专题2.22 一元二次方程（挑战综合（压轴）题分类专题）
（专项练习）
【题型目录】
第一部分【综合类】
【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题）
【题型2】根的判别式进行求值与证明综合（3个题）
【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题）
【题型4】根的判别式与函数综合（3个题）
【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题）
【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题）
【题型7】韦达定理与函数综合（3个题）
【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题）
【题型9】营销与函数问题综合（3个题）
第二部分【压轴类】
【题型1】用换元法解可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题）
【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题）
【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题）
【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题）
【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题）
第一部分【综合类】
【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题）
1．（2024·广西梧州·二模）解分式方程：．
2．（22-23九年级下·广西南宁·阶段练习）解分式方程：
3．（21-22九年级下·黑龙江大庆·期中）解分式方程：．
【题型2】根的判别式进行求值与证明综合（3个题）
4．（23-24九年级上·河南周口·开学考试）已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不等的实数根；
（2）已知方程的一个根为，求代数式的值．
5．（23-24八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程．
（1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根；
（2）当时，请判别方程根的情况．
6．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
（1）当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
（2）若是这个方程的一个根，求的值和另一根．
【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题）
7．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长
8．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，菱形中，m、n、t分别是菱形的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）填空：①当时，________；②用含m、n的代数式表示_______；
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根．
9．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形的两边AB，AD的长是己知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形是菱形？求此菱形的边长
【题型4】根的判别式与函数综合（3个题）
10．（20-21九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程．其中、是常数．
（1）若，试判断该一元二次方程根的情况；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在直线上，求的值．
11．（16-17九年级上·四川乐山·阶段练习）已知关于x的方程有两个相等的实数根，试判断直线能否通过点，并说明理由．
12．（20-21八年级下·浙江·期末）关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，且，求n的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，一次函数和．
①求证：一次函数的图象经过点．
②当时，试比较与的大小．
【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题）
13．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
14．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值．
15．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
（1）若，解此方程；
（2）若，求证：此方程至少有一个实数根；
（3）设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题）
16．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
17．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
（1）证明：无论取何值，此方程必有实数根；
（2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值；
（3）若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
18．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？
（2）若，求m的值．
【题型7】韦达定理与函数综合（3个题）
19．（21-22九年级上·广东广州·期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若x＝2是方程的一个根，求另一个根．
（3）在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
20．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于的一元二次方程为．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点的轨迹的解析式；
（3）若无论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上，求与满足的关系．
21．（20-21九年级上·重庆梁平·期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．
（1）求m、n的值；
（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．
【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题）
22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
（1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
（2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
23．（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖．
（1）经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率；
（2）今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润．
24．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【题型9】营销与函数问题综合（3个题）
