专题4.28 图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】比例线段定义
在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【知识点二】比例线段的性质
(1)基本性质：；
(2)合比性质： ＝；
(3)等比性质：；
【知识点三】平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，
若l3∥l4∥l5，则，.
【知识点四】平行线分线段成比例推论
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若∥，则，.
【知识点五】黄金分割
点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
【知识点六】相似多边形的性质
（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
【知识点七】相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．
(4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
【知识点八】相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
【知识点九】相似三角形的应用
测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.
【知识点十】常见模型
【知识点十一】位似图形的定义
如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
【知识点十二】位似图形性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
【知识点十三】位似图形的画法：
（1）确定位似中心；
（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；
（3）描出新图形.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用比例基本性质求值（含黄金分割）
【例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【变式2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
【题型2】平行线分线段成比例定理求值与证明（含构造平行线分线段成比例）
【例2】（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．
（1）求证：． （2）若，，，求的长．
【变式1】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式2】（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．
【题型3】探索三角形相似的条件三种判定方法
【例3】（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．
（1）求的值； （2）求证：．
【变式1】（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．
【题型4】相似三角形的性质与判定求值与证明
【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上的动点，E，F分别是，边上的点．
（1）若，且，求的度数；
（2）若，不改变α的值，以D为旋转中心，把按顺时针或逆时针方向适当转动后，和始终保持相似，求α的值．
【变式1】如图，是的高，是的中点，交于于．若则的长为( )
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ．
【题型5】图形的位似
【例5】（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
（2）证明和相似．
【变式1】（24-25九年级上·浙江·假期作业）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ．
【题型6】相似三角形综合（含图形的旋转、平移与折叠）
【例6】（2024·湖南岳阳·二模）综合与实践
问题情境：如图1 ，矩形中，点M是边上一点，分别交， 于点E、F．
（1）探究发现：若，求．
（2）探索研究：如图 2 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M 处，，连接，与交于点 G ．
①求的长；
②连接，若，求的长．
(3)探究拓展：如图 3 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点 M 处，若，求y关于x的函数关系式．
【变式1】（2024·山西太原·三模）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题．
①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题；
②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【变式2】（2023·江苏南京·模拟预测）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．
（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②的长度的最大值为 cm．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求证：；
（2）若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【例2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
2、拓展延伸
【例1】（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ．专题4.28 图形的相似（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】比例线段定义
在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【知识点二】比例线段的性质
(1)基本性质：；
(2)合比性质： ＝；
(3)等比性质：；
【知识点三】平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，
若l3∥l4∥l5，则，.
【知识点四】平行线分线段成比例推论
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若∥，则，.
【知识点五】黄金分割
点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．
【知识点六】相似多边形的性质
（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
【知识点七】相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似.
(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．
(4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
【知识点八】相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
【知识点九】相似三角形的应用
测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.
