专题2.21 一元二次方程（全章常考知识点分类专题）（培优练）
考点目录：
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程；
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值；
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
选择题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
5．（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D．
6．（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
7．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）若，为菱形的两条对角线，且，为一元二次方程的两根，则菱形的周长为（ ）
A．16 B．20 C． D．
【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程；
9．（21-22九年级·福建龙岩·自主招生）已知关于x的分式方程有两解，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
10．（22-23九年级上·重庆潼南·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
11．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
12．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
13．（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
14．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）若，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
16．（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知，则的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
17．（22-23九年级上·福建莆田·期末）已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A．或4 B． C． D．或1
【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值；
19．（18-19九年级上·湖北黄冈·期中）等腰中，底边，、的长是关于的方程的两根，则该等腰三角形周长为 （ ）
A．18 B．16 C．18或16 D．20
20．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ）
A． B． C． D．
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
21．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
22．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
23．（2024·浙江杭州·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
25．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
26．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
选择题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
27．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．
28．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ．
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；
29．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知方程有一根为，则的值为 ．
30．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ．
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
31．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）方程的根为 ．
32．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
33．（23-24九年级上·全国·单元测试）方程较大的根为，的小数部分为，则 ．
34．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程；
35．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）关于x的分式方程的解是 ．
36．（23-24八年级下·上海·期中）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
37．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数x，y满足，则代数式的最大值为 ．
38．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
39．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ．
40．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
41．（2024·山东聊城·模拟预测）设、是方程的两实数根，则 ．
42．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．
（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
43．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．
44．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值；
45．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是 ．
46．（2023·四川成都·模拟预测）平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形，这时菱形的边长为 ．
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
47．（23-24九年级上·全国·单元测试）某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．
48．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
49．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为 ．
50．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ．
【考点13】一元二次方程一次函数问题
51．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一次函数的图象与反比例函数（且）的图象共有两个交点，且满足两交点横坐标的乘积， 则的取值范围是 ．
52．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利200元，则每件头盔的售价应为 元．
试卷第1页，共3页专题2.21 一元二次方程（全章常考知识点分类专题）（培优练）
考点目录：
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程；
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值；
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
选择题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）将一元二次方程化成的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
5．（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D．
6．（23-24八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
7．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）若，为菱形的两条对角线，且，为一元二次方程的两根，则菱形的周长为（ ）
