专题4.22 旋转中的相似三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】旋转相似的基本图形
图1 图2
如图1， ADE ABC，当 ADE沿点A旋转一定的角度时，得到如图2的 ADB和 AEC，那么新的三角形 ADB和 AEC相似吗？简要证明如下：
以上就是旋转相似的几何基本图形结论，在实际几何证明过程中，我们要善于抓住旋转的基本特征，再利用旋转得到新三角形相似这一基本特征，解决实际问题。
【知识点二】旋转相似的一些变式基本图形
图3 图4
图3：当 ADE∽ ABC， ADE绕点A旋转，得到 ADB∽ AEC；
图4：当 ABC∽ EDC， CDE绕点C旋转，得到 CDB∽ CEA；
图5 图6
图5：当△ABC∽△AED， ADE绕点A旋转，得到 ADC∽ ABE；
图6：当△ABD∽△ACE， ADB绕点A旋转，得到 ABC∽ ADE.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形旋转相似
【例1】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
（1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
【答案】(1)，45； (2)和β的大小无变化； (3)△BCE的面积为 或．
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断．
（2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题．
（3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可．
（1）解：如图1中，
∵∠B＝90°，BA＝BC，
∴∠A＝45°，AC＝ =AB，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴BD＝AB，EC＝AC，
∴＝，β＝45°；
故答案为，45．
（2）解：结论：和β的大小无变化．理由如下：
如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．
由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC，
∴＝，∠DAB＝∠EAC，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，
∵∠BOK＝∠COA，
∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°，
∴和β的大小无变化．
（3）解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴，
∵点E分别是边AC的中点，
∴，
当点E在线段AB上时，，
∴S△BCE＝ =，
当点E在线段BA的延长线上时，，
∴S△BCE＝ =．
综上所述，△BCE的面积为 或．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式1】（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连结，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及图形旋转的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）由旋转可知，，再结合，可得，从而可证明；
（2）先根据得出，，进而求出，
利用勾股定理求出根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，，证明，根据相似三角形的性质可得出，，结合，即可求解．
（1）证明：∵旋转，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，即，，
∴，
同理，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
又，，
∴，，
解得，，
∴．
【变式2】如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于
【答案】
【分析】如图所示，连接CE，由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，则CD=AC-AD=1，然后证明△BDC∽△ADE，得到，即，则，由此即可得到答案．
解：如图所示，连接CE，
由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，
∴CD=AC-AD=1
又∵∠BDC=∠ADE，
∴△BDC∽△ADE，
∴，即，
∴，
∴（负值已经舍去），
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【例2】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，，，，以C为顶点的正方形（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且，连接，则正方形旋转过程中，的最小值为 ．
【答案】
【分析】取的中点M．连接，证明得到，进而得到，故当B，D，M共线时，取最小值，利用勾股定理求得即可．
解：如图中．取的中点M．连接，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当B，D，M共线时，取最小值，最小值为．
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证得是解答的关键．
【变式2】如图，，，直线与交于点H，在绕C点旋转过程中，线段的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形斜边与一直角边的比是，先证明 ，得，根据8字形和三角形的内角和定理得出 是等腰直角三角形，利用垂线段最短可得结论．
解：过点B作于G，如图，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴线段的最大值是2．
故选：C．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，旋转变换等，解题的关键有两个：①找出为最大值的位置，②证明两个三角形相似．
【变式2】（22-23九年级上·广东惠州·期末）如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果，那么的长等于 ．
【答案】
【分析】如图：连接，先证可得，进而说明垂直平分线段，即、可得；然后再证，根据相似三角形的性质列式即可解答．
解：如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴垂直平分线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵
∴
∴，
∴．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键．
【题型2】四边形旋转相似
【例3】（2024·福建泉州·二模）如图，在中．，，．由沿方向平移得到，线段由线段绕点A按逆时针方向旋转得到，且点D落在直线上．
（1）求的大小；
（2）求四边形的面积．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）勾股定理求出，由旋转得到，则，再由平移求出，即可得到的大小；
（2）证明四边形是平行四边形，再证明，则，求出，则，利用平行四边形面积公式求出答案即可．
（1）解：∵在中．，，．
∴，
∵线段由线段绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴
∴，
∵由沿方向平移得到，
∴
∴，
∴；
（2）∵由沿方向平移得到，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴四边形的面积．