【知识点十】常见模型
【知识点十一】位似图形的定义
如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
【知识点十二】位似图形性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
【知识点十三】位似图形的画法：
（1）确定位似中心；
（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；
（3）描出新图形.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用比例基本性质求值（含黄金分割）
【例1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
【答案】（1）为或；（2）
【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．
（1）由是，的比例中项，可得，由此求解即可；
（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．
解：（1）∵是的比例中项，
∴
∴，
∴为或；
（2）∵是的黄金分割点，且，，
∴
【变式1】（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果．
解：分两种情况：
①当时，得；
②当时，
则，；
综上所述，k的值为1或．
故选：C．
【变式2】（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
解：设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是黄金矩形，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
故答案为：．
【题型2】平行线分线段成比例定理求值与证明（含构造平行线分线段成比例）
【例2】（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．
（1）求证：． （2）若，，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证；
（2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答．
解：（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，，、是边上的两点，且，点是上的一动点，连接，点是的中点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】取的中点，连接，过点作于点，得是的中位线，连接并延长交于点，可得点的运动轨迹是射线，所以得的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形性质即可解决问题．本题考查了三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，轨迹，解决本题的关键是得到点的运动轨迹是射线．
解：如图，取的中点，连接，过点作于点，
点是的中点，
是的中位线，始终与平行，
连接并延长交于点，
∴
，
点的运动轨迹是射线，
的最小值为的长，
，，是的中点，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：B
【变式2】（2024·四川成都·一模）如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．
解：过点B作交于H，
∴
∴，
∵，E是边上的中点，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，即
∴,
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型3】探索三角形相似的条件三种判定方法
【例3】（2024·北京西城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．
（1）求的值； （2）求证：．
【答案】(1)； (2)证明见解析．
【分析】（）把代入即可求解；
（）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：（1）∵在直线上，
∴，
解得：；
（2）由（）得，
∴所在直线的方程为，
当时，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
又，
∴．
【变式1】（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．
解：设每个正方形网格的边长都为1，
则在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
，，，
∴，
∴，
与的周长之比为：，
故选：．
【变式2】（22-23九年级下·全国·课后作业）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ．
【答案】乙和丁
解：．
【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定．
【题型4】相似三角形的性质与判定求值与证明
【例4】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上的动点，E，F分别是，边上的点．
（1）若，且，求的度数；
（2）若，不改变α的值，以D为旋转中心，把按顺时针或逆时针方向适当转动后，和始终保持相似，求α的值．
【答案】(1) (2)为或时，和始终保持相似．
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的性质；
（1）先求解，再求解，可得，再结合相似三角形的性质可得答案；
（2）分两种情况讨论，由当时，由（1）可得到；当时，可得．可得．
解：（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴分两种情况讨论，
当时，由（1）得；
当时，
则，
∴，
∴．
即为或时，和始终保持相似．
【变式1】如图，是的高，是的中点，交于于．若则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长BC交FE的延长线于点H，推出，通过证明，得出，继而得出，再证明，得出，再证明，从而得出答案．
解：延长BC交FE的延长线于点H，
∵
∴
∴
∴
∵是CD的中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，作出辅助线后多次利用相似三角形的性质得出CH、AE的值是解此题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ．
【答案】/
【分析】先证明，，，可得，，如图，过作，可得，，可得，设，则，再建立方程求解即可
解：∵等腰中，，，N为边上中点，
∴，，，
∵，
∴，，
如图，过作，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
【题型5】图形的位似
【例5】（24-25九年级上·浙江·假期作业）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为．
（2）证明和相似．
【分析】本题考查作图 位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键．
（1）根据和位似，且位似比为作出图形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．
解：（1）解：如图所示：即为所求，
；
（2）证明：小正方形边长为1，
，，，，，，
，，，
∴，
∴．
【变式1】（24-25九年级上·浙江·假期作业）已知和是位似图形．的面积为，的周长是的周长一半．则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似图形的性质，先根据的周长是的周长一半，得出与的相似比为，从而得出与的面积比为，求出结果即可．
