专题2.17 一元二次方程（全章专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（ ）
A．有四个实数根 B．有两个实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
3．（19-20九年级上·山西太原·期中）用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
5．（2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试题（4））关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
7．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则满足该方程的所有根之和为（ ）
A． B． C．0 D．1
8．（23-24九年级上·全国·单元测试）设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程的两个根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
9．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·四川巴中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若则
B．方程的两根之积为1
C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于
D．关于x的方程有实数根，则a满足且
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ．
12．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
13．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．（23-24九年级上·广东汕头·期末）三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
15．（2023·广东佛山·模拟预测）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ．
16．（22-23九年级上·四川成都·开学考试）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
17．（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ．
18．（2023·河北秦皇岛·一模）我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”．
（1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ；
（2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ；
（3）若数列是“梦数列”，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程
(1)配方法 (2)公式法
20．（8分）（22-23九年级上·山东德州·期末）计算题：
（1）解一元二次方程；
（2）先化简，再求值：，其中实数m使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
21．（10分）（23-24九年级上·广东江门·期中）【阅读】方程的解为；方程的解为；方程的解为；…
【猜想】根据以上方程的特征及其解的特征，请猜想：
（1）方程的解为____________，_____________；
（2）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性；
（3）证明无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根，并直接写出方程的实数根．
22．（10分）（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用．
例如：若代数式，
利用配方法求M的最小值：
∵，，
∴当时，代数式M有最小值为1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_________；
（2）若代数式，求M的最小值；
（3）已知，求代数式的值．
23．（10分）（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm．
（1）的长为 米；
（2）如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
24．（12分）（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
（1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？
（3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
试卷第1页，共3页专题2.17 一元二次方程（全章专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·福建厦门·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（ ）
A．有四个实数根 B．有两个实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
3．（19-20九年级上·山西太原·期中）用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
5．（2023年湖南省长沙市初中学业水平考试数学模拟试题（4））关于的一元二次方程有两不等实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．
7．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则满足该方程的所有根之和为（ ）
A． B． C．0 D．1
8．（23-24九年级上·全国·单元测试）设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程的两个根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
9．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·四川巴中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若则
B．方程的两根之积为1
C．边长为5的菱形的两条对角线交于O点，且、的长分别是关于x的方程的两根，则m等于
D．关于x的方程有实数根，则a满足且
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程的各项系数之和是，则实数的值是 ．
12．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
13．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
14．（23-24九年级上·广东汕头·期末）三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为 ．
15．（2023·广东佛山·模拟预测）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ．
16．（22-23九年级上·四川成都·开学考试）已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ．
17．（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ．
18．（2023·河北秦皇岛·一模）我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”．
（1）若0，1，，2，是“梦数列”，则 ；
（2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则 ；
（3）若数列是“梦数列”，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程
(1)配方法 (2)公式法
20．（8分）（22-23九年级上·山东德州·期末）计算题：
（1）解一元二次方程；
（2）先化简，再求值：，其中实数m使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．
21．（10分）（23-24九年级上·广东江门·期中）【阅读】方程的解为；方程的解为；方程的解为；…
【猜想】根据以上方程的特征及其解的特征，请猜想：
（1）方程的解为____________，_____________；
（2）请用配方法解方程，以验证猜想结论的正确性；
（3）证明无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根，并直接写出方程的实数根．
22．（10分）（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用．
例如：若代数式，
利用配方法求M的最小值：
∵，，
∴当时，代数式M有最小值为1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_________；
（2）若代数式，求M的最小值；
（3）已知，求代数式的值．
23．（10分）（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm．
（1）的长为 米；
（2）如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
24．（12分）（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件，
（1）若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？