【点拨】此题考查了相似三角形的判断和性质、勾股定理、平移的性质、旋转的性质、平行四边形的判定， 求出和证明是解题的关键．
【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，从而得到，根据相似三角形的判定方法得到，则勾股定理可求得的长，从而可得到的值．
解：由题意知绕点顺时转动了90度，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质定理．
【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接，，．则和的数量关系为 ；在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据证明，即可证明；连接．由，得到．在中，，在中，，则，则，即可得到结论．熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
解：∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴．
如图，连接．
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴，
在中，同理可求，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例】．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．
【答案】5
【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．
解：过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵ ，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【点拨】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2、拓展延伸
【例】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）点是坐标轴上的一个点，若为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的所有点的坐标；
（3）如图，以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，当绕点旋转时，的值是否发生变化？若不变；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．
【答案】(1)；(2))或或；(3)不变，值为．
【分析】()由两点的坐标利用待定系数法可求得直线的解析式；
()分别过两点作的垂线，与坐标轴的交点即为所求的点，再结合相似三角形的性质求得的长即可求得点的坐标；
()过分别作轴和轴的垂线，垂足分别为, 可证明可得到，从而可把 转化为，再利用线段的和差可求得．
（1）解：设直线的解析式为，
∵点，在直线上，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵是以为直角边的直角三角形，
∴有或，
当时，如图，
过作的垂线，交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，
则，
∴，，
∴，
，
∴，
由（）可知，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
，
即 ，
解得，
；
当时， 如图,过作的垂线，交轴于点，
设直线交轴于点，则由()可知，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
，
即，
解得，
∴，
综上可知点的坐标为)或或；
（3）不变，理由如下：
过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，如图
则，
又∵，
∴，
∴，
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴，
故的值不发生变化，值为.
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质、余角性质、相似三角形的判定和性质，根据题意，正确作出辅助线，构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．专题4.22 旋转中的相似三角形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】旋转相似的基本图形
图1 图2
如图1， ADE ABC，当 ADE沿点A旋转一定的角度时，得到如图2的 ADB和 AEC，那么新的三角形 ADB和 AEC相似吗？简要证明如下：
以上就是旋转相似的几何基本图形结论，在实际几何证明过程中，我们要善于抓住旋转的基本特征，再利用旋转得到新三角形相似这一基本特征，解决实际问题。
【知识点二】旋转相似的一些变式基本图形
图3 图4
图3：当 ADE∽ ABC， ADE绕点A旋转，得到 ADB∽ AEC；
图4：当 ABC∽ EDC， CDE绕点C旋转，得到 CDB∽ CEA；
图5 图6
图5：当△ABC∽△AED， ADE绕点A旋转，得到 ADC∽ ABE；
图6：当△ABD∽△ACE， ADB绕点A旋转，得到 ABC∽ ADE.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】三角形旋转相似
【例1】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
（1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．
【变式1】（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连结，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【变式2】如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于
【例2】（2023·江苏宿迁·模拟预测）如图，，，，以C为顶点的正方形（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且，连接，则正方形旋转过程中，的最小值为 ．
【变式2】如图，，，直线与交于点H，在绕C点旋转过程中，线段的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2】（22-23九年级上·广东惠州·期末）如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果，那么的长等于 ．
【题型2】四边形旋转相似
【例3】（2024·福建泉州·二模）如图，在中．，，．由沿方向平移得到，线段由线段绕点A按逆时针方向旋转得到，且点D落在直线上．
（1）求的大小； （2）求四边形的面积．
【变式1】（2023九年级下·全国·专题练习）如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形绕点B按顺时针方向旋转，连接，，．则和的数量关系为 ；在正方形绕点B按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例】．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．
2、拓展延伸
【例】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为．
（1）求直线的解析式；
（2）点是坐标轴上的一个点，若为直角边构造直角三角形，请求出满足条件的所有点的坐标；
（3）如图，以点为直角顶点作，射线交轴的负半轴于点，当绕点旋转时，的值是否发生变化？若不变；若变化，直接写出它的变化范围（不要解题过程）．