解：∵的周长是的周长一半，
∴与的相似比为，
∴与的面积比为，
∴，
故选：A．
【变式2】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，将以坐标原点O为位似中心放大，得到，已知、、，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标．注意根据题意求得其位似比是关键．
由将以坐标原点O为位似中心扩大到，、，即可求得其位似比，继而求得答案．
解：∵、，
∴，
∵将以坐标原点O为位似中心扩大到，
∴位似比为：，
∵，
∴点C的坐标为：，
故答案为：．
【题型6】相似三角形综合（含图形的旋转、平移与折叠）
【例6】（2024·湖南岳阳·二模）综合与实践
问题情境：如图1 ，矩形中，点M是边上一点，分别交， 于点E、F．
（1）探究发现：若，求．
（2）探索研究：如图 2 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点M 处，，连接，与交于点 G ．
①求的长；
②连接，若，求的长．
(3)探究拓展：如图 3 ，矩形中，，将矩形沿直线折叠，E、F分别在边上，点A落在边上的点 M 处，若，求y关于x的函数关系式．
【答案】(1) (2)①；② (3)
【分析】（1）过点E作于点Q，易得，由相似三角形的性质即可求解；
（2）①过点E作于点Q，由翻折性质得，则由（1）的求解过程得 的值，由勾股定理求得，即可求得的值；
②过G点作于点P，由相似三角形性质得，由勾股定理即可求得的长；
（3）连接，过点E作于点Q，由翻折性质得，由（1）知，则有，则可得，从而得，；在中，由勾股定理建立关于x与y的关系式，整理后即可求得y与x的函数关系式．
解：（1）解：如图，过点E作于点Q，则，
在矩形中，，
四边形为矩形，
，
；
，
，
；
，
，
；
（2）解：①过点E作于点Q，如图所示；
矩形沿直线折叠，
；
故由（1）知，；
由勾股定理得，
；
②如图，过G点作于点P；
则，
，
，
，
，
；
在中，由勾股定理即得；
（3）解：如图，连接，过点E作于点Q，
由翻折性质得；
由（1）知，，
，
；
四边形是矩形，
，
；
在中，由勾股定理得,
即
整理得：，
即y与x的函数关系式为．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，动点问题的函数关系式；作出相关辅助线，利用翻折的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
【变式1】（2024·山西太原·三模）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题．
①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题；
②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）是平行四边形，理由见解析 （2）① ②
【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）证明两组对边分别平行即可得到结论；
（2）①连接，由旋转可得，，然后利用勾股定理解题即可；
②过点作于点，先根据三角形的面积得到，求出长，然后利用解题即可．
解：（1）∵是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是平行四边形；
（2）①
如图，连接，
由旋转可得，，
∴，
又∵M是的中点，
∴；
②过点作于点，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：
【变式2】（2023·江苏南京·模拟预测）如图，玻璃桌面与地面平行、桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，在地面上形成的影子为（不计折射），．
（1）在桌面上沿着方向平移铅笔，试说明的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且，，，桌面的高度为．在点O与所确定的平面内，将绕点A旋转，使得的长度最大．
①画出此时所在位置的示意图；
②的长度的最大值为 cm．
【答案】(1）见解析 (2)①见解析；②
【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，勾股定理的实际应用，正确写出比例式，并进行换算是解题关键．
（1）设平移到，在地面上形成的影子为．利用平行相似即可；
（2）①以为圆心，长为半径画圆，当与相切于时，此时最大为．②先证明，再利用勾股定理求出，由，即可求出的长度的最大值．
解：（1）解：设平移到，在地面上形成的影子为．
，
，，，
，，，
，
，
，
沿着方向平移时，长度不变．
（2）解：①以为圆心，长为半径画圆，
当与相切于时，此时最大为．
此时所在位置为．
②，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，（舍去），
，
由①，
，
，
即的长度的最大值为，
故答案为：80．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求证：；
（2）若．
①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由余角的性质可得，，根据，可得；
（2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得；
②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解．
解：（1）证明：，
，
，，
，
；
（2）解：①，理由如下：
设，
，
，
，
，
，
；
②，，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
．
【例2】（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证；
（2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果．
解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设正方形的边长为，则：，
延长交于点，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2、拓展延伸
【例1】（2024·重庆长寿·模拟预测）如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过作于，于，由平分，可得，推出四边形是正方形，，设，则，证明，则，可解得，得，最后根据勾股定理可得解．
解：如图，过作于，于，
∴，，
∵四边形是正方形，，，
∴，，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∵平分，，，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【点拨】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形．
【例2】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ．
【答案】 /45度 /
【分析】通过证明点A，F，C，E四点共圆，可得，可求的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求，，的长，由三角形的面积公式可求解．
解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴点A，F，C，E四点共圆，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，
过点F作，交的延长线于N，交的延长线于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：，
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