（2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？
（3）为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率）
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程．
【详解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值为，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先判断出，再将分式方程化成一元二次方程，利用直接开平方法解方程，然后进行检验即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或（不满足，舍去），
经检验，是原方程的解，
所以方程的根的情况是有一个实数根，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查解一元二次方程-配方法、估算无理数的大小，由方程有唯一解知能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择．
【详解】解：∵关于x的方程有唯一解，
∴能配成完全平方式，
∵，
，
∴，
∴关于x的方程的唯一解为，
，
∴该解在7和8之间．
故选：A．
5．C
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两不等实数根，
∴，
解得：，
又，解得：，
∴的取值范围是且，
故选：．
6．A
【分析】此题主要考查高次方程的解法，把原方程化为：，再把看成一个整体，解一元二次方程，最后进行检验，选择正确的解
【详解】解：∵，
∴，两边同除可得，，
∴，
解之得，或，
当时，，，无解，故舍去，
当时，，．
综合得，，
故选：A．
7．A
【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．
因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．
解：当时，即，原方程化为：，
∵，
∴，（舍去），
∴，
当，即时，原方程化为：，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴．
则．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，以及菱形的性质，设两个根分别为，，利用根与系数的关系得到，，结合菱形的性质和勾股定理建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设两个根分别为，，
，，
菱形的周长为20，
，
即，
解得或（舍去），
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程．熟练掌握平移性质，矩形性质和面积公式，是解决问题的关键．
设道路的宽为x米，根据平移性质，余下部分草坪的长为米，宽为米，根据矩形的面积公式可列方程．
【详解】解：设道路的宽为x米，
根据题意得．
故选：D．
10．C
【分析】根据二次根式的性质判断A；根据根的判别式判断B；根据根的判别式，根与系数的关系以及菱形的性质判断C；根据方程有实数根分与两种情况判断D．
【详解】解：A、若，则，故本选项说法错误，不符合题意；
B、方程的判别式，所以没有实数根，故本选项说法错误，不符合题意；
C、由题意知，解得
由根与系数关系得，，
∵边长为5的菱形的两条对角线交于O点，
∴，
∴，即可，
解得，（舍去），故本选项说法正确，符合题意；
D、当，即时，原方程为，解得，
∴原方程有实数根，符合题意，
当时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得，
∴且，
综上，关于x的方程有实数根，则a满足，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
根据该方程各项系数之和是，列出方程求出m的值即可．
【详解】解：∵方程的各项系数之和是，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数，
∴，且为正整数，
解得，且为正整数，
∴可以为
故答案为：（答案不唯一）．
13．且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，求解公共部分即可；
【详解】解：根据题意得，
解得且．
故答案为且．
14．
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算此三角形的周长．
【详解】解：，
，
或，
所以，，
而，不能构成三角形；而，能构成三角形，
所以三角形第三边长为，
所以此三角形的周长为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解．
【详解】解：、b是方程的实数根，
，，
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，一元二次方程的求解，分别用a表示出至，然后将至代入得到关于a的方程，解出a的值即可．
【详解】解：，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，得到，于是得到结论．
【详解】解：设，
则原方程可化为，
∵关于x的一元二次方程的解为，
∴，
∴或，
解得．
故答案为：．
18． 2 1或
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是明确“梦数列”的含义.
（1）根据“梦数列”的定义进行求解即可；
（2）根据“梦数列”的定义可得到， 结合条件则有，从而可求解；
（3）结合“梦数列”的定义进行求解即可.
【详解】（1） 由题意得：
，
故答案为： ；
（2）∵数列是“梦数列”，
∴，
∵不论取何值， 数列都是“梦数列”，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
（3）∵数列是“梦数列”，
∴，
，
则有，
∴，
解得： 或.
故答案为： 或.
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；
（2）先求解，再利用求根公式计算即可．
【详解】（1）解：
移项，化“1”得：，
配方，得：，
即，
由此可得：，
，；
（2）解：
，，，
，
方程有两个不等的实数根，
，
即，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
20．(1)
(2)，
【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用公式法求解即可；
（2）先根据分式的混合计算法则化简，然后根据一元二次方程根的判别式求出m的值，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得
（2）解：
，
∵实数m使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．(1)，
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）先由以上各方程及其解的特征发现规律，再利用规律得结论；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用公式法求解进行证明即可．
【详解】（1）根据已知的方程的特征及其解的特征，可得方程的解为，
故答案为：，；
（2），
，
，
，
，
，
∴猜想结论正确；
（3）∵，
∴，
∴无论为何值，关于的一元二次方程总有实数根，
∴方程的根为，
即．
22．(1)9
(2)2
(3)4
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；
（2）利用配方法将M配成完全平方的形式，即可得答案；
（3）将等式左边进行配方，利用平方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解．
【详解】（1）解：∵，
∴横线上可添加常数“9”；
（2），
∴当时，M有最小值为2；
（3）∵，
∴
∴，
∴，，
∴
【点睛】本题考查了配方法在代数式求值中的应用，明确如何配方及偶次方的非负性，是解题的关键．
23．(1)；
(2)养殖园的面积不能达到，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案；
（2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到．
【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且，
∴，
∴米，
故答案为：；
（2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下：
∵隔离网的总长为30m，
设，
∴，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴养殖园的面积不能达到．
24．(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元
(2)每件恤衫的销售价应该定为元
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键．
（1）根据题意列出式子计算即可得出答案；
（2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：（元），
∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元；
（2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，
由题意得：，
解得：或，
当时，售价为（元），
当时，售价为（元），
∵优惠最大，
∴，
∴每件恤衫的销售价应该定为元；
（3）解：不能，理由如下：
设每件恤衫降价元，
∵为了保证每件恤衫的利润率不低于，
∴，
解得：，
由题意得：，
解得：或，
∵，
∴或都不符合题意，舍去，
∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．