25．（22-23九年级上·浙江台州·开学考试）某经销商销售一种成本价为元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元．在销售过程中发现销量与售价（元）之间满足一次函数关系，对应关系如表所示．
（1）求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；
（2）若该经销商想要使这种商品获得平均每天元的利润，则售价应定为多少元？
26．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）某商店以20元千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数解析式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售利润达到900元，销售单价应定为每千克多少元？
27．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某超市经销、两种商品．商品每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：
销售单价（元/千克） 25 30 35 40
销售量（千克） 50 40 30 20
商品的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品，免费送1千克的商品．
（1）求商品的每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商品的售价不能低于成本，且不高于成本的，问两种商品的每天销售总利润能否达到440元，若能，则商品当天销售单价应定为多少元？若不能，请说明理由．（总利润两种商品的销售总额的两种商品的成本）
第二部分【压轴类】
【题型1】用换元法解可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题）
28．（2024·广西河池·一模）解方程：．
29．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）对于有理数，用表示不大于的最大整数，请解方程．
【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题）
30．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由．
31．（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是，，且，求．
【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题）
32．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）求的大小；
（3）若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值．
33．（2022·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，过点的直线与轴交于点，线段的长是一元二次方程的两个实数根．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着折线向终点运动，过点作轴的垂线，交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说
明理由．
【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题）
34．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程有两个实数根，其中．
（1）若，求的值；
（2）一次函数的图像上有两点，若，求m的值；
（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积．
35．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点．
（1）求一次函数的零点；
(2)若二次函数的零点为，，A，B两点的坐标依次A（，0），B（，0），如果AB=2，求b的值；
（3）直线的零点为1，且与抛物线（）交于C、D两点，若时，线段CD有最小值，求m．
【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题）
36．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．
（1）点A坐标为________，线段__________．
（2）当矩形的面积为时，求P点的坐标．
（3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．
37．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线交于点P．
（1）当，时，求点P的坐标，并求的度数；
（2）若四边形的面积是，且，试求点P的坐标及直线的关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，将直线向下平移9个单位得到直线，直线交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点F，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页专题2.22 一元二次方程（挑战综合（压轴）题分类专题）
（专项练习）
【题型目录】
第一部分【综合类】
【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题）
【题型2】根的判别式进行求值与证明综合（3个题）
【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题）
【题型4】根的判别式与函数综合（3个题）
【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题）
【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题）
【题型7】韦达定理与函数综合（3个题）
【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题）
【题型9】营销与函数问题综合（3个题）
第二部分【压轴类】
【题型1】用换元法解可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题）
【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题）
【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题）
【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题）
【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题）
第一部分【综合类】
【题型1】一元二次方程与分式方程综合（3个题）
1．（2024·广西梧州·二模）解分式方程：．
2．（22-23九年级下·广西南宁·阶段练习）解分式方程：
3．（21-22九年级下·黑龙江大庆·期中）解分式方程：．
【题型2】根的判别式进行求值与证明综合（3个题）
4．（23-24九年级上·河南周口·开学考试）已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不等的实数根；
（2）已知方程的一个根为，求代数式的值．
5．（23-24八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程．
（1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根；
（2）当时，请判别方程根的情况．
6．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
（1）当这个方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
（2）若是这个方程的一个根，求的值和另一根．
【题型3】根的判别式与几何图形综合（3个题）
7．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）已知关于的方程
