专题4.29 图形的相似（全章专项练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级下·云南·阶段练习）已知与相交于点O，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，在线段上取点，使得，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2024·辽宁本溪·二模）如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过的顶点，且交于交于，若，且，则____________．
A． B．7 C．8 D．
10．（2024·广东湛江·一模）如图，在正方形中，．则下列结论：①；②；③连接，若的面积为，则的长为5．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 .
12．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）已知点是的黄金分割点，若，则的长为 ．
13．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线，已知，，， ．
14．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，D是边中点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；
②以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；
④过点作射线交于点 E：
若四边形的面积是60，则的面积为 ．
15．（10-11九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ．
16．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ．
17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则 ．
18．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在等腰中，，为上一点，，连接，以为边向右作等腰，使，．连接，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，爱思考的小聪学了本节课进行了如下的推理：
，，
，又，
．
你认为小聪的推理正确吗？写出你的观点．
20．（8分）（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长．
21．（10分）（19-20八年级下·山东日照·阶段练习）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．
22．（10分）（2024·浙江杭州·二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
(1)求证：；
(2)当，求的值．
23．（10分）（2024·河南周口·三模）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，．
(1)求旗杆的高度（精确到）
(2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议．
24．（12分）（2024·山西晋城·二模）综合与实践
问题情境：如图（1），正方形边长为6，点为上的一点，延长至点，使，连接，，．
独立思考：（1）请判断线段和的数量关系和位置关系____________________________；
实践探究：（2）如图（2），将绕点逆时针旋转，（1）中的结论是否还成立？请说明理由！
问题解决：（3）如图（3），将绕点逆时针旋转的延长线交于点，交于点．当为的三等分点时，请直接写出的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一．
【详解】解：∵，
∴这幅地图的比例尺为．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值．
【详解】解：∵，
，
．
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定逐一判断可得．
【详解】解：A．若，结合可判定，不能判定与相似；
B．若，结合可得；
C．若，结合可得；
D．若，即，结合可得；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解∶∵，
∴，
∴，
∴，
故选C
5．B
【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出的长，，求出，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可．
【详解】解：根据题意可得：，；
A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似．
C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故答案为：B．
6．A
【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似图形的性质可得，据此可得，即点的坐标是．
【详解】解：∵线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是，
故选A．
7．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．先证明，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A
8．C
【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识．作于点，交于点，则，，所以，，再证明，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，交于点，
∴，
∵，
，
，
，，且，，
，
，，
∵，
，
，
，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．解题的关键是与、与比值的转化．先证明求出、的值，从而得出，的值，再根据相似三角形的性质和判定分别求出的长，相加即可求出的长．
【详解】解：∵，，
，
，
．
同理可得，，
，
，
同事可得：
，
．
故答案为：A．
10．A
【分析】根据正方形的性质得到，，即可证明，进而判断①；证明出，即可判断②；设，则，然后由代数求出或，然后利用勾股定理求出或，即可判断③．
【详解】提示：四边形是正方形，
．
，即，
，
，
，故①正确；
在与中，
，
，故②正确；
设，则，
，
，解得或，
或．
，
或，故③错误．
故选A．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质求解．
11．厘米/12cm
【分析】根据比例中项的性质：比例中项平方等于两外项的积直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵线段厘米，厘米，它们的比例中项为b，
∴，
解得：（厘米），（厘米）（不符合题意舍去），
故答案为：厘米；
12．
【分析】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键．利用黄金比例列出方程解答即可．
【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
14．20
【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角，相似三角形的性质和判定．根据尺规作图的步骤可得：，从而得出，进而判定，得出，即可求出，最后根据四边形的面积是60，求出结果即可．
【详解】解：∵D是边中点，
∴，
根据尺规作图的步骤可得：，
∴，
，
∴，
∴，
∵四边形的面积是60，
∴．
故答案为：20．
15．2或
【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况：
①时，
，
又∵，
∴
解得；
②时，
，
，
而，即
解得．
故的长度是2或
故答案为：2或
16．/
【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标．
【详解】解：，
，
轴轴，
，
，
，
，
，
点，点，
，，
，
，
点在轴的负半轴，
点的坐标是，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．作，证明，推出，由，利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】由两个等腰三角形顶角相等，可得，得到对应边成比例，结合，可得，得出对应边成比例，结合已知条件，通过等量代换，即可求解，本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形与对应边成比例、对应角相等，之间的相互转化．
【详解】解：，，，
，
，
，
又，，，
，
，
，
又，，
，整理得：，
又，
，
，
故答案为：．
19．不正确，见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理，结合题目同学的解答中所得的性质，结合证明三角形相似判定条件，两者相对比，继而可以判断出同学所做的解答是否正确，至此问题得解．
【详解】解：不正确，错误的原因是：
由得出，
而，不能进一步推出．
20．
【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案．
【详解】解：，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，即．
解得，．
21．（1）见解析；（2）CE=.
