专题2.15 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）.
【知识点2】一元二次方程的解法：
（1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
（2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法.
【知识点3】一元二次方程的根的判别式：
（1）当时方程有两个不相等的实数根；
（2） 当时方程有两个相等的实数根；
（3）当时方程没有实数根；
（4）当时方程有两个实数根
【知识点4】一元二次方程根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，则, .
【知识点5】实际问题与一元二次方程
（1）列一元二次方程解应用题步骤：
① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词；
② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位；
③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致；
④ 解：用适当的方法解一元二次方程；
⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义；
⑥ 答：写出实际问题的答案。
常见实际问题的数量关系
① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数）
③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等；
④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字；
⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程及相关概念
【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1) (2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是
【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
解：（1）由是一元一次方程，得
根据题意，得且．
解得．
所以当时，此方程是一元一次方程；
（2）根据题意，得．
解得．
此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．
【变式1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到，再根据，代入求解即可求．
解：是一元二次方程的一个根，
即，
，
将代入得：原式，
故答案为：0．
【变式2】（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算．熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键．
由图象可知，，则方程一个解的取值范围为，然后判断作答即可．
解：∵，
∴方程一个解的取值范围为，
故选：C．
【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程
【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法) (2) (配方法)
(3) (公式法) (4) (因式分解法)
【答案】(1) (2)，
(3) (4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
解：（1），
，
，
∴；
（2），
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
即；
（4），
，
，
∴．
【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）请用指定方法解下列方程：
(1) （用配方法） (2)（用公式法）
【答案】(1)， (2)，
【分析】（1）配方法解方程即可；
（2）公式法解方程即可．
解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2），
，
∴，
∴，
∴，．
【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程：
(1)（公式法）； (2)（因式分解法）．
【答案】(1)， (2)，
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解；
（2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
解：（1），
，
∵，，，
∴，
∴
解得：，．
（2），
，
，
，
，
或，
解得：，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【题型3】配方法的应用
【例3】（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值；
（3）小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查了配方法的应用：
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可；
熟练掌握配方法是解题的关键．
解：（1），
∵，
∴，
∴的最小值是4．
（2），
∵，
∴，
∴，
∴的最大值是4．
（3）设，则，
由题意，得花园的面积是，
，
，
的最大值是50，此时，，符合题意，
则当时，花园的面积最大，最大面积是．
【变式1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再找出，的值即可．
解：∵，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
【变式2】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，P 为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q，则线段的最小值是
【答案】
【分析】过点 Q 作轴于点C，轴于点 D，证明，可得，，设，可得，表示出，利用配方法求出的最小值即可．
解∶如图，过点 Q 作轴于点C，轴于点 D，
由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，取最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用，配方法的应用，作出合适的辅助线，设出点P坐标，能够表示出点Q的坐标是解题的关键．
【题型4】根的判别式
【例4】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）判断方程的根的情况．
【答案】(1) (2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
（1）根据一元二次方程的判别式求解即可；
（2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可．
解：（1）∵关于x的方程无实数根
∴
解得；
（2）∵方程
∴当时，即时，方程为
∴方程为一元一次方程，有一个实数根，
当且时，方程为一元二次方程
∴
∵
∴
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根．
【变式1】（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（ ）
A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．
解：∵直线经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【变式2】（2024·江苏扬州·三模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意分两种情况：当，即时，当，即时，分别求解即可得出答案．
解：当，即时，方程为，解得，有实数根，
当，即时，方程为一元二次方程，则，
解得：，
∴综上所述，实数k的取值范围是，
故答案为：．
【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合
【例5】（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为，且，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式判定即可得证；
（2）由根与系数的关系得，，将变形得，代入解方程即可得解．
解：（1）证明：∵关于的一元二次方程
∴．
∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴的值为或．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程．
(1)取什么值时，方程有两个实数根．
(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解．
解：（1）方程有两个实数根，
，
解得：；
（2）解：∵方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
【变式2】（2023·北京·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．
【答案】(1)见详解 (2)
【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可；
（2）当时，其方程为，利用方程根的定义可求得，，代入求值即可．
解：（1），
，
不论实数m取何值，方程总有实数根；
（2）当时，其方程为，
α、β为方程的两个根，
，，
．
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键．
【题型6】实际问题与一元二次方程
【例6】（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
(3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
【变式】（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
（1）求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？
【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可；
（2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可．
解：（1）设年平均增长率为，
依题意有．
解得，（舍去）．
答：年平均增长率为；
（2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，
依题意得：，
解得，，
每碗售价不得超过15元，
当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
解：（1） ∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
∵，
∴
；
【例2】（2019·湖北鄂州·中考真题）已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；
(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．
解：(1) ∵原方程有实数根，
∴，∴，
∴.