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长
8．（22-23九年级上·河南南阳·期中）如图，菱形中，m、n、t分别是菱形的两条对角线和边长，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）填空：①当时，________；②用含m、n的代数式表示_______；
（2）求证：关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根．
9．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知关于x的方程有两个实数根．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形的两边AB，AD的长是己知方程的两个实数根，当m为何值时，平行四边形是菱形？求此菱形的边长
【题型4】根的判别式与函数综合（3个题）
10．（20-21九年级上·福建厦门·期中）已知关于的一元二次方程．其中、是常数．
（1）若，试判断该一元二次方程根的情况；
（2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，且在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点在直线上，求的值．
11．（16-17九年级上·四川乐山·阶段练习）已知关于x的方程有两个相等的实数根，试判断直线能否通过点，并说明理由．
12．（20-21八年级下·浙江·期末）关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，且，求n的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，一次函数和．
①求证：一次函数的图象经过点．
②当时，试比较与的大小．
【题型5】根的判别式与韦达定理综合（3个题）
13．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
14．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值．
15．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题：
（1）若，解此方程；
（2）若，求证：此方程至少有一个实数根；
（3）设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：．
【题型6】韦达定理与几何图形综合（3个题）
16．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）设方程的两根分别为，．若以，的值为对角线长的菱形面积为2，求m的值．
17．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程．
（1）证明：无论取何值，此方程必有实数根；
（2）若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值；
（3）若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
18．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形是菱形？
（2）若，求m的值．
【题型7】韦达定理与函数综合（3个题）
19．（21-22九年级上·广东广州·期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
（2）若x＝2是方程的一个根，求另一个根．
（3）在（1）的条件下，试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1，3），并说明理由．
20．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．已知关于的一元二次方程为．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求衍生点的轨迹的解析式；
（3）若无论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图像上，求与满足的关系．
21．（20-21九年级上·重庆梁平·期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．
（1）求m、n的值；
（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．
【题型8】增长率问题与营销问题综合（3个题）
22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
（1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
（2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
23．（23-24八年级下·重庆江北·期末）为传承端午文化，2024年的端午节期间全国各地举行了丰富多彩的赛龙舟活动．某商家以每套75元的价格购进一批龙舟训练比赛服装，定价每套120元进行售卖．
（1）经统计，3月份该服装销售量为256件，5月份该服装销售量为400件．求该服装销售量的月平均增长率；
（2）今年端午节在6月份，此段时间龙舟比赛服的销量将有大幅提升，但端午节过后销量又会下滑，为了在6月份端午期间扩大销量减少库存，商家决定对龙舟比赛服进行降价促销．经过调研，在5月份的销售数量基础上每降价5元，销量将提高15件，商家将比赛服的售价定为多少时，才能获得13350元的利润．
24．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【题型9】营销与函数问题综合（3个题）
25．（22-23九年级上·浙江台州·开学考试）某经销商销售一种成本价为元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元．在销售过程中发现销量与售价（元）之间满足一次函数关系，对应关系如表所示．
（1）求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；
（2）若该经销商想要使这种商品获得平均每天元的利润，则售价应定为多少元？
26．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）某商店以20元千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数解析式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售利润达到900元，销售单价应定为每千克多少元？
27．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某超市经销、两种商品．商品每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：
销售单价（元/千克） 25 30 35 40
销售量（千克） 50 40 30 20
商品的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品，免费送1千克的商品．
（1）求商品的每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数表达式；
（2）若商品的售价不能低于成本，且不高于成本的，问两种商品的每天销售总利润能否达到440元，若能，则商品当天销售单价应定为多少元？若不能，请说明理由．（总利润两种商品的销售总额的两种商品的成本）
第二部分【压轴类】
【题型1】用换元法解可化为一元二次方程的分式方程与无理方程（2个题）
28．（2024·广西河池·一模）解方程：．
29．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）对于有理数，用表示不大于的最大整数，请解方程．
【题型2】根的判别式与韦达定理（2个题）
30．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知在关于的分式方程①和一元二次方程②中，、、均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个实数根，，且满足，为负整数时，试判断是否成立，并说明理由．