A．16 B．20 C． D．
【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程；
9．（21-22九年级·福建龙岩·自主招生）已知关于x的分式方程有两解，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
10．（22-23九年级上·重庆潼南·阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
11．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A． B．2024 C． D．1
12．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
13．（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
14．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
15．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）若，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
16．（23-24八年级下·陕西西安·期末）已知，则的值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
17．（22-23九年级上·福建莆田·期末）已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A．或4 B． C． D．或1
【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值；
19．（18-19九年级上·湖北黄冈·期中）等腰中，底边，、的长是关于的方程的两根，则该等腰三角形周长为 （ ）
A．18 B．16 C．18或16 D．20
20．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，四边形是边长为的菱形，对角线、的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则值为（ ）
A． B． C． D．
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
21．（2024·黑龙江佳木斯·三模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
22．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
23．（2024·浙江杭州·模拟预测）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽，另有一竹竿，也不知竹竿的长短，竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长、若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
【考点13】一元二次方程一次函数问题；
25．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
26．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知m，n是方程的两个根，且，则一次函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
选择题
【考点1】一元二次方程的定义与一般形式；
27．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ．
28．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一元二次方程化为一般形式后为，则的值为 ．
【考点2】一元二次方程的解（整体思想）及解的估值；
29．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知方程有一根为，则的值为 ．
30．（2023·湖北黄冈·模拟预测）已知三个关于x的一元二次方程，，，恰有一个公共实数根，则的值为 ．
【考点3】直接开平方法与配方解一元二次方程；
31．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）方程的根为 ．
32．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ．
【考点4】公式法与因式分解法解一元二次方程；
33．（23-24九年级上·全国·单元测试）方程较大的根为，的小数部分为，则 ．
34．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ．
【考点5】解可化为一元二次方程的分式方程；
35．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）关于x的分式方程的解是 ．
36．（23-24八年级下·上海·期中）若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【考点6】配方法求（最）值与比较大小；
37．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数x，y满足，则代数式的最大值为 ．
38．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ．
【考点7】 根的判别式求取值范围或证明；
39．（23-24八年级上·上海静安·期中）已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是 ．
40．（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ．
【考点8】韦达定理与一元二次方程的解中的整体与降次思想；
41．（2024·山东聊城·模拟预测）设、是方程的两实数根，则 ．
42．（2024九年级上·江苏·专题练习）（1）已知一元二次方程的两根为，则的值为 ．
（2）若m、n是方程的两个实数根，则的值为 ．
【考点9】韦达定理与根的判别式综合；
43．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．
44．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【考点10】利用韦达定理求特殊几何图形中的值；
45．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是 ．
46．（2023·四川成都·模拟预测）平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形，这时菱形的边长为 ．
【考点11】实际问题与一元二次方程（增长率与营销问题）；
47．（23-24九年级上·全国·单元测试）某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ．
48．（22-23九年级上·广东东莞·阶段练习）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元．
【考点12】实际问题与一元二次方程（图形与行程问题）；
49．（23-24九年级上·浙江台州·开学考试）如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为 ．
50．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ．
【考点13】一元二次方程一次函数问题
51．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知一次函数的图象与反比例函数（且）的图象共有两个交点，且满足两交点横坐标的乘积， 则的取值范围是 ．
52．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利200元，则每件头盔的售价应为 元．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可．
【详解】解：是x的一元二次方程，且一个根是0，
故，即，
将代入，
即，
解得，
由于，
．
故选：B．
2．A
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据完全平方公式、移项把原方程化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解：，
则，
∴，
由题意得：，
解得：，
故选：A．
3．C
【分析】此题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，把代入方程得，则有，然后整体代入求值即可，正确理解一元二次方程的解及整体代入思想是解题的关键．
【详解】∵是方程的一个根，
∴，即，
∴，
故选：．
4．C
【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可．
【详解】解：根据表格得：
当时，，
当时，，
则关于的一元二次方程的一个解的范围是．
故选：C．
【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．
