专题4.17 相似三角形几何模型（一线三等角）（专项练习）
一、单选题
1．（23-24九年级上·广西贵港·期中）如图，已知和均为等边三角形，点在边上，与相交于点，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·山东济宁·二模）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，D、E、F分别是等腰三角形ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，那么AF的长为( )
A．5.5 B．4.5 C．4 D．3.5
4．（2013·海南·中考真题）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为
A． B． C． D．
5．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边上一点，点为左侧一点，，若，，则 ．
7．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ．
8．（2024·重庆·二模）如图，在矩形中，，点为边上一点，且，连接，过点作的垂线交于点，若，则线段的长为 ．
9．（2019·浙江杭州·二模）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ．
10．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为
11．（2024·河南·三模）如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为 ．
12．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点分别在边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
13．（20-21九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
三、解答题
14．（20-21九年级上·江苏南京·期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
15．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：；
（2）连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由．
16．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上．
（1）求证：；
（2）当点移动到的中点时，求证：平分．
17．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持．
（1）若P在线段上，求证：；
（2）设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
18．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
19．（2022七年级下·上海·专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
（3）在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
20．（2024·河南周口·三模）在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接．
（1）如图，当四边形是正方形时， ．
（2）如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）．
（3）在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长．
21．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
22．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积．
（1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵，D是的中点，∴．
∴． （依据：______________________）
又∵，∴．
∴．
∴_____________________．
∴．∴．
又∵，∴G是的中点，∴为中位线．
∴，．∴．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题：
①求证：；
②求出重叠部分（）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________．
23．（2021·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题提出】
（1）如图1，在中，经过点的直线交边于点，已知点到的距离为3，点到的距离为，则的面积为___________；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，，设，当时，求与之间的函数关系式；
【问题解决】
（3）如图3是某果蔬基地的一块正方形田地的示意图，其中米，管理部门计划在边上确定一点，以为边向右侧扩建一正方形试验区，边与边交于点．根据设计要求，将区域设计为智能化种苗培育基地．设的长为区域的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时，智能化种苗培育基地（）的面积．
试卷第1页，共3页专题4.17 相似三角形几何模型（一线三等角）（专项练习）
一、单选题
1．（23-24九年级上·广西贵港·期中）如图，已知和均为等边三角形，点在边上，与相交于点，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·山东济宁·二模）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，D、E、F分别是等腰三角形ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，那么AF的长为( )
A．5.5 B．4.5 C．4 D．3.5
4．（2013·海南·中考真题）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为
A． B． C． D．
5．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边上一点，点为左侧一点，，若，，则 ．
7．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ．
8．（2024·重庆·二模）如图，在矩形中，，点为边上一点，且，连接，过点作的垂线交于点，若，则线段的长为 ．
9．（2019·浙江杭州·二模）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为 ．
10．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为
11．（2024·河南·三模）如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，当点F落在矩形的对角线上时，则的长为 ．
12．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点分别在边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ．
13．（20-21九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
三、解答题
14．（20-21九年级上·江苏南京·期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求证△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
15．（20-21九年级上·江苏扬州·假期作业）如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：；
（2）连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由．
16．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上．
（1）求证：；
（2）当点移动到的中点时，求证：平分．
17．（2024·四川资阳·二模）如图，在中，，，点P、Q分别在射线、上（点P不与C，B重合），且保持．
（1）若P在线段上，求证：；
（2）设、，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
18．（23-24九年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
19．（2022七年级下·上海·专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
（1）如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
（3）在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
20．（2024·河南周口·三模）在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接．
（1）如图，当四边形是正方形时， ．
（2）如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）．
（3）在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长．
21．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
22．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积．
（1）小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：
解：∵，D是的中点，∴．
∴． （依据：______________________）
又∵，∴．
∴．
∴_____________________．
∴．∴．
又∵，∴G是的中点，∴为中位线．
∴，．∴．
(2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题：
①求证：；
②求出重叠部分（）的面积．
(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________．
23．（2021·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【问题提出】
（1）如图1，在中，经过点的直线交边于点，已知点到的距离为3，点到的距离为，则的面积为___________；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，点在边上，点在边上，，设，当时，求与之间的函数关系式；
【问题解决】
（3）如图3是某果蔬基地的一块正方形田地的示意图，其中米，管理部门计划在边上确定一点，以为边向右侧扩建一正方形试验区，边与边交于点．根据设计要求，将区域设计为智能化种苗培育基地．设的长为区域的面积为．
①求与之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时，智能化种苗培育基地（）的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】证明，则，再证明，则，得到，代入数值，即可得到答案．此题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得出 设就有设 根据相似三角形的性质就可以表示出，再根据就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
由折叠可知：与关于对称，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
故选：C．
3．C
【分析】由AE和CE的长可求出AC的长，因为△ABC是等腰三角形，所以AB=AC，若要求AF 的长，可求出BF的长即可．而通过证明△DBF∽△ECD即可求出BF的长，问题得解．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠BFD=180°-∠B-∠FDB，∠EDC=180°-∠FDE-∠FDB，
又∵∠FDE=∠B，
∴∠BFD=∠EDC，
∴△DBF∽△ECD，
∴BD：CE=BF：CD，
∵BD=2，CD=3，CE=4，
∴2：4=BF：3，
∴BF=，
∵AC=AE+CE=+4=，
∴AB=，
∴AF=AB-BF==4，
故选C．
4．C
【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先证明△BCE≌△ACF，再证明△CDG∽△CAF，进而即可求解．
【详解】解：如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．
在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，