31．（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是，，且，求．
【题型3】根的判别式、韦达定理解决几何问题（2个题）
32．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）求的大小；
（3）若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值．
33．（2022·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，过点的直线与轴交于点，线段的长是一元二次方程的两个实数根．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿着折线向终点运动，过点作轴的垂线，交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）连接，设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说
明理由．
【题型4】韦达定理解决函数问题（分类讨论思想）（2个题）
34．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程有两个实数根，其中．
（1）若，求的值；
（2）一次函数的图像上有两点，若，求m的值；
（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积．
35．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点．
（1）求一次函数的零点；
(2)若二次函数的零点为，，A，B两点的坐标依次A（，0），B（，0），如果AB=2，求b的值；
（3）直线的零点为1，且与抛物线（）交于C、D两点，若时，线段CD有最小值，求m．
【题型5】一元二次方程与一次函数问题（数形结合思想）（3个题）
36．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．
（1）点A坐标为________，线段__________．
（2）当矩形的面积为时，求P点的坐标．
（3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．
37．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线交于点P．
（1）当，时，求点P的坐标，并求的度数；
（2）若四边形的面积是，且，试求点P的坐标及直线的关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，将直线向下平移9个单位得到直线，直线交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点F，使是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：
方程左右同乘以、去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，，
检验：，则，故是原分式方程的根，
，则，故是原分式方程的增根，
∴原分式方程的解为．
2．
【分析】方程两边同乘以可得一个关于的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
直接开平方，得，
经检验，是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．
3．
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
即，
，
解得，
检验：当时，，
当时，．
∴是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．
4．(1)方程总有两个不相等的实数根
(2)5
【分析】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
（1）找出，及，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把代入方程即可求，然后化简代数式再将代入所求的代数式并求值即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程．
，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）
，
是此方程的一个根，
把代入方程中得到，
把代入得：
原式．
5．(1)，方程另外一个根为
(2)原方程有两个不相等的实数根
【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点，
（1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可；
（2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可；
熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．
【详解】（1）时，若方程的一个根为，
解得：，
得到方程为，解得或，
，方程另外一个根为；
（2），
∴
，
原方程有两个不相等的实数根．
6．(1)
(2)，
【分析】此题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解题的关键是掌握根的判别式与根的个数之间的关系．
（1）求出根的判别式，令根的判别式大于0，解不等式即可；
（2）将代入求出m的值，再解一元二次方程即可．
【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
．
．
（2）是这个方程的一个根，
．
．
原方程为．
解得，，
即方程的另一根是．
7．(1)见解析；
(2)；
【分析】
本题考查一元二次方程根与判别式的关系，解一元二次方程：
（1）根据完全平方公式的非负性判别即可得到证明；
（2）解一元二次方程，再根据周长公式求解即可得到答案；
【详解】（1）证明：由题意可得，
，
∵，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，
∴由两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程变形为：，
解得：，
∴．
8．(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）由菱形的对角线互相垂直平分得出、的长，再利用勾股定理可得，从而得出答案；
（2）此方程的判别式，结合可得答案．
【详解】（1）解：①菱形中，、、分别是菱形的两条对角线和边长，
当，时，则，，
则，即，
故答案为：；
②由题意知，，
则，
，
故答案为：；
（2）证明：，
这里，，
∴，
∵，
∴，
∴关于x的“菱系一元二次方程”必有实数根．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是掌握菱形的性质、一元二次方程的根的判别式等知识点．
9．(1)见解析
(2)当时，平行四边形是菱形，菱形的边长为
【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案．
【详解】（1）由题意得，
∵，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）∵四边形是菱形，
∴，即，
∴，
∴原方程变为为，
∴，
∴菱形的边长为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，以及菱形的性质等知识，得出m的值是解题关键．
10．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）
【分析】（1）进行判别式的值得到△=m2-4×2n，把m=n+3代入后变形得到△=(n-1)2+8，则利用非负数的性质可判断△＞0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；
（2）利用判别式的意义得到m2-8n=0，再利用关于原点对称的点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得到-n=-m+2，即n=m-2，消去n得到m2-8(m-2)=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：（1）∵m=n+3，且，，，