5．A
【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值．
本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解得或，
，
，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
【详解】解：
故选A．
7．C
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
根据公式法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：A． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，
∴，故该选项正确，符合题意；
D． ，
∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查菱形的性质，解一元二次方程，先求出一元二次方程的两个根，进而求出菱形的边长，即可得出结果．
【详解】解：，
解得：，，
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴，
∴菱形的周长为．
故选B．
9．A
【分析】分式方程去分母，整理得，根据题意得出，，求出公共的解集即可．
【详解】解：去分母，整理得，
∵关于x的分式方程有两解，
∴，，
解得，且，
∴m的取值范围是：且，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，一元二次方程根的判别式，列不等式组是解题关键．
10．A
【分析】先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，解得且，
去分母得，解得，
∵分式方程有正数解，
∴且，解得且，
∴的范围为且，，
∴符合条件的整数的值是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键．
11．D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键．
用配方法把移项，配方，化为，即可．
【详解】解：∵，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，，
∴．
故选：D．
12．D
【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键．
【详解】解：∵与互为倒数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
13．A
【详解】题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可．
【分析】本解：当时，即，这时方程为，解得；
当时，方程为一元二次方程，则，
解得且，
综上所述，m的取值范围是，
故选：A．
14．A
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，多项式的次数和项数，根据多项式的次数和项数，求出的值，根据方程的解，得到，根的判别式，求出的取值范围，进行求出的最小值即可．
【详解】解：∵是四次三项式，
∴，解得：，
∴方程，转化为：，
∵方程有实数根，
∴，，
∴，，
∴；
故选A．
15．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵，β是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选C．
16．C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，求代数式的值，根据题意得到可以看作方程的两个实数根，则，把代数式变形后整体代入即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴可以看作方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C
17．A
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，即可判断A；根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，即可判断B；根据根与系数的关系可得出，即可判断C；由，可得出、异号，即可判断D．
【详解】解：A．，
∴，结论A正确，符合题意；
B、∵、是关于的方程的两根，
∴，
∵的值不确定，
∴B结论不一定正确，不符合题意；
C、∵、是关于的方程的两根，
∴，结论C错误，不符合题意；
D、∵，
∴、异号，结论D错误，不符合题意．
故选：A．
18．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知，该方程为，
∵方程的两实数根的平方和为12，
∴，
∴，
设两实数根为，，则，，
∵
∴，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
故选：C．
19．A
【分析】根据等腰三角形的性质知，关于x的方程x2-10x+m=0有两个相等的实数根，利用根与系数的关系可以求得AB+AC=10，继而根据三角形的周长公式来求其周长即可．
【详解】∵、的长是关于的方程的两根，
∴AB+AC=10，
∵△ABC是等腰三角形，且AB、AC是两腰，底边，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+8=18，
故选A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-.
20．A
【分析】先根据菱形的性质得到，，，，利用勾股定理得到，利用根与系数的关系求出，再根据完全平方公式的变形求出，得到，再根据菱形面积公式求出的长即可．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，
，，
，，
，
，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴，
∴，
∴，
是边上的高，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可．
【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得
解得：，，
∵商家想尽快销售完该款商品，
∴，
∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元．
故选：B．
22．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人均收入的年平均增长率为，根据“某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设人均收入的年平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴人均收入的年平均增长率为，
故选：B．
23．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，由题意得出门的高为尺，宽为尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：若设门的对角线长为x尺，则门的高为尺，宽为尺，
根据题意得：．
故选：B．
24．C
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数．
【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：，
甲共行走：，
，
，
又，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
即甲走了步，
故选：C．
25．A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A
26．D
【分析】本题考查了解一元二次方程以及一次函数图象与系数的关系，通过解一元二次方程可得出，的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数的图象经过第一、二、三象限，即可解题．
【详解】解：由一元二次方程可得：，
或，
解得：，，
，n是方程的两个根，且，
，，
一次函数为，
，，
一次函数交轴交于正半轴，随的增大而增大，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
27．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解：是一元二次方程，
且，
解得：且，
，
原不等式为：，即
∴，
故答案为：．
28．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为．
先将原方程括号展开，再合并同类项，化为一般式，根据原方程化为一般形式后为，得出，求出a、b、c的值，再代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
∵原方程化为一般形式后为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
29．2018
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，根据方程有一根为得出，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵方程有一根为，
