专题4.26 图形的位似（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】位似图形的定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【知识点一】位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
【要点提示】
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【知识点三】平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
【知识点三】作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
【要点提示】位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】位似图形的识别与位似中心的判断
【例1】判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心．
（1）如图（1）所示，，相交于点O，且，；
（2）如图（2）所示，，相交于点O，且．
【变式1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．
【题型2】位似图形相关概念的辨析
【例2】（21-22九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为；
（2）连接（1）中的，则线段的长度是________．
【变式1】（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．是的中位线 D．
【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形，若，则四边形的面积：四边形的面积之比为 ．
【题型3】画已知图形扩大或缩小后的图形并求相似比
【例3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图1，图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，按要求画图．
（1）在图1中，以点为位似中心画一个三角形，使它与的位似比为．
（2）在图2 中，画一个与相似的，要求所画的三角形的顶点在格点上，与的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同．
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式2】已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ．
【题型4】坐标系中位似图形的相似比、周长比、面积比
【例4】（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
（2）证明和相似．
【变式1】（2024·重庆·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9
【变式2】（2022·山西临汾·二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为 ．
【题型5】坐标系中位似图形的对应坐标
【例5】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、．
（1）在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标；
（2）若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标是，B的坐标是，O为位似中心，A点对应的坐标为，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为 ．
【题型6】坐标系中位似图形画位似图形
【例6】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．
（1）在图中画出点P，并写出点P的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标．
【变式1】（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·山西忻州·三模）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2、拓展延伸
【例1】（2021·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ．
【例2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．专题4.26 图形的位似（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】位似图形的定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【知识点一】位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
【要点提示】
位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【知识点三】平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：
图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．
【知识点三】作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
【要点提示】位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】位似图形的识别与位似中心的判断
【例1】判断满足下列关系的两个三角形是否是位似图形？如果是，请指出位似中心．
（1）如图（1）所示，，相交于点O，且，；
（2）如图（2）所示，，相交于点O，且．
【答案】(1)与不是位似图形；（2)与是位似图形，位似中心是点O．
【分析】（1）根据位似图形对应边互相平行进行判断即可得到答案；
（2）根据位似图形的定义进行判断即可得到答案．
解：（1），，
点A与点C，点D与点B为对应点，
与不一定平行，
与不是位似图形；
（2）解：，
，
，
，相交于点O，
与是位似图形，位似中心是点O．
【点拨】本题考查了位似图形，解题关键是掌握位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【变式1】（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可．
解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形；
图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形；
图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形；
图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形，
故选：A．
【变式2】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．
【答案】P．
【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.
解：如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．
故答案为：P．
【点拨】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点就是位似中心.
【题型2】位似图形相关概念的辨析
【例2】（21-22九年级下·全国·单元测试）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）在图中的内部作，使和位似，且位似中心为点，位似比为；
（2）连接（1）中的，则线段的长度是________．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）利用格点图的特点分别取的中点得到，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理求出的长，进而利用位似比求出，由此即可求出的长．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接，由位似图形的性质可知三点共线，
由勾股定理得，
∵和位似，且位似中心为点，位似比为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质和勾股定理，熟练掌握位似图形的画法和性质是解题的关键．
【变式1】（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．是的中位线 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键．
解：∵与是位似图形，位似比为，
∴，，，，
∴点分别是的中点，
∴是的中位线，故选项A、B、C结论正确，不符合题意，选项D结论错误，符合题意，
故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，四边形木框在灯泡发出的光照射下形成的影子是四边形，若，则四边形的面积：四边形的面积之比为 ．
【答案】
【分析】本题考查位似图形的性质，解题的关键是得到对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方．
解：，
，
，
，
，
四边形的面积：四边形的面积为．
故答案为：．
【题型3】画已知图形扩大或缩小后的图形并求相似比
【例3】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图1，图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，按要求画图．
（1）在图1中，以点为位似中心画一个三角形，使它与的位似比为．
（2）在图2 中，画一个与相似的，要求所画的三角形的顶点在格点上，与的相似比不为 1，且与（1）中所画的三角形不相同．
【分析】此题主要考查了位似变换和相似变换，根据题意得出对应边的长是解题关键．
（1）直接利用位似图形的性质结合位似比即可得出对应点位置；
（2）利用相似三角形的性质将对应边乘以，即可得出符合题意的答案．
解：（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求，此时，相似比为．
【变式1】（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形是相似图形，相似比等于位似比求解即可．
解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，，
∴，
∴，又，
∴，
故选：A．
【变式2】已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
解：∵点的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为2：1，
∴点的对应点的坐标为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
【题型4】坐标系中位似图形的相似比、周长比、面积比
【例4】（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
（2）证明和相似．
【分析】本题考查作图 位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．
（1）根据和位似，且位似比为作出图形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．
解：（1）解：如图所示：即为所求，
；
（2）证明：小正方形边长为1，
，，，，，，
，，，
∴，
∴．
【变式1】（2024·重庆·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若和的周长之比为1：3，则（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶9
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的周长比等于相似比求出，进而求出．
解：和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
和的周长之比为，
，
，
故选：B．
【变式2】（2022·山西临汾·二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标.