(2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解之，得：，．
经检验，都符合原分式方程的根，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用．
（1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”；
（2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18；
（3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可．
解：（1）的根为，，
，
是“倍根方程”；
的根为，，
，
不是“倍根方程”；
故答案为：①；
（2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和，
，
解得；
经检验，符合题意，
的值为18；
（3）由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
当时，；
当时，；
代数式的值为或．
【例2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．
（1）点A坐标为________，线段__________．
（2）当矩形的面积为时，求P点的坐标．
（3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)；4 (2)点的坐标为，或，．(3)点的坐标为，即．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点、的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出线段的长度；
（2）由点在线段上可设出点的坐标，再利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式，代入求出值，将其代入点坐标中即可得出结论；
（3）假设存在，根据菱形的性质可得出为等腰三角形，结合的度数即可得出为等边三角形，进而可得出点的坐标，再根据菱形的性质分别以、、为对角线找出点的坐标，此题得解．
解：（1）当时，，
；
当时，，
，．
．
故答案为：；4．
（2）设点的坐标为，，
．
当时，有，
解得：，．
点的坐标为，或，．
（3）假设存在．
以点，，，为顶点的四边形为菱形，
为等腰三角形，
，，，
，
为等边三角形．
点为线段的中点，
点．
以点，，，为顶点的四边形为菱形分三种情况（如图所示）
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即；
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即；
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、矩形的面积、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标；（2）利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式；（3）分以、和为对角线三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．专题2.15 一元二次方程（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】一般形式：（其中是未知数，是已知数，）.
【知识点2】一元二次方程的解法：
（1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
（2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法.
【知识点3】一元二次方程的根的判别式：
（1）当时方程有两个不相等的实数根；
（2） 当时方程有两个相等的实数根；
（3）当时方程没有实数根；
（4）当时方程有两个实数根
【知识点4】一元二次方程根与系数的关系
若是一元二次方程的两个根，则, .
【知识点5】实际问题与一元二次方程
（1）列一元二次方程解应用题步骤：
① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词；
② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位；
③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致；
④ 解：用适当的方法解一元二次方程；
⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义；
⑥ 答：写出实际问题的答案。
常见实际问题的数量关系
① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；（x是平均增长率，n增长次数）
③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等等；
④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字10+个位数字；
⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价（1+利润率）；总利润=总售价-总成本=单件利润总销量等等
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】一元二次方程及相关概念
【例1】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【变式1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【变式2】（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ）
x
A． B． C． D．
【题型2】选择合适（指定）的方法解一元二次方程
【例2】（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法) (2) (配方法)
(3) (公式法) (4) (因式分解法)
【变式1】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）请用指定方法解下列方程：
(1) （用配方法） (2)（用公式法）
【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）利用指定方法解一元二次方程：
(1)（公式法）； (2)（因式分解法）．
【题型3】配方法的应用
【例3】（23-24八年级下·广西百色·期中）先阅读下列问题，再按要求解答问题：
例题：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴的最小值是9．
（1）求代数式的最小值；
（2）求代数式的最大值；
（3）小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
【变式1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，P 为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q，则线段的最小值是
【题型4】根的判别式
【例4】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）判断方程的根的情况．
【变式1】（2024·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（ ）
A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式2】（2024·江苏扬州·三模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是 ．
【题型5】根与系数的关系与根的判别式综合
【例5】（22-23九年级上·福建莆田·期中）关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为，且，求的值．
【变式1】（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程．
(1)取什么值时，方程有两个实数根．
(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．
【变式2】（2023·北京·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根；
(2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值．
【题型6】实际问题与一元二次方程
【例6】（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【变式】（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗．
（1）求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【例2】（2019·湖北鄂州·中考真题）已知关于的方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两根分别是、，且，试求k的值．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
（1）方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；
（2）若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
（3）若是“倍根方程”，求代数式的值．
【例2】（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．
（1）点A坐标为________，线段__________．
（2）当矩形的面积为时，求P点的坐标．
（3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．