∴，即，
∴，
故答案为：2018．
30．
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，设公共实数根为，则，，，三式相加得出，即，求出，再将原式变形计算即可得出答案．
【详解】解：设公共实数根为，则，，，
∴三式相加得出，即，
∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
31．，
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
∴，
解得，，，
故答案为：，．
32．
【分析】本题主要考查了配方法的应用、直接开平方等知识点，掌握整体思想是解题的关键．
由可得，再对配方得到，然后运用直接开平方法求解即可．
【详解】解：可得，
，
，
所以．
故答案为：．
33．
【分析】本题考查解一元二次方程，无理数的估算，代入求值，先解方程求出x的值，确定a，b得值，然后代入计算即可．
【详解】解：解方程得，（舍去），
∵，
∴小数部分为，
∴，
故答案为：．
34．13
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系，先解一元二次方程得出，，设第三边长为，再由三角形三边关系得出，从而得出，即可得解．
【详解】解：解得：，，
∵一个三角形的两边长分别为3和6，
∴设第三边长为，则，即，
∵第三边是方程的一个根，
∴，
∴这个三角形的周长是，
故答案为：．
35．
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验．方程两边同乘以化成整式方程，再利用因式分解法解一元二次方程可得的值，然后进行检验即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
因式分解，得，
解得或，
经检验，不是原分式方程的解，是原分式方程的解，
故答案为：．
36．
【分析】此题考查了根据分式方程的根的情况求参数，去分母解分式方程得，根据分式方程有增根，得到，计算即可．
【详解】解：
∴
去分母得：
∵分式方程有增根，
∴，
解得：，
故答案为：．
37．
【分析】将代入代数式，利用配方法可得，利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意得：，
将代入代数式得：
，
，
，
，
原代数式的最大值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用、不等式的性质及平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
38． 7
【分析】把看作一个整体，利用直接开平方法求解，注意舍去负值；把原式化为，再利用非负数的性质求出x、y即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或（舍去）；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：7，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—直接开平方法和配方法的应用，掌握解答的方法是关键．
39．
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵有且只有三个不同的值满足方程，
∴，，
∴，
∴，
当时，的最小值，
故答案为：．
40．0或4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解．
【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：，
代入得：，
整理得：，
由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，．
故答案为：0或4．
41．
【分析】本题考查一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系，由、是方程的两实数根，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
【详解】解：∵、是方程的两实数根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：．
42． 2042
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．
（1）根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，再整体代入即可求出结论．
（2）由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案．
【详解】解：（1）∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）∵m，n是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：2042．
43．
【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是根据已知条件对足进行变形．根据根与系数的关系得到，，由，得到，从而得到，解得或，然后判断方程的根的情况即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，
解得：或，
当时方程为，则，
当时方程为，则，
，
故答案为：．
44．1
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：1．
45．
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．
【详解】解：∵三角形两边长是方程x2 11x＋30＝0的两个根，
∴x1＋x2＝11，x1x2＝30，
∵（x1 x2）2＝（x1＋x2）2 4x1x2＝121 120＝1，
∴x1 x2＝1，
又∵x1 x2＜m＜x1＋x2，
∴1＜m＜11．
故答案为：1＜m＜11．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．
46．/
【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．
先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到△，根据根与系数的关系得到，然后解方程得到的值，从而得到的长．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，的长是关于的方程的两个实数根，
△，，
解得，
，
即菱形的边长为．
故答案为：．
47．
【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得，
故答案为：．
48．2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个，利用每天销售口罩获得的总利润每个的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合想让顾客得到实惠，即可确定结论．
【详解】解：设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵想让顾客得到实惠，
∴，
∴每个口罩应该涨价2元．
故答案为：2．
49．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为，则长为，然后根据面积为平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：设宽为，则长为．
由题意，得，
解得，．
当时，舍去，
当时，．
即：围成矩形的长为．
故答案为：．
50．3或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于
列出关于t的方程，解之即可得出t值．
【详解】解：（秒），（秒），（秒）．
当时，连接，，此时，，如图1所示．
依题意得：，
即
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，，，如图2所示．
依题意得：
，
即，
解得：t（不合题意，舍去）；
当时，，，如图3所示．
依题意得：，
即，
解得：t．
综上，t的值为3或．
故答案为：3或．
51．
【分析】令，根据函数与方程的关系、由根与x系数的关系得到，由，得到，即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数关系定理，解不等式，熟练掌握根与系数关系定理是解题的关键．
【详解】解：令，
整理得，
∵反比例函数（且）的图象与一次函数的图象两个交点横坐标为、，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴．
故答案为：．
52．100
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
根据商店计划每周销售该头盔获利200元列方程求出，再根据每件头盔的利润不能超过进价的舍去不合题意的解，然后可得答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
∵每件头盔的利润不能超过进价的，
∴，
∴，
即每件头盔的售价应为100元，
故答案为：100．
