专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】用配方法求解一元二次方程
配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)理论依据：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【特别提示】
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
【知识点二】配方法的应用
1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
【特别提示】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接平方法解一元二次方程
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用直接开方的方法进行求解即可；
（2）利用直接开方的方法进行求解即可．
（1）解：，
，
，
，；
（2），
，
两边直接开平方，得，
解得，．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查直接开方法解方程，根据完全平方的非负性，得到，进行求解即可．
解：∵，
∴，
∴，
故选C．
【变式2】（22-23八年级下·上海青浦·期中）方程的根是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程特点可以利用直接开平方法求解．利用直接开平方法可得方程的解．
解：原方程两边直接开平方可得：
，
原方程两边直接开平方可得：
或者，
∴，
故答案为：．
【题型2】用配方法解一元二次方程
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)， (2)，
(3)， (4)，
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，
（1）（2）移项后再配方即可求解；（3）直接配方即可求解；（4）移项后再配方即可求解；
解：（1），
移项，得：，
配方，得：，
合并，得：，
直接开平方，得：，
解得：，；
（2），
移项，得：，
配方，得：，
合并，得：，
直接开平方，得：，
解得：，；
（3），
配方，得：，
合并，得：，
直接开平方，得：，
解得：，；
（4），
移项，得：，
配方，得：，
合并，得：，
直接开平方，得：，
解得：，．
【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果．
解：，
，
，
，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
利用配方法求解即可．
解：，
，
，即，
方程的两根为，
，
，．
故答案为：，．
【题型3】配方法的应用
【例3】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
解：∵，
∵，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若，则 ；
（2）求代数式的最值；
（3）若代数式的最大值为8，求k的值．
【答案】(1)2，1 (2)最小值为，无最大值 (3)
【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等．
（1）根据题意配方即可得到本题答案；（2）先提出2，再配方即可求最值；
（3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2，1
（2）解：∵，
∵，
∴当时，有最小值，无最大值；
（3）解：∵，
即：，
∵，
∴，即代数式有最大值，
∵代数式的最大值为8，
∴当时，即，解得：．
【变式1】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果．
解：
因为，，
，
所以当，时，
原式有最小值4，
故选：D．
【变式2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ．
【答案】36
【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
将代入求出，再代入化简即可得即可求解；
解：∵是方程的一个解，
∴，
∴，
∴
，
∴代数式的最小值为36．
故答案为：36．
【题型4】
【例4】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3）
【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
（1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可；
（2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有；
（3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断．
解：（1）①当时，，，则，
②当时，，，则，
③当时，，，则．
故答案为：；；；
（2）无论取什么值，判断与有，
理由如下：
，
无论取什么值，总有；
（3）拓展：
，
故．
【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．
解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义，
∴，
∴．
故选：A
【变式2】（2023·山东泰安·三模）若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先把等式左边的代数式配方，再根据非负数的性质求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键．
解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把移项，配方，化为，即可．
解：∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
【例2】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
解：∵，
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数，
(1) 求函数的定义域； (2)当时，求a的值.
【答案】(1) (2)，
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求函数值，解一元二次方程，解题的关键是理解题意．
（1）根据二次根式有意义的条件可得，，再进行求解即可；
（2）根据可得，，再解一元二次方程即可．
（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴函数的定义域为；
（2）解：当时，，
即，
解得，．
【例2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】
材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
（2）利用配方法求的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程，求的值．
【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9
【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答．
解：（1），
，
，
，
故答案为：D；
（2）
，
，
，即有最大值14；
（3），
，
，
，，
，，
．
【点拨】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键．专题2.3 用配方法求解一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】用配方法求解一元二次方程
配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
(2)理论依据：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
【特别提示】
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
【知识点二】配方法的应用
1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
【特别提示】“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】直接平方法解一元二次方程
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)； (2)．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级下·上海青浦·期中）方程的根是 ．
【题型2】用配方法解一元二次方程
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ．
【题型3】配方法的应用
【例3】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
解：∵，
∵，
∴当时，有最小值．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若，则 ；
（2）求代数式的最值；
（3）若代数式的最大值为8，求k的值．
【变式1】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【变式2】（2024·内蒙古包头·模拟预测）若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ．
【题型4】
【例4】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·山东泰安·三模）若，则的值是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
【例2】（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·上海静安·期末）已知函数，
(1) 求函数的定义域； (2)当时，求a的值.
【例2】（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】
材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1．
【尝试运用】
（1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
（2）利用配方法求的最值．
【拓展应用】
（3）已知方程，求的值．