解：若四边形是边长为6的菱形，.
∵是等边三角形
∴
则
∵，且相似比为3：1
∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
【题型5】坐标系中位似图形的对应坐标
【例5】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、．
（1）在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标；
（2）若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标．
【答案】(1)见解析，、； (2)的坐标为：．
【分析】此题主要考查了位似变换以及位似图形个性质，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）延长、到、长度找到各点的对应点，顺次连接即可，利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案．
解：（1）解：（1）如图所示：即为所求，
点坐标为、点坐标为；
（2）解：线段上有一点，
点P在上的对应点的坐标：．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，线段的端点A的坐标是，B的坐标是，O为位似中心，A点对应的坐标为，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出点坐标．
解： O为位似中心，A对应的坐标为，
以原点为位似中心，在位似中心同侧将线段扩大为原来的2倍后得到线段，
端点的横坐标和纵坐标都变为点的横坐标和纵坐标的2倍，
端点的坐标为．
故选：B.
【变式2】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若点A的坐标为，则点F的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形性质、正方形的性质．掌握位似变换的基本性质是解题的关键．
根据位似变换的性质得到，且，根据，得到，得到，得到，根据相似三角形的性质求出即可得到答案．
解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，
∴，
∵相似比为， ，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴点F的坐标为．
故答案为：．
【题型6】坐标系中位似图形画位似图形
【例6】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上．
（1）在图中画出点P，并写出点P的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标．
【答案】(1)见解析，点P的坐标为． (2)见解析，点的坐标为
【分析】本题主要考查了位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
（1）连接与，交点即为点P；
（2）根据相似比画出图形即可得到答案．
解：（1）解：点P的位置如图所示．
点P的坐标为；
（2）解：如图所示．
点的坐标为．
．
【变式1】（23-24九年级上·福建宁德·期末）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
解：如图所示：位似中心的坐标为．
故选：D．
【变式2】（2024·山西忻州·三模）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．连接，并延长交于一点，交点即为所求．
解：如图，
连接，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为．
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解．
解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是
故选：D．
【例2】（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．
解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
2、拓展延伸
【例1】（2021·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】已知正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，可先证明△OA1B1∽△OA2B2，求出正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；同理可证明△OA2B2∽△OA3B3，求出正方形A3B3C3A4的边长为4=22......由此可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．在正方形A2021B2021C2021A2022中，n =2021，将n的值代入2n－1即可求出该正方形的边长，根据正方形面积公式，即可求出该正方形的面积．
解：∵正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
∵A1B1⊥x轴，A2 B2⊥x轴，
∴，
∴△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形A1 B1C1A2的边长1= 20，
∵△OA1B1∽△OA2B2，
∴，
∴，
∴正方形A2 B2C2 A3的边长为21=2；
同理可证△OA2B2∽△OA3B3，
∴，
∵四边形A2 B2C2 A3是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正方形A3B3C3A4的边长为4=22，
综上，可归纳出规律：正方形AnBnCn Dn+1的边长为2n－1．
∴正方形A2021B2021C2021A2022的边长为：，
∴正方形A2021B2021C2021A2022的面积为：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质、正方形的性质和面积以及图形类找规律，正确找出规律是解题的关键．
【例2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ．
【答案】 或
【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点．
解：∵平面直角坐标系中有正方形和正方形，点和点的坐标分别为，，
∴，，，
（1）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，交轴于点，
点即为两个正方形的位似中心，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，
解得：，
故；
当时，即，解得，即点坐标为，，
两个正方形的位似中心的坐标是：，．
（2）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点，
如图所示：连接，，，并延长交于点，
设所在直线解析式为：，把，代入得：
故，
解得：，
故；
设所在直线解析式为：，把，代入得：
，
故，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得：，
故，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或．
故答案为：，或．
【点拨】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键．