∴
=m2-4×2n
=(n+3)2-8n
=n2-2n+9
=(n-1)2+8，
而(n-1)2≥0，
∴(n-1)2+8＞0，即△＞0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得△=m2-4×2n=0，
∵点（m，n）关于原点的对称点为（-m，-n），且在直线上，
∴-n=-m+2，即n=m-2，
把n=m-2代入m2-8n=0得m2-8(m-2)=0，
整理得m2-8m+16=0，即，
解得m1=m2=4，
即m的值为4．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11．能，见解析
【分析】本题用的知识点为：一元二次方程有两个相等的实数根，说明根的判别式为0，在直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
方程有两个相等的实数根，则，据此算出的值，得到直线解析式，看当时，是否等于4．
【详解】解：∵有两个相等的实数根，
，
，即，
，
直线方程，
当时，，
在直线上．
12．（1）；（2）①见解析；②当时，，当时，，当时，．
【分析】（1）将代入方程，根据方程有两个不相等的实数根，得出，代入解不等式即可；
（2）①首先根据方程有两个相等的实数根，得出，即，将代入一次函数，结合，即可证明；②设，根据题目，讨论的符号即可得出结论．
【详解】解：（1）将代入方程得，，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得，；
（2）①证明：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
∴，
当时，
代入一次函数得：
，
故一次函数的图象经过点；
②设，
∵，
∴，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的情况求参数范围以及一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根的情况所对应的的取值范围．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程无实数根，．
13．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：；
（2）解：∵方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
（1）根据所给方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】（1）解：因为关于x的方程有实数根，
当时，方程为，
此时方程有实数根，
故符合题意．
当时，
此方程为一元二次方程，
则，
解得，
综上所述，k的取值范围是：；
（2）因为该方程有两个实数根，
所以此方程为一元二次方程，
则且，
因为该方程的两根为和，
所以，，
因为，
所以，
则，
解得，
经检验，符合题意，
所以k的值为．
15．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程．
（1）将代入，利用配方法求解方程即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明；
（3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论．
【详解】（1）解：，
原方程为，
解得：；
（2）证明：中，
，
，
，
，
，
此方程至少有一个实数根；
（3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为，
，
，
，
即，
．
16．(1)见详解
(2)m的值为3
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式的符号即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，又由菱形的面积为，即可求出m的值．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：根据根与系数的关系可得，
∵菱形面积为，
∴，
解得，
所以m的值为3．
17．(1)见解析
(2)
(3)的周长为14或16
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理及等腰三角形的定义，分类讨论；熟记相关结论是解题关键．
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
（2）若一元二次方程的两个根为，则．
据此即可求解．
（3）分类讨论：①若为底边，②若为腰，两种情况，即可求解；
【详解】（1）证明：，
，，，
，
∴方程必有实数根．
（2）解：设，，由根与系数的关系得：
，．
由斜边的长为5，结合勾股定理得：，
∴
，
∴，
∴，．
当时，，；当时，，．
∵，，
∴．
（3）解：①若为底边，则，即方程由两个相等的实数根，
即，解得：，
把代入方程得：，
解得：，即．
∴．
②若为腰，则或，
把代入方程得：，解得：，
当时，方程为：，解得：，．
∴．
综上：的周长为或．
18．(1)当时，四边形为菱形
(2)m的值为1
【分析】（1）由邻边相等的平行四边形为菱形，得出根的判别式等于0，求出m的值即可；
（2）根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，平行四边形ABCD是菱形，
∵、的长是关于x的方程的两个实数根，
，即，
解得：，
∴当时，四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，
，，
∵，
，即，
整理得：
解得：，，
，
∴不合题意，
∴m的值为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键．
19．(1)且
(2)
(3)能，理由见解析
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，以及根的判别式进行判断即可
（2）根据方程的解的定义求得，进而根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；
【详解】（1）关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0有两个实数根，
则，
a的取值范围为：且
（2） x＝2是方程的一个根，
解得
设另一根为，则
另一个根为
（3）若y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1，3），
则
解得
且
y＝（2a﹣3）x﹣a+5能经过点A（﹣1，3），
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，根的判别式，一函数的性质是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）y=x+2；（3）．
【分析】（1）由根的判别式解题；
（2）用公式法解得的两个根，即可得到点M的坐标，再根据点M的横坐标与纵坐标解题即可；
（3）先整理，得到直线经过定点，即关于的方程有两个根，再根据根与系数的关系列式子，再整理解题即可．
【详解】解：（1）
不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）
，，
衍生点的轨迹的解析式；y=x+2；
（3）解：
直线经过定点
关于的方程有两个根
由根与系数的关系式得，
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，学会用转化的思想解题是关键
21．（1）m＝4，n＝8；（2）y＝﹣2x+4；（3）存在，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）
【分析】（1）当x=2时，方程为22-12+n=0，解得n=8，则2+m=6，即可求解；
（2）用待定系数法即可求解；
（3）分AB是斜边、AB是直角边两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：（1）当x＝2时，方程为22﹣12+n＝0，解得n＝8，
∵2+m＝6，
∴一元二次方程为x2﹣6x+8＝0的另一个根m＝4．
∴m＝4，n＝8；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），则，解得，
