专题2.9 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
1. 一元二次方程根的判别式
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
【知识点二】一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况
【例1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) (2) (3)
【变式1】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】不解方程，判断方程的根的情况
【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围
【例2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围．
【变式1】（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ．
【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明
【例3】（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论．
（1）方程一定有实数根，请你加以证明；
（2）方程有一个根是固定数值，请你说出这个根______，并加以证明．
【变式1】（22-23九年级上·河南平顶山·期中）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【变式2】以m= 为反例，可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题（写出一个m值即可）．
【题型4】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值
【例4】（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)； (2)．
【变式1】（23-24九年级上·四川达州·期末）设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．10 D．11
【变式2】（2024·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【题型5】利用一元二次方程的根与根与系数关系求代数式的值
【例5】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：，且，求的值．
【变式1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2013 B．2012 C．2011 D．2010
【变式2】（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
【题型6】根的判别式与根与系数关系的综合
【例6】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值．
【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A．或4 B． C． D．或1
【变式2】（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【题型7】根的判别式与根与系数关系的几何应用
【例7】（22-23九年级上·河南信阳·阶段练习）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
（1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
【变式1】（20-21九年级上·福建泉州·期中）如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【变式2】（20-21九年级上·四川眉山·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【例2】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
拓展延伸
【例1】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．
（1）试判断的形状；
（2）若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？
【例2】（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是，，且，求．专题2.9 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
1. 一元二次方程根的判别式
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；
（2）方程有两个相等的实数根=0；
（3）方程没有实数根﹤0.
【知识点二】一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况
【例1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况：
(1) (2) (3)
【答案】(1)方程有两个相等的实数根， (2)方程没有实数根，(3)方程有两个不相等的实数根．
【分析】对于一元二次方程，当时，方程存在两个不等的实数根，当时，方程存在两个相等实数根，当时，方程无实数根，首先将已知方程化为一般式，求得其判别式与0比较，结合上述即可求解．
解：（1）的一般形式为；
，
故方程有两个相等的实数根．
（2）原方程化为一般形式为，
，
故方程没有实数根．
（3）化为一般形式为，
，
所以此方程有两个不相等的实数根．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是关键．
【变式1】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，利用判别式的取值范围进行判断即可．
解：A、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、，，方程没有实数根，符合题意；
D、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：C．
【变式2】不解方程，判断方程的根的情况
【答案】无实数根
【分析】根据△＞0时，方程有两个不等实数根；△=0时，方程有两个相等实数根；△＜0时，方程无实数根，可得结论．
解：由方程得:
∵△=-4 ＜0，
∴方程没有实数根．
故答案为无实数根
【点拨】本题考查的知识点是二次方程根的个数与△的关系，难度不大，属于基础题．
【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围
【例2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为．
注意分类讨论，该方程可能为一元一次方程或者一元二次方程，计算出根的判别式，令其大于等于，解出的取值范围，再要注意二次项系数不能为．
解：当，
，
此时为一元一次方程，且有实数根，
当，即时，
关于的方程有实数根，
，
解得：，
且．
综上所述，当方程有实数根．
【变式1】（2024·广东东莞·三模）若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求一元一次不等式的解集，根据，有两个不相等的实根即可列出bds不等式；再根据不等式求解集的方法即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的关系是解题的关键．
解：∵方程有两个不相等的实根，
∴，且，
∴且，
故选：A ．
【变式2】（23-24八年级下·湖南长沙·期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了根的判别式，根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可．
解：，
，，，
，
整理得：，即
或，
故答案为：或．
【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明
【例3】（23-24九年级上·福建漳州·期中）某班学习小组研究关于x的一元二次方程时，组员将k取不同值进行研究，发现无论k为何值，都有以下结论．
（1）方程一定有实数根，请你加以证明；
（2）方程有一个根是固定数值，请你说出这个根______，并加以证明．
【答案】(1)见解析 (2)2，见解析
【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是：
（1），据此可得答案；
（2）将方程变形为，根据有一个根是固定数值，得到不含k的项，即，可得的值，把代入原方程，判断两边是否相等即可．
解：（1）依题意得：
，
无论为何值，方程一定有实数根；
（2），
则
∵方程有一个根是固定数值，
∴，则，
把代入原方程，
左边，
时，方程左边右边，
无论为何值，方程有一个根是固定数值．
故答案为：2．
【变式1】（22-23九年级上·河南平顶山·期中）已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可．
解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式2】以m= 为反例，可以证明命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0必有实数根”是错误的命题（写出一个m值即可）．
【答案】2
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可做出判断．
