. D.
4.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.设函数，用二分法求方程在内的近似解的过程中，计算得，，，则下列必有方程的根的区间为( )
A. B. C. D.不能确定
6.（多选）下列关于函数，的说法错误的是( )
A.若且满足，则是的一个零点
B.若是在上的零点，则可用二分法求的近似值
C.函数的零点是方程的根，但的根不一定是函数的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似值
7.（多选）若函数的图像是连续的，且函数的唯一零点同时在，，，，内，则与符号不同的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行________次函数值的计算.
9.用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过__________次二分后精确度达到0.1.
10.已知函数的定义域为R，且其图象是一条连续不间断的曲线.
（1）若函数在区间上存在零点，求实数m的取值范围.
（2）若，判断在上是否存在零点？若存在，请在精度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点的近似值；若不存在，请说明理由.
11.已知函数，且满足，，，证明，并利用二分法证明方程在区间内有两个实根.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设，，，
，在内有零点，
，在内有零点，
方程根可以是0.635.故选：B.
2.答案：C
解析：根据二分法，结合表中数据，由于，
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4.故选：C.
3.答案：B
解析：函数 ，在上单调递增，，，函数零点所在的大致区间是；故选B
4.答案：C
解析：开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n此操作后，区间长度变为，
用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度0.01，，解得，故选：C.
5.答案：C
解析：显然函数在上是连续不断的曲线，由于，，所以，由零点存在性定理可得：的零点所在区间为，所以方程在区间内一定有根.故选：C.
6.答案：BCD
解析：且满足，则是的一个零点，所以A正确；例如，不可以用二分法求零点，所以B错误；方程的根一定是函数的零点，所以C错误；用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以D错误.故选BCD.
7.答案：ABD
解析：由二分法的步骤可知：
①零点在内，则有，不妨设，取中点2；
②零点在内，则有，则，，取中点1；
③零点在内，则有，则，，取中点；
④零点在内，则有，则，.取中点；
⑤零点在内，则有，则，.
所以与符号不同的是，，，故选ABD.
8.答案：4
解析：设对区间二等分n次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次.故答案为：4.
9.答案：4
解析：，，，所以，满足，
开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n此操作后，区间长度变为，故有，即，则，
所以至少需要操作4次.故答案为：4.
10.答案：（1）
（2）零点的近似值为
解析：（1）因为函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线，
所以函数在区间上是减函数.
又在区间上存在零点，所以，即
所以，即实数m的取值范围为.
（2）当时，，所以，.
因为，为R上的连续函数，所以函数在上必存在零点，设为.
取区间的中点0，代入函数，得，所以，所以，
再取区间的中点，计算得，所以，
再取区间的中点，计算得，所以，此时，故所求零点的近似值为.
11.答案：如解析所示.
解析：，，即.
，，则，即.
，，.
取区间的中点，则.
，，
函数在区间和内各有一个零点.
又为二次函数，最多有两个零点，从而方程在区间内有两个实根.4.2 指数函数——高一数学人教A版（2019）必修第一册随堂小练
1.若函数(，)是指数函数，则实数m的值为( )
A.2 B.1 C.3 D.2或-1
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数是奇函数，当时，，则( )
A.11 B.5 C.-8 D.-5
6.（多选）若，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
7.（多选）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有( )
A. B. C. D.
8.函数（，且）过定点___________.
9.函数()的值域是________.
10.已知指数函数(且)，过点.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数m的取值范围.
11.已知函数.
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）求的值域.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由指数函数的定义，得，解得或-1，故选D.
2.答案：D
解析：，，.故选：D
3.答案：D
解析：由题意得，，，所以
4.答案：A
解析：因为，，所以.
5.答案：B
解析：奇函数，当时，，所以.
故选：B.
6.答案：ACD
解析：由，则，，A，C对；若，，，，此时，B错；由单调递增，故，D对.故选：ACD
7.答案：BC
解析：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以.当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即.故选：BC.
8.答案：
解析：令，可得，.因此，函数的图象过定点.
故答案为：.
9.答案：
解析：因函数在R上单调递增，当时，，则有，即，
所以所求值域是.故答案为：
10.答案：(1)
(2)
解析：(1)将点代入，得，，故；
(2)，是增函数，
，即，
，；
综上，，.
11.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，且在定义域R内单调递增，
则，解得，
所以实数x的取值范围为.
（2）因为，当且仅当时等号成立，
且在定义域R内单调递增，则，
又因为，所以的值域为.4.5.1 函数的零点与方程的解——高一数学人教A版（2019）必修第一册随堂小练
1.黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值( )
A.在1.1和1.2之间 B.在1.2和1.3之间
C.在1.3和1.4之间 D.在1.4和1.5之间
2.函数在区间内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.函数的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. B.且 C. D.且
5.若函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
0.875 0.2246
则方程的一个近似根（误差不超过0.05）为( )
A.1.375 B.1.34375 C.1.3125 D.1.25
6.（多选）关于函数的零点，下列选项说法正确的是( )
A.是的一个零点
B.在区间内存在零点
C.至少有2零点
D.的零点个数与的解的个数相等
7.（多选）已知函数，则函数的零点是( )
A. B.0 C.1 D.2
8.若函数，，值有正有负，则实数a的取值范围为________.