∴直线AB的解析式：y＝﹣2x+4；
（3）存在，理由：
直线AB的图象如图：
第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形；
第二种：设AB是直角边，显然∠BAP≠90°，
则点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴．
设P的坐标为（x，0），
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，OP＝﹣x，
∴BP2＝OP2+OB2＝x2+42，AB2＝OA2+OB2＝22+42，AP2＝（OA+OP）2＝（2﹣x）2．
∵AP2＝BP2+AB2，
∴x2+42+22+42＝（2﹣x）2，
解得x＝﹣8，
∴当点P的坐标为（﹣8，0），△ABP是直角三角形，
∴综上，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
22．(1)
(2)元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，
（1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，
∴月销售量为：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元．
23．(1)该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为
(2)商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据3月份的销售量为256件，5月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设该服装售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，根据获得13350元的利润，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可．
【详解】（1）设该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为，则5月份的销售量为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该服装3月份到5月份销售量的月平均增长率为；
（2）设该服装售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：商家将比赛服的售价定为105元时，才能获得13350元的利润．
24．(1)20%
(2)降低 20 元
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键：
（1）设月平均增长率是 x，根据题意列一元二次方程求解；
（2）设售价应降低y 元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，依题意得：，求解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率是 x，依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是 20%．
（2）设售价应降低y 元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，整理得：，
解得：．
又∵要尽量减少库存，
∴．
答：售价应降低20 元．
25．(1)
(2)元
【分析】本题考查一次函数、实际问题与一元二次方程，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，
（1）根据一次函数过可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式；
（2）根据总利润为元列方程解答即可．
【详解】（1）解：（1）设关系式为，把，代入得：
，
解得．
故与的之间的函数关系式为，
通过验证，满足上述关系式，
因此与的之间的函数关系式就是．
的取值范围为：．
（2）根据题意得：，
解得：，（舍去）．
答：售价应定为元．
26．(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程在利润问题中的应用；
（1）由图象得经过，，设，用待定系数法，即可求解；
（2）由销售利润每千克利润销售量，列方程，即可求解；
掌握待定系数法，找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：①当时，
；
②当时，
设，由图象得经过，则有
，
解得：，
；
综上所述：；
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得，
答：销售单价应定为每千克元．
27．(1)与之间的函数表达式为
(2)两种商品的每天销售总利润不能达到440元，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确列出方程．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）依题意可确定x的取值范围，然后利用每件的利润乘以销售量可得总利润，列出方程进行计算即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：，
解得：，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：不能，理由如下：
由题意知，，
，
，
整理得：，
，
解得：，
答：两种商品的每天销售总利润不能达到440元．
28．
【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解．
【详解】解：设，则，
原方程变为，
去分母得：，
解得或．
当时，去分母得：，
解得：；
当时，去分母得：，
解得：或，
检验：当时，，当或时，，
∴分式方程的解为．
29．或
【分析】由表示不大于的最大整数，得出是整数，且，进而得到是整数，得到关于k的不等式，并列举出所有可能，得到列表的结果，总结出符合要求的答案，即可求解．
【详解】解：∵方程左边的第、项都是整数，
∴是整数．
注意到，
代入方程，得到，
．
∴是整数，是的倍数．
令，是整数，
代入得，
即
其中，对于有理数，有．
∴，即
∴．
当取不同整数时，的情况如下表：
观察表格得，的可能值是和，相应的和．
代入验算得到或符合题意．
综上，或．
【点睛】此题主要考查了取整函数的性质以及换元法解一元二次方程，假设3y=10k，k是整数，得出的取值范围是解决问题的关键．
30．(1)且，；
(2)成立，见解析
【分析】本题考查解分式方程，一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式．
（1）分式方程的根是非负数，即，得到，再利用一元二次方程的定义得到，据此求解即可；
（2）一元二次方程的二次项系数的值不为0，一元二次方程的两根为、，则，，本题中是，是，是．利用根与系数的关系和判别式大于等于0，列出方程和不等式组，进行运算即可．
【详解】（1）解：解分式方程①得．
方程①的根为非负数，
，解得且．
又一元二次方程中，，所以．
综上所述可知且，；
（2）解：成立．理由如下：
是负整数，且，2，
．
方程②有两个实数根，，
．
化简，得，
将代入，得，
，③，
△④，
把③代入④得，
整理，可得．
31．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系以及勾股定理的应用，熟练掌握根与系数关系是解题的关键．
（1）先把方程变为一般式，得到，根据勾股定理，即可得出，即可证明结论；
（2）由，得出，根据根与系数的关系得出，结合化简得到，再代入得出，即得答案．
【详解】（1）证明：化简一元二次方程得，，
，
a，b，c是的三条边，
，，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根是，，
，，
，
，
即，
，
，
，
化简得，
，
，
．
32．(1)
(2)
(3)，此种情况下面积的最小值为
【分析】（1）作轴于，先求出，再根据勾股定理求出即可表示出点的坐标；
（2）连接，证明，进一步得出结果；
（3）先根据题意且为整数求出的值，再设，用表示出的面积，再利用配方法和平方式的非负性求出其最小值．
【详解】（1）解：如图，作轴于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：设方程两个根为，，
