专题2.6 用公式法求解一元二次方程（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·河北保定·期末）一元二次方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则满足该方程的所有根之和为（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2024九年级上·全国·专题练习）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B．13 C．11或8 D．11和13
4．（2024九年级上·全国·专题练习）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．1 D．
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．和4 D．和4
7．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2024·河南·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D．或1
10．（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是 ．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ．
13．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ．
14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果，则的值是 ．
15．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）若，那么 ．
16．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ．
17．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）关于x的分式方程的解是 ．
18．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程：
(1) (2)．
20．（8分）（2024·广西河池·一模）解方程：．
21．（10分）（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1)（用配方法） (2)（用公式法）
(3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法）
22．（10分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：这个一元二次方程一定有实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．
23．（10分）（22-23八年级上·山西太原·期末）阅读材料，解答问题．
解方程：，
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为：，
解得：，，
或，
，，
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知，求的值．
24．（12分）（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：
(1)；
(2)
试卷第1页，共3页专题2.6 用公式法求解一元二次方程（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·河北保定·期末）一元二次方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程，则满足该方程的所有根之和为（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2024九年级上·全国·专题练习）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B．13 C．11或8 D．11和13
4．（2024九年级上·全国·专题练习）方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根是（ ）
A． B． C．1 D．
6．（24-25九年级上·全国·课后作业）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．和4 D．和4
7．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．（2024·河南·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九年级上·全国·专题练习）已知实数x满足，则代数式的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D．或1
10．（23-24九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）若，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．9或1 D．无法确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·山东泰安·二模）关于y的方程的解是 ．
12．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是 ．
13．（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则 ．
14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如果，则的值是 ．
15．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）若，那么 ．
16．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ．
17．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）关于x的分式方程的解是 ．
18．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程：
(1) (2)．
20．（8分）（2024·广西河池·一模）解方程：．
21．（10分）（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1)（用配方法） (2)（用公式法）
(3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法）
22．（10分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：这个一元二次方程一定有实数根；
（2）设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．
23．（10分）（22-23八年级上·山西太原·期末）阅读材料，解答问题．
解方程：，
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为：，
解得：，，
或，
，，
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知，求的值．
24．（12分）（23-24九年级上·四川内江·期中）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程：
(1)；
(2)
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得，，
故选：．
2．A
【详解】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．
因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．
解：当时，即，原方程化为：，
∵，
∴，（舍去），
∴，
当，即时，原方程化为：，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴．
则．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查的是因式分解法解一元二次方程，先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三角形的周长．
【详解】解：，
，
∴或，
∴．
因为三角形两边的长分别为3和6，
所以第三边的长必须大于3，
故周长．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
所以，．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，由题意得出，求出的值，从而得出方程为，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴方程为，
∴，
∴或，
解得：，，
∴方程的另一个根是，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
或．
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点， 掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键．根据解一元二次方程、一元二次方程跟的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A．由的，故A选项没有实数根，符合题意；
B．由的解为，故B选项有实数根，不符合题意；
C．由方程的解为，故C选项有实数根，不符合题意；
D．由的解为，故D选项有实数根，不符合题意．
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，将看作一个整体，再用换元法解方程求出的值即可，解题的关键是掌握换元法解方程．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
解得；
当时，，即，，原方程没有实数根，故不合题意，舍去；
当时，，即，，故的值为6；
∴．
故选：A．
10．A
【分析】利用换元法解一元二次方程求出，然后可得的值．
【详解】解：令，则可得，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，（舍），
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键．
11．，，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键．
根据因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
或，
解得，．
故答案为：，．
12．
【分析】本题考查了同类二次根式的定义以及一元二次方程的求解，掌握同类二次根式的定义以及一元二次方程的解法是解题的关键．
根据题意列出等式，移项化简，再根据十字相乘法解得的两个值，再将的两个值代入与检验是否是最简二次根式与同类二次根式即可．
【详解】由题意得：
或
解得：，．
当时，
，
．
当时，与不是最简二次根式，
（不合题意，舍去）
当时，
，
，
当时，与是最简二次根式，
．
13．0或6/6或0
【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
整理，得：，
∵方程无解，
∴，
∴或，
当时，，当时，；
故答案为：0或6．
14．或
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握换元法解方程，解分式方程检验，是解决问题的关键．
设，原方程化为，用求根公式解得，换回，检验，即得．
【详解】解：∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
经检验适合原方程，
∴，，
故答案为：或．
15．或1
【分析】本题考查解一元二次方程，令，求出的值后再检验．
【详解】解：，
，
令
，
或，
或，
解得或，
经检验，或都是原方程的解，
故答案为：或1．
16．3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键．
利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
设，则，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
当时，则，
整理得：，
∴，
解得：，，
经检验，，都是方程的解，
∴的值为；
当时，则，
整理得：，
，
∴时，方程无解．
综上所述，的值为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程的解一定要进行检验．方程两边同乘以化成整式方程，再利用因式分解法解一元二次方程可得的值，然后进行检验即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
因式分解，得，
解得或，
经检验，不是原分式方程的解，是原分式方程的解，
故答案为：．
18．/
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设，勾股定理求出，过点作，易得为等腰直角三角形，求出的长，等积法列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
过点作，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
故答案为：．
19．(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再根据解一元一次方程的方法即可求解；
（2）移项得，再提取公因式，最后根据解一元一次方程的方法即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴或，
∴，；
（2）解：
，
∴或，
∴，．
20．
【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解．
【详解】解：设，则，
原方程变为，
去分母得：，
解得或．
当时，去分母得：，
解得：；
当时，去分母得：，
解得：或，
检验：当时，，当或时，，
∴分式方程的解为．
21．(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．
（2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答．
（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．
（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．
【详解】（1）解：
移项，得
配方，得，即
∴
解得，；
（2）解：
∴
解得；
（3）解：
则
解得；
（4）解：
∴
解得．
22．(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】（）利用根的判别式求出即可；
（）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题；
本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∵，
∴，
∴这个一元二次方程一定有两个实数根；
（2）解：原方程可变为，
则方程的两根为，，
∴直角三角形三边为，，；
若为直角三角形的斜边时，则：
，
∴（负值已舍去）；
若为直角三角形的斜边时，则：
，
∴（负值已舍去）；
综上所述，的值为或．
23．4
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，把视为一个整体，设，则原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得即的值．
【详解】解：设，则原方程可化为：，
解得：，，
∵，
则．
24．(1)；；；
(2)，
【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；
（1）设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可；
（2）设，则有，将原方程化为：，解得（舍）或，再代入求解即可；
【详解】（1）设，
原方程化为，
，
解得或，
当时，，
解得或，
经检验，或是方程的解；
当时，，
解得或，
经检验，或是方程的解．
∴原方程的解为：；；；．
（2）设，则有，
原方程可化为：，
解得（舍）或，
，
，
解得或；
经检验：，是原方程的解．