9.若函数在区间上有零点，则m的取值范围为________.
10.已知函数
（1）证明：当时，至少有一个零点．
（2）当时，关于x的方程在上没有实数解，求m的取值范围．
11.已知函数.
（1）若，求与交点的横坐标；
（2）若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：令，则，，，构造函数，在上单调递增，且连续不间断，，
，所以有唯一零点位于区间，所以在1.2和1.3之间.故选：B.
2.答案：B
解析：易得为减函数，又，
.故在区间内的零点个数是1.故选：B.
3.答案：C
解析：当时，令，解得或；当时，令，则，画出函数与函数的图象，可知在上有一个公共点.故的零点个数为3.故选C.
4.答案：B
解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，解得且.故选：B.
5.答案：B
解析：因为，，且为连续函数，所以由零点存在定理知区间内存在零点，又，所以取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半，故也不超过0.05，又，所有方程的一个近似根（误差不超过0.05）为1.34375.故选：B.
6.答案：BCD
解析：因为，所以是的一个零点，A不正确；
因为，，所以在区间内存在零点，B正确；令，得，
因为方程的判别式，且不是的根，所以有3个零点，C正确；由零点的定义可知D也是正确的.故选：BCD.
7.答案：ABC
解析：令，当时，有，则;
当时，有，则;当时，有，则;
故函数的零点是，0，1，故选：ABC
8.答案：
解析：当时，，不成立；当时，，即，
解得，故答案为：
9.答案：
解析：因为函数，所以为减函数.又因为在区间上有零点，所以，解得.故答案为：.
10.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时，
因为，
根据零点存在性定理，可知在上至少一个零点.
（2）当时，于x方程变为：
又因为函数上单调递减，所以的值域为
方程在上没有实数解，则
11.答案：（1）或；
（2）
解析：（1）若，则，解得，
所以，
由解得，或，
所以与交点的横坐标为或；
（2）若，则在区间上没零点，不符合题意，
所以，所以的图象为抛物线，
对称轴为，
所以要使在区间上恰有一个零点，只须，
即，解得.a的取值范围.4.3 对数——高一数学人教A版（2019）必修第一册随堂小练
1.已知函数，则( )
A.3 B.6 C.9 D.12
2.若，则( )
A. B. C.1 D.
3.已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为，为初始量.则该塑料经自然降解，残留量为初始量的50%.至少需要_________年（精确到年）( )
（参考数据：）
A.5 B.6 C.7 D.8
4.设，，则( )
A. B. C. D.
5.的值等于( )
A.-2 B.0 C.8 D.10
6.（多选）若，，则( )
A. B. C. D.
7.（多选）下列计算正确的有( )
A. B.
C. D.
8.已知，，则_____________.
9.设，，已知，则________.
10.计算：
（1）；
（2）.
11.计算（1）；
（2）.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由，所以.故选：C
2.答案：C
解析：，，，，故选：C.
3.答案：C
解析：若残留量不足初始量的50%，则，，两边取常用对数，，所以至少需要7年.故选：C.
4.答案：C
解析：由得，所以，
故选：C.
5.答案：A
解析：故选：A.
6.答案：AD
解析：，，，，，故A选项正确；，故B选项错误；，故C选项错误；，故D选项正确，故选：AD
7.答案：AB
解析：，A正确；，B正确；，C不正确；，D不正确.故选：AB.
8.答案：
解析：由可知，则，则，故答案为：.
9.答案：8
解析：因为，则.则，所以，.故答案为：8.
10.答案：（1）0
（2）2
解析：（1）
（2）
11.答案：（1）-1
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.4.1 指数——高一数学人教A版（2019）必修第一册随堂小练
1.已知，则( ).
A. B. C. D.a
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.设，将表示成指数幂的形式，其结果是( )
A. B. C. D.
4.已知，，用分数指数幂表示：( ).
A. B. C. D.
5.化简（其中，）的结果是( ).
A. B. C. D.
6.（多选）下列各式中一定成立的有( )
A. B.
C. D.
7.（多选）下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
8.若，则x的值为________.
9.__________.
10.化简求值：（1）
（2）若，求，的值
11.计算下列各式：
（1）；
（2）
答案以及解析
1.答案：A
解析：.
2.答案：B
解析：因为，则，即.故选：B.
3.答案：C
解析：因为，所以.故选：C.
4.答案：A
解析：.
5.答案：C
解析：.
6.答案：BD
解析：，A错误；，B正确；，C错误；，D正确故选：BD.
7.答案：ABD
解析：对于A，，A正确；对于B，由根式与分数指数幂的关系可得，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.
8.答案：2
解析：因为，所以，，故答案为：2.
9.答案：
解析：原式.
10.答案：（1）
（2），
解析：（1）.
（2），，，，又，
11.答案：（1）
（2）100
解析：（1）
；
（2）
.4.4 对数函数——高一数学人教A版（2019）必修第一册随堂小练
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，在区间上为减函数的是( )
A. B. C. D.
4.设，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.下列叙述不正确的是( )
A.若，则
B.“”是“”的充分不必要条件
C.命题，，则命题p的否定：，
D.函数的最小值是4
7.函数中，实数a的取值可能是( )
A. B.3 C.4 D.5
8.已知函数，若，则__________.