，
，
，
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时（舍去），
当时，
此时（舍去），
综上所述，，
此时，，
，
连接，
由（2）证得，
，
，
，
过作于，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过作交的延长线于，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
点在线段上且不与、重合，
，
，
，
，，
当时，有最小值，为，
，此时面积的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程根与系数的关系、配方法等知识点，灵活运用这些知识点解决问题是解题的关键．
33．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）解一元二次方程求得点，的坐标，采取待定系数法可求得直线的解析式；
（2）分类讨论当点在边上时，先求的运动时间的范围，再利用相似三角形的性质求得的长度；当点在边上时，先求的运动时间的范围，利用等腰三角形性质求得的长度，用三角形面积公式即可；
（3）先讨论三角形的腰为哪两条边，再列出方程进行计算．
【详解】（1）解：解方程，得．
，
．
点的坐标为，点的坐标为．
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为．
（2）∵，
∴由勾股定理，得，．
当时，，
，
，
，
，
，
；
当时，．
，
，
是等腰三角形．
．
．
综上所述，
（3）∵，
∴直线的解析式为，
设，则，
∵，
∴，
当时，则有解得或（与C重合，舍去），此时点的坐标为；
当时，则有解得或，此时点的坐标为或；
当时，则有解得，此时点的坐标为；
综上所述，存在．点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程求解，待定系数法求一次函数方程，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质求三角形的面积，明确动点的分段运动特点，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．
34．(1)
(2)
(3)该直角三角形的面积为30或24
【分析】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“”，根与系数关系“”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；
（1）将代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到，将转化即可求解；
（2）根据点在函数图像上，得出，再根据根与系数关系得到，根据即可求解；
（3）根据直角三角形两直角边为整数，得出，令(为正整数)，得出，又，然后分三种情况取值即可解答；
【详解】（1）当时，方程为，
，
，
即；
（2）将代入可得，
又，
故，
，
即，，
，
，
，
；
（3）∵直角三角形两直角边为整数，
为平方数，
不妨令(为正整数)，
，
，
，
当①∴，
解得（不合题意舍去）；
当②，
解得，
∴方程，
，则斜边为13，
即；
当③，
解得，
∴方程，
，则斜边为10，
即，
综上所述：该直角三角形的面积为30或24．
35．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）直接根据函数零点的定义解答即可；
（2）利用函数零点的定义求得，，再根据AB=2利用两点间距离公式代入即可求得；
（3）先利用零点定义求得，联立直线与抛物线求得交点坐标，再结合线段CD有最小值，分三种情况求解即可．
【详解】（1）解：对于一次函数，
令，则，解得，
∴一次函数的零点是；
（2）当，则，
解方程得：
∵，
∴
即，
解得
（3）∵直线的零点为1，
∴，
∴．
联立直线与抛物线解析式，消去y，得：，
整理得：，
设方程的解为则：
∴，
∴
∵线段有最小值，知：最小值为3．
令，得，
令，得：，S的最小值为9．
分以下三类讨论：
①若，即：时，时，，
∴，
∴（舍）或．
②若，即：时，时， ，无解．
③若，即：时，时，，
∴，
∴（舍）或．
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数综合题、根的判别式以及解一元二次方程，理解函数零点的定义是解题的关键．
36．(1)；4
(2)点的坐标为，或，．
(3)点的坐标为，即．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点、的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出线段的长度；
（2）由点在线段上可设出点的坐标，再利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式，代入求出值，将其代入点坐标中即可得出结论；
（3）假设存在，根据菱形的性质可得出为等腰三角形，结合的度数即可得出为等边三角形，进而可得出点的坐标，再根据菱形的性质分别以、、为对角线找出点的坐标，此题得解．
【详解】（1）当时，，
；
当时，，
，．
．
故答案为：；4．
（2）设点的坐标为，，
．
当时，有，
解得：，．
点的坐标为，或，．
（3）假设存在．
以点，，，为顶点的四边形为菱形，
为等腰三角形，
，，，
，
为等边三角形．
点为线段的中点，
点．
以点，，，为顶点的四边形为菱形分三种情况（如图所示）
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即；
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即；
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、矩形的面积、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标；（2）利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式；（3）分以、和为对角线三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．
37．(1);
(2)；
(3)存在；，
【分析】（1）根据题意建立二元一次方程组，求解即可得出点P的坐标，令和求出一次函数与x、y轴的交点坐标，从而可得是等腰直角三角形，即可求出结果；
（2）由（1）可知，点P的坐标为：，根据，可得，再由，可得，即，从而求得，，即可求得点P的坐标和直线的解析式；
（3）根据题意可得直线l的解析式为，由是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，可得、，再根据点F在坐标轴上进行分类讨论即可．
本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与x、y轴的交点、等腰直角三角形的性质及解一元二次方程、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：将代入直线方程，
并组成方程组
解得：
∴点P的坐标是
∵一次函数的图像交x轴于点C，交y轴于点D，
∴时，；时，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：过点P作于点G，
由（1）可知，点P的坐标为：，则，
∵一次函数交x轴于点A，交y轴于点B，
∴时，，即，时，，
∴，即，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
又∵，，
∴，即，
∴，解得（舍）或，
∴，
∴，，
∴点P的坐标为：，
∴直线的解析式为：；
（3）解：∵直线向下平移9个单位得到直线l，
∴直线l的解析式为：，
当点F在x轴上，如图2，过点E作轴于点H，过点P作轴于点K，
∵是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设点E的坐标为：，点F的坐标为：，则，，
由（1）可知点，则，
∴，解得：，
∴点F的坐标为：；
当点F在y轴上时，如图3，过点P作轴于W，过点E作于点S，
∵是以为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
由（1）可知点，则，
设点E的坐标为： ，点F的坐标为：，则，，
∴，解得，
∴点F的坐标为：．