∴△BCE≌△CAF（ASA）．
∴CF=BE=3，CE=AF=4．
在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，
∴，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF．
∴，解得．
在Rt△BCD中，∵，BC=5，
∴．
故选C．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，列出比例式是关键．
5．D
【分析】过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．
【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
∵，
∴△BCE∽△ABO，
∴，
∵
∴AB=，
∵AB=2BC，
∴BC=AB=4，
∵，
∴CE=2，BE=2
∴OE=4+2
∴C（4+2，2），
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．
【分析】本题考查矩形的证明与性质和三角形的相似，熟练掌握矩形的证明与性质和相似三角形的性质是解题的关键，过点作，交于，则，再结合题意可得四边形为矩形，从而得到，再根据为正方形，得到，易证，可得，即，进而可得到答案．
【详解】解：过点作，交于，如图：
则，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∵为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，连接，证明，由相似三角形的性质得出，推出，由勾股定理得出，最后再由三角形中位线定理即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
8．5
【分析】设，则，证明，解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
根据勾股定理，得，
解得，
故答案为：5．
9．
【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，同时平分和，
，，
在与中，，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．
10．
【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式
【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，
AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，
即
故答案为：
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．或6
【分析】先证明，得出，，然后分F在和上讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：过F作于H，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
设，则，
当F在上时，如图，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，，
∴；
当F在上时，如图，
同理，
∴，即，
解得，
∴F与C重合，
∴，
综上，的长为或6．
故答案为：或6．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．
12．4或7
【分析】此题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题过程中应注意分类讨论数学思想的运用．
分两种情况讨论，一是，先证明，则，所以，可求得；二是，则，则，根据相似三角形的对应边成比例列方程求得的长即可．
【详解】解：∵，
当时，则
当时，则
综上所述：的长为4或．
故答案为：4或7．
13．3．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．
【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3，
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
14．（1）证明见解析；（2）3．
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论；
（2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，
∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD ；
（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴，
∵△ABP∽△PCD
，
设，则，
∴
经检验：是原方程的解，
所以三角形的边长为：3．
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)点为的中点，理由见解析
【分析】（1）利用“两角法”证明即可；
（2）根据相似三角形对应边成比例解答即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，，
；
（2）点为的中点时，，理由如下：
，
，
，
，
，
，
点为的中点．
【点拨】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角找出;（2）利用相似三角形的性质得出．
16．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义得到，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
∴；
（2）证明：，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
平分．
17．(1)见解析
(2)或
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，动点的函数关系式，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）利用两组对角相等可证；
（2）分点P在线段上、在的延长线上两种情况，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵ ，，
∴，
∵ ，
∴，
∴ ．
（2）解：当点P在线段上时，
∵，，，、，
∴，，
∴，
解得；
当点P在的延长线上时，如图2，
∵，，，、，
∴，，
∴，
解得．
18．【探究】3；【拓展】4或．
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
19．(1)等边三角形
(2)
(3)4
【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现；
（2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可．
【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，
，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
（2）过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，
∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，
∴GC＝2CF＝8，
∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝2，BE＝2，
∴EH＝BE PE÷BP＝，
∴S△GBE＝；
（3）∵在BPE中，∠B＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠FPC＝120°，
∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴，
设BP＝x，则CP＝6﹣x．
∴＝，
解得：x＝2或4．
当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
过E作EH⊥BC于H，
则EH＝BE sin∠B＝2，BH＝2，
∴PH＝0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去；
当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE＝4．
故PE＝4．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；
（1）作交的延长线于，证出，得到，再根据正四边形的性质得到，从而计算出，即，故，再根据，求出，从而可得出结论．
（2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则即可求解；
方法2：如图，连接，，证明，，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解；
（3）作于点，则， 证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当四边形是正方形时，作交的延长线于．
，
，
又，
，
又，且，
，
，，
，
，
．
（2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得，
则，
又，
∴
∴，，
由，得
∴
∴
方法2：如图，连接，，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∴
（3）由（2）知， ，
∵，
∴，
如图所示，连接交于点，
∵，则
∴
∴
如图，作于点，则，
，
得
则
当，时，
当，时，
综上所述，或
21．（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明相似是解题的关键．
（1）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）证明，得出，根据是等腰直角三角形，得出，根据，求出即可．
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
，
又，
，
，
；
（2）结论仍成立；理由如下：
，
又，
，
，
，
又，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
22．(1)等边对等角，
(2)①证明见解析；②
(3)或
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得；由，得到角相等，进而证得，从而求解；
（2）①利用证明即可；
②证明可得出，证明可得出，则点为的中点，利用勾股定理求出，证明，可求出，然后利用三角形面积公式和三角形中线的性质求解即可；
（3）分，，三种情况讨论，然后利用相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，D是的中点，
∴．
∴．（依据：等边对等角）
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴G是的中点，
∴为中位线．
∴，．
∴．
故答案为：等边对等角，；
（2）①证明：∵，，
∴，
又，
∴；
②如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴点为的中点．
在中，．
∵是中点，．
在与中，∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴；
（3）解：当时，过D作于H，
则，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，
则，
同理：，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
当时，过D作于H，过M作于G，
则，
又，
∴，
∴，即，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
综上，的面积是为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质和三角形面积的计算的综合应用．明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
24．（1）15；（2）；（3）①；②．
【分析】（1）由进行求解即可；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
（3）①过点F作，先证明，可得，，再证明，可求得，可得，再根据求解即可；②将代入求值即可．
【详解】（1）点到的距离为3，点到的距离为，
，
故答案为：15
（2）四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
．
（3）①如图，过点F作，
四边形与正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
,
，
，
，
，
，
，
②由题意得，将代入得：
智能化种苗培育基地（）的面积为．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用函数的思想求函数关系式是本题的关键．