9.函数，的最小值是______________.
10.已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.
11.已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，求函数的单调区间.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意：，，所以；故选：C.
2.答案：D
解析：，即.故选：D.
3.答案：C
解析：，，在上都为增函数，在上为减函数.故选：C.
4.答案：B
解析：因为，所以，又因为，所以，
又因为，所以，所以，故选：B.
5.答案：D
解析：由题意可知的定义域需要满足，解得，故定义域为.故选：D.
6.答案：BD
解析：对于A.由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变，则若，则，故A正确；
对于B.由得，则，即“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；
对于C.由全称命题的否定知，命题，，的否定为，，故C正确；
对于D.当时，，故函数的最小值不为4，故D错误.
综上所述，选项BD不正确，故选：BD.
7.答案：AC
解析：因为，所以根据对数函数的定义得：，
即：，所以或，故选：AC.
8.答案：
解析：，且，，，.
9.答案：2
解析：，令，，，则，当时，.故答案为：2.
10.答案：(1)
(2)奇函数，理由见解析
解析：（1）由，等价于，解得，
故函数的定义域为；
（2）函数是奇函数，理由如下：
由（1）知，函数的定义域关于原点对称，
且，
故函数为奇函数.
11.答案：（1）；
（2）增区间为，减区间为
解析：（1）当时，，则，
所以，，即函数的值域为.
（2）当时，，
由可得或，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，
外层函数在上为增函数，
所以，函数的增区间为，减区间为.4.5.3 函数模型的应用——高一数学人教A版（2019）必修第一册随堂小练
1.某城市为保护水资源，鼓励市民节约用水，规定如下：每月用水不超过，按2元/t收取水费；每月用水超过，超过部分加倍收费.某家庭某月缴费20元，则该家庭该月实际用水( ).
A. B. C. D.
2.青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为，，则( )
A. B. C. D.
3.已知某种塑料经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为，为初始量.则该塑料经自然降解，残留量为初始量的50%.至少需要_________年（精确到年）( )
（参考数据：）
A.5 B.6 C.7 D.8
4.推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是( )
（参考数据：，，）
A.2033年 B.2034年 C.2035年 D.2036年
5.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过后的温度为y，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是( )（参考数据：）
A. B. C.6min D.
6.（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是( )
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B.甲从家到公园的时间是30min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当时，y与x的关系式为
7.（多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )
A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快
B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢
C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢
D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快
8.某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过_____________年．
9.研究表明，地震时释放的能量E（单位：J）与地震里氏震级M之间的关系为，则( )
A.震级为2级的地震释放的能量为
B.释放能量为的地震震级为3级
C.9级地震释放的能量是8级地震释放的能量的10倍
D.释放能量之比为的两场地震的震级相差2级
10.人类已经进入大数据时代目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别国际数据公司的研究结果表明，年起全球每年产生的数据量如下表所示：
年份 2008 2009 2010 2011 2020
数据量 0.49 0.8 1.2 1.82 80
（1）设年为第一年，为较好地描述年起第x年全球生产的数据量y(单位：)与x的关系，根据上述信息，试从(，且，，(，且三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适不用说明理由；
（2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍
11.某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电不超过120度，每度0.6元；超过120度，但不超过300度的部分，每度0.8元；超过300度，但不超过500度的部分，每度1元；超过500度的部分，每度1.2元.某月A，B两户共交电费y元，已知A，B两户该月用电量分别为度、度.
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若A，B两户该月共交电费486元，求A，B两户的用电量.
答案以及解析
1.答案：A
解析：（元），即实际用水（t）.
2.答案：C
解析：依题意，，两式相减可得，，故，而，故.故选：C.
3.答案：C
解析：若残留量不足初始量的50%，则，，两边取常用对数，，
所以至少需要7年.故选：C.
4.答案：C
解析：设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得，即，则，，
又，则．所以所求年份大约是2035年．故选：C.
5.答案：B
解析：由题可知，函数，令，则，
两边同时取对可得：，即，
即.故选：B.
6.答案：BD
解析：在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当时，设，则，解得，D正确.故选：BD.
7.答案：ABD
解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.
8.答案：4
解析：设经过n年后，该商品年产量超过20000件，则，即．
因为，，所以至少需要经过4年．故答案为：4.
9.答案：BD
解析：对于A，当时，，解得，A错误；
对于B，当时，，解得，B正确；
对于C，令9级地震释放的能量为，8级地震释放的能量为，则，于是，C错误；
对于D，设释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为，
则，且，两式相减得，解得，D正确.故选BD.
10.答案：（1）选择更合适；
（2）预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍
解析：（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适.
（2）题意，，故，即，代入可得，故.
设在第n年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则，
即，解得，此时为2031年.
即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍.
11.答案：（1）
（2）A户：度，B户：度
解析：（1）由题意得，
（2）当时，，当时，，
则.
由，得.
故A户该月用电量为度，B户该月用电量为度.