解：∵方程x2+x+m=0，必有实数解，
∴△=1﹣4m≥0，
解得：m≤，
则命题“关于x的一元二次方程x2+x+m=0，必有实数解．”是假命题．则可以作为反例的是m=2，
故答案为2．
【点拨】此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键．
【题型4】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值
【例4】（23-24九年级上·河南周口·期末）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)10； (2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，能根据根与系数之间的关系解决相关问题．
（1）分析题意，先得出和的值，把原式变形为，再代入求值，就可得出答案．
（2）把原式变形为，再代入求值，就可得出答案．
解：（1）根据根与系数的关系得，
；
（2）．
【变式1】（23-24九年级上·四川达州·期末）设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论．
解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则．
故选：B．
【变式2】（2024·湖北十堰·二模）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：3
【题型5】利用一元二次方程的根与根与系数关系求代数式的值
【例5】（2024九年级上·江苏·专题练习）已知：，且，求的值．
【答案】3
【分析】本题考查根与系数的关系，分式的值等知识．由题意．推出，可得结论．
解：由可知．
两边除以得到，．
即，
又，且，即．
，是方程的两根，
，
．
【变式1】（23-24九年级上·四川绵阳·期末）设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2013 B．2012 C．2011 D．2010
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，确定和是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据一元二次方程的解的定义可得，然后由，即可获得答案．
解：∵是方程的两个实数根，
∴，
把代入方程，
可得，
∴，
∴．
故选：A．
【变式2】（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论．
解：、是方程的两个实数根，
，，，
．
故答案为：4．
【题型6】根的判别式与根与系数关系的综合
【例6】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值．
【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
（1）根据所给方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
解：（1）因为关于x的方程有实数根，
当时，方程为，
此时方程有实数根，
故符合题意．
当时，
此方程为一元二次方程，
则，
解得，
综上所述，k的取值范围是：；
（2）因为该方程有两个实数根，
所以此方程为一元二次方程，
则且，
因为该方程的两根为和，
所以，，
因为，
所以，
则，
解得，
经检验，符合题意，
所以k的值为．
【变式1】（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（ ）
A．或4 B． C． D．或1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案．
解：根据题意可知，该方程为，
∵方程的两实数根的平方和为12，
∴，
∴，
设两实数根为，，则，，
∵
∴，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
故选：C．
【变式2】（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．
解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：1．
【题型7】根的判别式与根与系数关系的几何应用
【例7】（22-23九年级上·河南信阳·阶段练习）已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
（1）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？
【答案】(1) (2)5
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键．
（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根；
（2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，根据根与系数的关系可求出平行四边形的周长．
解：（1）∵平行四边形是菱形，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
当时，方程为，
解得，
即菱形的边长为；
（2）解：∵，的长是方程的两个实数根，的长为2，
∴，2是方程的一个根，
∴，
∴解得，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为5．
【变式1】（20-21九年级上·福建泉州·期中）如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到，与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋BC＝4，m＝AB×BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD DE＝5 2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5 2AB）2＝32，解得AB＝或AB＝（舍去），则BC＝，然后计算m的值．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2 4x＋m＝0的两个实根，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝m，
即AB＋BC＝4，m＝AB×BC，
∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED＝3，
在Rt△ABE中，AE＝AD DE＝BC 3＝8 2AB 3＝5 2AB，
∴AB2＋（5 2AB）2＝32，解得AB＝或AB＝（舍去），
∴BC＝8 2AB＝，
∴m＝××＝．
故选：A．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1x2＝．也考查了矩形的性质和折叠的性质．
【变式2】（20-21九年级上·四川眉山·期中）如图，四边形是边长为5的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，是边上的高，则 ．
【答案】//
【分析】根据菱形的性质得出，，，，求出，根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，变形后代入求出的值，即可得出答案．
解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
对角线，的长度分别是一元二次方程的两实数根，
，，
，，
，
，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
即，
则，，
是边上的高，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论．
解： ∵，
∴，
∴
，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【例2】（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：6．
拓展延伸
【例1】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根．
（1）试判断的形状；
（2）若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？
【答案】(1)是直角三角形； (2)当点出发或时，四边形的面积为．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解；
（2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解．
解：（1）关于的方程有两个相等的实数根，
△，
，
是直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积，
或5，
当点出发或时，四边形的面积为．
【例2】（2023·四川南充·一模）关于x的一元二次方程中，a，b，c是的三条边，其中．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是，，且，求．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系以及勾股定理的应用，熟练掌握根与系数关系是解题的关键．
（1）先把方程变为一般式，得到，根据勾股定理，即可得出，即可证明结论；
（2）由，得出，根据根与系数的关系得出，结合化简得到，再代入得出，即得答案．
解：（1）证明：化简一元二次方程得，，
，
a，b，c是的三条边，
，，
，
此方程有两个不相等的实数根；
（2）方程的两个根是，，
，，
，
，
即，
，
，
，
化简得，
，
，
．
