专题4.18 相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一】“手拉手（旋转）”模型
图1 图2
以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。
【模型二】“十字架”模型
图3 图4
；.
以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”
【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：
如图1，已知在中，分别是上的点，且．
（1）操作发现：求证：．
（2）深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值．
【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在中，，在中，，点D、E分别在、上．
（1）如图1，若，则与的数量关系是 ；
（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是 ．
【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”
【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接，，．则和的数量关系为 ；在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ．
【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形中，等腰直角绕着点旋转，，，则 ．
【变式2】如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ）
A．5:3 B．3:5 C．4:3 D．3:4
【题型3】正方形中的“十字架模型”
【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，证明：；
（2）如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：；
【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，的垂直平分线分别交，边于点F，G，垂足为点H．若，则的长为 ．
【题型4】矩形中的“十字架模型”
【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．
（1）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于，则与的数量关系是：______（填“”“”“”号）．
(2)①如图2，在矩形中，为上的点，连接，过点作于点，交于．小明发现，过作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；
②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______；
③应用上述结论解决问题：在中，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，直接写出的长度．
【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形中，于点F，若则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形中，连接，点E在上，连接，交于点F，且．
（1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）若，，则的值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 ．
【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．
2、拓展延伸
【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现：①当时______；
②当时，______．
(2)拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵，
③ ．
又∵旋转，
∴，
．
(3)用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ．
【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，，将正方形绕点D旋转，直线、交于点P，请直接写出线段与之间的数量关系是______，位置关系是______；
（2）【拓展探究】如图2，矩形，，，将矩形绕D旋转；直线,交于点P，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；
（3）【解决问题】若，矩形绕D旋转过程中当点P与点G重合时，求线段的长．专题4.18 相似三角形几何模型（手拉手与十字架模型）
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【模型一】“手拉手（旋转）”模型
图1 图2
以上就是相似三角形中的“手拉手模型”在复杂的图形中可以由这一线索寻找新的相似形，即一转成双，由一得二（由一对相似三角形得第二对相似三角形）。
【模型二】“十字架”模型
图3 图4
；.
以上就是矩形中的十字架模型，即矩形中两条互相垂直的线段之比等于矩形的两邻边之比。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形中的的“手拉手（旋转）模型”
【例1】（23-24九年级上·山西大同·期末）综合与实践-问题情境：
如图1，已知在中，分别是上的点，且．
（1）操作发现：求证：．
（2）深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值．
【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可证，由此即可求解；
（2）根据旋转的性质可证，由此即可求解；
（3）根据题意可得，，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
（2）解：成立，理由如下：
由旋转的性质得，
∴，即，
由（1）得，
∴，
∴，
∴（1）中的结论仍成立．
（3）解：由（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式1】（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图，一副三角板（，，），，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4种位置不存在相似三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断是解决问题的关键．
解：选项A，∵，，
∴，故选项A不符合题意．
选项B，如图，设与交于点，
∵，，
∴，故选项B不合题意；
选项C，∵，，
∴，故选项C不合题意；
选项D中没有相似三角形，符合题意．
故选：D．
【变式2】（22-23九年级·上海·假期作业）在中，，在中，，点D、E分别在、上．
（1）如图1，若，则与的数量关系是 ；
（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是 ．
【答案】
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．
（２）过点作交于点，求得，再证明列式计算即可．
解：（1）
，
，
．
故答案为：．
（2）过点作交于点，
，
，
，
，
由，
得：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
【题型2】四边形中的的“手拉手（旋转）模型”
【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接，，．则和的数量关系为 ；在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据证明，即可证明；连接．由，得到．在中，，在中，，则，则，即可得到结论．熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴．
如图，连接．
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴，
在中，同理可求，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
【变式1】（2023·广东广州·一模）如图，正方形中，等腰直角绕着点旋转，，，则 ．
【答案】
【分析】连接，证，得，根据等腰直角三角形斜边与直角边的比例关系即可得出比值．
解：如右图，连接，
由题知，四边形为正方形，为等腰直角三角形
，，
，
由题知，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，根据，，证是解题的关键．
【变式2】如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C 点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ）
A．5:3 B．3:5 C．4:3 D．3:4
【答案】C
解：由题意知△BCE绕点C顺时转动了90度，
∴△BCE≌△DCF，∠ECF=∠DFC=90°，
∴CD=BC=5，DF∥CE，
∴∠ECD=∠CDF，
∵∠EMC=∠DMF，
∴△ECM∽△FDM，
∴DM：MC=DF：CE，
∵DF=
∴DM：MC=DF：CE=4：3．
故选C．
【题型3】正方形中的“十字架模型”
【例3】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）如图1，正方形中，点为线段上一个动点，若线段垂直于点，交线段于点，交线段于点，证明：；
（2）如图2，正方形中，点为线段上一动点，若线段垂直平分线段，分别交，，，于点，，，．求证：；
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）过点作交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明；
