4.14 相似三角形几何模型（A字型与8字型）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一】“A字模型”与“8字模型”
【模型二】“反A字模型”与“反8字模型”
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用“A字模型”求值或证明
【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知．
（1）求证：．
（2）若的面积为15，求的面积．
【答案】(1)见解析 (2)10
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、垂线、余角以及平行线的判定，
（1）由于点，可得出，结合，利用等角的余角相等，可得出，则可得出；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出的面积．
解：（1），
．
，
．
，
．
（2）由（1）
∴
∴
∴，
的面积为15，
．
【变式1】（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，、分别为、上的中点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，
首先证明出，得到，然后利用相似三角形的性质求解即可．
解：∵、分别为、上的中点
∴
又∵
∴
∴
∴．
故选：B．
【变式2】如图所示，在中，是高，，，，，则 ．
【答案】2.4
【分析】根据EF∥BC，可以得到△AEF~△ABC，然后根据相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求得AG的长，进而可求出GD的长.
解：∵EF//BC，
∴△AEF~△ABC，
∴，
即，
解得AG＝，
∴GD＝AD－AG＝6－＝2.4，
故答案为2.4.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.
【题型2】利用“8字模型”求值或证明
【例2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，相交于点E，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由，可得，进而结论得证；
（2）由相似可得，即，求的长，根据，计算求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，解得，
∴，
∴的长为．
【变式1】（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，E线段上一点，且，过点C作，交的延长线于点D．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由，可得，则，证明，则，即，计算求解即可．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的面积为，
故选：C．
【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】过点作的平行线，交的延长线于点，利用结合等腰三角形求出结果．
解∶过点作的平行线，交的延长线于点．
在直角中，，
，
∴，
在直角中，由勾股定理得
．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，通过平行线构造相似三角形是解决问题的关键．
【题型3】利用“反A字模型”求值或证明
【例3】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，中，，点D在边上，且交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，E是中点，求的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)的长为
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是相似三角形的判定与性质应用．
（1）由，可得出，再结合公共角相等，即可证出；
（2）在中，点为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．
解：（1）证明：，，
．
又，
；
（2）解：在中，，，，
，
是中点，
，
，
，
即，
．
【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．
解：①，则，故①符合题意；
②，则，故②符合题意；
③，且夹角，则，故③符合题意；
④由可得，此时不确定，故④不符合题意，
故选：C．
【变式2】（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．
【答案】4
【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可．
解：如图：
①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB；
②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB
③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB；
④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB．
故答案为：4
【点拨】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似．
【题型4】利用“特殊反A字模型”（也称为“母子型”）求值或证明
【例4】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，是边上一点．
（1）当时，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）已知，若，求的长．
【答案】(1)①见解析；② (2)
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；
（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．
（1）①证明：∵，，
∴；
②解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.，
，
∴
【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点P在的边上，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理．
根据相似三角形的对应角相等得到，进而根据三角形的内角和定理即可解答．
解：∵，
∴，
∴．
故选：C
【变式2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知等腰中，，，平分，交于点．若，则 ．
【答案】2
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，由角平分线的定义可得出，即可进一步证明，再根据两角对应相等，判定再用相似三角形对应边的比相等得出，设则代入进行计算，然后解一元二次方程即可得出答案．
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
设，．
则，即
整理得：，
解得，（舍去），
∴，
故答案为；2．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，一元二次方程的应用，三角形内角和定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．
【题型5】利用“反8字模型”求值或证明
【例5】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，．
（1）求证：；
（2）已知，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）对顶角相等，结合，即可得出；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．
掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键．
（1）证明：∵，又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
所以的面积为．
【变式1】如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长.
解：∵，∠BDE=∠ADC，
∴△BDE∽△ACD，
∴DC：BD=AD：DE，
∵，，AB=AD+BD，
∴AD=4，BD=6，
∴DC== = ，
故选A.
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键.
【变式2】如图，，，则图中相似的三角形有 对．
【答案】5
【分析】根据相似三角形的判定，可判定共5对三角形相似.
解：如图，①∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AED=∠CFD=90 ,
又∵∠ADE=∠CDF，
∴△AED∽△CFD；
②∵AF⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AFB=∠CEB=90 ，
又∵∠B=∠B，
∴△AFB∽△CEB；
③∵∠A=∠A，∠AED=∠AFB=90 ，
∴△AED∽△AFB；
④∵∠C=∠C，∠CFD=∠CEB，
∴△CFD∽△CEB，
⑤△AED∽△CEB；
故答案是：5.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定.
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可．
解：菱形的边长为6，，
，，，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【例2】（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．
作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果．
解：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：B．
2、拓展延伸
【例1】（2024·湖北襄阳·一模）（1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明；
（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：
（3）【拓展应用】如图3，是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质，构造相似三角形．
（1）根据正方形的性质，得到，进而得到，推出，即可得证；
（2）同法（1），即可得证；
（3）倍长中线，构造平行四边形，同法（2）得到，推出，证明，得到即可．
解：（1）∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延长至点，使，连接，
∵为三角形的中线，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴三点共线，
同法（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【例2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为3，求平行四边形的面积．
【答案】(1) (2)24
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
（1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出；
（2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积．4.14 相似三角形几何模型（A字型与8字型）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一】“A字模型”与“8字模型”
【模型二】“反A字模型”与“反8字模型”
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用“A字模型”求值或证明
【例1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点是上一点，连结，已知．
（1）求证：．
（2）若的面积为15，求的面积．
【变式1】（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，、分别为、上的中点．则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图所示，在中，是高，，，，，则 ．
【题型2】利用“8字模型”求值或证明
【例2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，相交于点E，且，
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【变式1】（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，E线段上一点，且，过点C作，交的延长线于点D．若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ．
【题型3】利用“反A字模型”求值或证明
【例3】（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，中，，点D在边上，且交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，E是中点，求的长．
【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．
【题型4】利用“特殊反A字模型”（也称为“母子型”）求值或证明
【例4】（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，是边上一点．
（1）当时，
①求证：；
②若，，求的长；
（2）已知，若，求的长．
【变式1】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点P在的边上，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知等腰中，，，平分，交于点．若，则 ．
【题型5】利用“反8字模型”求值或证明
【例5】（23-24九年级上·湖南永州·期末）如图，相交于点O，．
（1）求证：；
（2）已知，的面积为6，求的面积．
【变式1】如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，，，则图中相似的三角形有 对．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
【例2】（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A． B．3 C． D．4
2、拓展延伸
【例1】（2024·湖北襄阳·一模）（1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明；
（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：
（3）【拓展应用】如图3，是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值．
【例2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为3，求平行四边形的面积．