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵D，E是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴∠ABF=∠DGF，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AB=GD；
（2）∵AB=2，
∴CD=2，DE=1，
∴GE=3，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CG=EG，
∴∠GEC=∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
设CE=x，
则BC=2x，
∴，即，
解得：，（负值舍去）
∴CE=.
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由作图可知，得，由邻补角性质得，由平分，可得，即可得证；
（2）由（1）可得，由相似性质得，再因为，即可求解．
【详解】（1）解：证明：，
，
，
平分，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
．
23．(1)旗杆的高度为；
(2)多次测量，求平均值（答案不唯一）
【分析】本题考查相似三角形的应用．
（1）证明，推出，代入有关数据即可求出的长．
（2）合理即可．
【详解】（1）解：，，
．
，
，
，
，
；
答：旗杆的高度为；
（2）解：多次测量，求平均值（答案不唯一）．
24．（1），（2）成立，理由见详解（3）
【分析】（1）延长至交于点H，利用正方形的性质得出，，利用证明，即可得出，，在利用对顶角相等得出，即可证明，问题得解．
（2）连接，延长至交于点H，交于点G，由旋转的性质可得出，利用证明，即可得出，，在利用对顶角相等得出，即可证明，问题得解．
（3）由（1）（2）可知，证明，利用相似的性质可得出，结合已知条件和利用勾股定理求出，以及，即可求出．
【详解】解：（1）延长至交于点H，如下图：
∵四边形为正方形，
∴，，
又∵点在的延长线上，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即．
故答案为：，．
（2）成立，理由如下：
连接，延长至交于点H，交于点G，如下图：
由旋转的性质可得：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）由（1）（2）可知，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∵，为的三等分点，
∴，，
∴，
∴.
【点拨】本题主要考查了全等的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，正方形的性质，旋转的性质，以及勾股定理等知识，作出辅助线是解题的关键．专题4.29 图形的相似（全章专项练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级下·云南·阶段练习）已知与相交于点O，若，则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，线段是由线段以点为位似中心放大3倍得到的，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·广西贺州·期末）如图，在线段上取点，使得，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（2024·辽宁本溪·二模）如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
9．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过的顶点，且交于交于，若，且，则____________．
A． B．7 C．8 D．
10．（2024·广东湛江·一模）如图，在正方形中，．则下列结论：①；②；③连接，若的面积为，则的长为5．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 .
12．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）已知点是的黄金分割点，若，则的长为 ．
13．（23-24九年级上·上海·期中）如图，直线，已知，，， ．
14．（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，D是边中点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；
②以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；
④过点作射线交于点 E：
若四边形的面积是60，则的面积为 ．
15．（10-11九年级下·黑龙江大庆·阶段练习）将三角形纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，则 ．
16．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ．
17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则 ．
18．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在等腰中，，为上一点，，连接，以为边向右作等腰，使，．连接，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，爱思考的小聪学了本节课进行了如下的推理：
，，
，又，
．
你认为小聪的推理正确吗？写出你的观点．
20．（8分）（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长．
21．（10分）（19-20八年级下·山东日照·阶段练习）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．
22．（10分）（2024·浙江杭州·二模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．
(1)求证：；
(2)当，求的值．
23．（10分）（2024·河南周口·三模）小明在学习了相似以后，尝试用平面镜的反射原理测学校小广场旗杆的高度，如图，是旗杆，是水平地面，M是平放地面的一面平面镜，是眼睛到地面的距离，调整和M的位置，通过镜面反射（法线地面，），当眼睛A正好在平面镜中看到旗杆顶端C时，测出，，．
(1)求旗杆的高度（精确到）
(2)为了减少误差，请提出一个合理化的建议．
24．（12分）（2024·山西晋城·二模）综合与实践
问题情境：如图（1），正方形边长为6，点为上的一点，延长至点，使，连接，，．
独立思考：（1）请判断线段和的数量关系和位置关系____________________________；
实践探究：（2）如图（2），将绕点逆时针旋转，（1）中的结论是否还成立？请说明理由！
问题解决：（3）如图（3），将绕点逆时针旋转的延长线交于点，交于点．当为的三等分点时，请直接写出的长．
试卷第1页，共3页