（2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到，结合（1）问结论即可求证．
解：（1）如图1，过点作交于，则，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是正方形．
，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，，
正方形是轴对称图形，为对角线上一点，
，
又垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各部分定理和性质是本题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·重庆南岸·期中）如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．
过E作于M，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：过E作于M，则，
四边形是矩形，
，
，
沿翻转到处，
，，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得
则，
，
，
，
解得：
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，的垂直平分线分别交，边于点F，G，垂足为点H．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点B作交于点N，先证明，推出，利用勾股定理求出，再证明，利用相似三角形的性质求出，即可求解．
解：过点B作交于点N，如图所示：
∵四边形是正方形，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵H是AE的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
【题型4】矩形中的“十字架模型”
【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．
（1）如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于，则与的数量关系是：______（填“”“”“”号）．
(2)①如图2，在矩形中，为上的点，连接，过点作于点，交于．小明发现，过作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；
②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______；
③应用上述结论解决问题：在中，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)①数量关系为，理由见解析；②矩形两邻边的比；③；
【分析】（1）证明即可；
（2）①证明，由相似的性质即可得到与的数量关系；②由①的解答即可完成；③延长到N，使，分别连接，则可得四边形是矩形，且，由①的结论即可求得长度．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①数量关系为
理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，；
∵，
∴四边形是矩形，
；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
②由①知，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于矩形两邻边的比；
故答案为：矩形两邻边的比；
③如图，延长到N，使，分别连接，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：；
∵，
∴由①的结论知：，
∴．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性．
【变式1】（2024·湖南永州·一模）如图，在矩形中，于点F，若则的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明，可得，可求的长，通过证明，可得，可求的长．
解：∵四边形是矩形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·河北张家口·阶段练习）如图，在矩形中，连接，点E在上，连接，交于点F，且．
（1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）若，，则的值为 ．
【答案】 是
【分析】（1）根据矩形的性质可得，已知即可证得．
（2）根据矩形的性质可得，根据可得，在证明，根据相似比即可解得．
（1）∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：是；
（2），，四边形为矩形，
∴，
，
∴，
∵，
∴ ，
即 ，
∴，
∵，
，
∴，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2021·四川内江·中考真题）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 ．
【答案】/7.5
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即可．
解：如图：
四边形是矩形，
，又，，
，
是的垂直平分线，
，，又，
，
，
，
解得，，
四边形是矩形，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．
【例2】（2022·湖南娄底·中考真题）如图，已知等腰的顶角的大小为，点D为边上的动点（与、不重合），将绕点A沿顺时针方向旋转角度时点落在处，连接．给出下列结论：①；②；③当时，的面积取得最小值．其中正确的结论有 （填结论对应的序号）．
【答案】①②③
【分析】依题意知，和是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS证明， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为，故最小时面积最小，即，等腰三角形三线合一，D为中点时 .
解：∵绕点A沿顺时针方向旋转角度得到
∴，
∴
即
∴
∵
得：（SAS）
故①对
∵和是顶角相等的等腰三角形
∴
故②对
∴
即AD最小时最小
当时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对故答案为：①②③
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .
2、拓展延伸
【例1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
(1)问题发现：①当时______；
②当时，______．
(2)拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵，
③ ．
又∵旋转，
∴，
．
(3)用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ．
【答案】(1)①；② (2)， (3)或
【分析】（1）①先利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义可得，，由此即可得；
②先画出图形，根据旋转的性质可得，，再利用勾股定理可得，然后根据线段和差分别求出，的长，由此即可得；
（2）根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质即可得；
（3）分①点在的延长线上和②点在线段上，利用勾股定理求出，从而可得的长，再根据求解即可得．
（1）解：①当时，
在中，，，，
，
点D，E分别是边BC，AC的中点，，，
故答案为：；
②如图1，
点，分别是边，的中点，，，，
，；
如图，当时，
由旋转的性质得：的大小不变，仍等于，长度不变，仍等于，的长度不变，仍等于；
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：当时，，大小没有变化；
证明：，
，
又∵旋转，
，
，
故答案为：；；
（3）①如图，当点在的延长线上时，
在中，，，
，
，
，
；
②如图，当点在线段上时，
在中，，，
，
，
，
，
综上，线段的长为或．
【点拨】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）【问题发现】如图①，正方形，，将正方形绕点D旋转，直线、交于点P，请直接写出线段与之间的数量关系是______，位置关系是______；
（2）【拓展探究】如图2，矩形，，，将矩形绕D旋转；直线,交于点P，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系；
（3）【解决问题】若，矩形绕D旋转过程中当点P与点G重合时，求线段的长．
【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）的长为或
【分析】（1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系；
（2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系；
（3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解．
解：（1），；
∵四边形，都是正方形，
∴，，．
∴，
∴．
∴．
∴，，
∵，
∴．
∴；
（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．
，．
理由如下：由题意知在矩形、中，
，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，．
∵，
∴．∴．
综上所述：，；
（3）或．
如解图①，
；
如解图2，连接，设，则，
，，
在中，，
，
∴（舍去）．
综上所述，当点与点重合时，线段的长为或．
【点拨】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．
