专题4.35 添加辅助线构造三角形相似的八种方法（题型梳理与方法分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形相似的方法。
【方法1】作平行线构造三角形相似...........................................1
【方法2】作垂直构造三角形相似.............................................3
【方法3】连接两点构造三角形相似...........................................9
【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似...................................13
【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似.....................................18
【方法6】截长补短构造三角形相似...........................................23
【方法7】作多条辅助线构造三角形相似.......................................27
【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似...........................32
第二部分【题型梳理与方法点拨】
【方法1】作平行线构造三角形相似
【例1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)见解析； (2)的值为定值，理由见解析
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，因为，得证四边形是矩形；
（2）先由矩形的性质得证，则点是的中点．然后证明，代入数值化简，即可作答．
解：（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
在中，，点是的中点，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：的值为定值．理由如下：
四边形是矩形，点为的中点，
，，
，
，
，
，
点是的中点．
如图，过点作的平行线，交于点，
为的中点．
，
，
，
，
，
与的大小无关，即与的大小无关，
当发生变化时，的值为定值．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题的难点在于过点作的平行线，构造相似三角形，从而将线段与之间的关系表示出来．
【变式1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，过点作交于点，证明出，得到是的中位线，根据已知条件及全等三角形的判定即可求出结果．
解：如解图，过点作交于点，
∴
∴
，
∴
∴
是的中位线，
，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
．
故答案选：C．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ．
【答案】
【分析】作交于G，根据平行线的性质和等边对等角得到，得到，，然后证明出，得到，然后求出，，然后根据勾股定理求解即可．
解：如图，作交于G，
，，
，
，
∴，
∵，
∴
∴
，
，点F是的中点，
∴
∴
∴
∴，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
故答案为：．
【点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等边对等角性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
【方法2】作垂直构造三角形相似
【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，连接、，且，求证：；
（2）如图（2），在矩形中，，，、分别是、上的点，连接，过点作，分别交、于点、，且，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理知识点．
（1）利用等角的余角相等证得，利用即可证明；
（2）过点作于点，设，则，在中，由勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可．
证明：（1）四边形是正方形，
，，
，
，，
，
；
解：（2）如解图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
，解得，
，
，，
，，
，
，
，即，
解得，
的长为．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，如图所示，结合角平分线的性质，利用三角形全等的判定得到，进而求出线段长度，再由三角形相似的判定得到，再由相似比求出线段长，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法列方程求解即可得到答案．
解：过点作于点，如图所示：
，则，
是直角三角形，且．
平分．
，
，
，则，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理、角平分线性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
【变式2】（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，点C，E在线段上，，，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为 ．
【答案】/
【分析】过点A作，利用等边三角形的性质求出，，，证明，求出，再证明，求出，利用线段的和差即可求出结果．
解：如图，过点A作，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是通过相似三角形的性质，找到线段的关系，以此求解．
【方法3】连接两点构造三角形相似
【例2】如图， 正方形，点F为中点， 点E为上一点， 满足，设， 则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．连接，根据正方形的性质，得到，设，则，，，由勾股定理得到，再证明，得到，即可求出的度数．
解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
设，
点F为中点，，
，，
，
由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，，
，，
，
，
，
故选：A
【变式1】如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．连接交于，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过，得到，求出，根据，即可得到结果．
解：连接交于，
四边形是菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：C
【变式2】．如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键．
解：连接，
∵，
，
，
，
，
，
点为的中点
∵为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似
【例4】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点，
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）延长交的延长线于，证明，得出，，由题意得出，再由等腰三角形的性质即可得出答案；
（2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，，证明， 得出，结合，即可得证．
解：（1）证明：如图，延长交的延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴．
【变式1】正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】延长，交于点E，利用正方形的性质即可证明，有，则有，进一步证得，，有，结合对称性得，即可求得．
解：如图，延长，交于点E，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵N为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形的边长为2，点M为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点与点P关于直线对称，，
∴，
则．
故选：D．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及对称性，解题的关键是做辅助线和三角形性质之间的转化求解．
【变式2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M、N，过点F作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ， ．
【答案】 3
【分析】延长交延长线于，由正方形的性质，平角的定义推出，即可证明，得到，，得到是等腰直角三角形，求出，的长，由，，即可求出，的长，从而求出的长．
解：延长交延长线于，
是等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：3；．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形，综合应用以上知识点是解题的关键．
【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似
【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键．
过点D分别作于点N，于点H，得和是等腰直角三角形，进而可证，即可解答．
解：如解图，过点D分别作于点N，于点H，
，，
，
，，
和是等腰直角三角形，
，，，，，
，
，
设，则，
，，
，
∵，，，
四边形是矩形，
，
，
又∵，
，
，
，
．
【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】的面积可以分为，，和，所以通过面积关系来列式计算，从而得到关于，的关系式，再有关系式来判断图象．本题主要考查了函数关系式及二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过面积关系推导出函数关系式．
解：如图：作，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴
∵，
，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴
∴
，
∴四边形是正方形，
设线段的长为，
，
连接，如图：
∵
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∵
∴
，
，
即，
∵，
∴开口向上，
当时，则，
即经过点，
故选：C
【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ．
【答案】10
【分析】过点作于点，根据正方形的性质可得，，，再根据同角的余角相等可得，以此即可通过证明≌，得到，，进而得到，易证明∽，根据相似三角形的性质可得，即，由等腰直角三角形的性质可得，则，最后根据勾股定理即可求解．
解：如图，过点作于点，
四边形为边长为6的正方形，
，，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确寻找出全等三角形和相似三角形是解题关键．
【方法6】截长补短构造三角形相似；
【例6】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可．
解：如图，在上截取，在上截取，且，
，，，，，
，，
，且，，
，，
，
，
，
，
，
故选：B
【变式1】（22-23九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ．
①；②；③；④．
【答案】①③④
【分析】由是绕点逆时针旋转得到的，得到，再由矩形的性质得出从而判断①；由，可得，从而判断②；由和，，得出，可以判断③；在线段上作，如图所示，连接，通过证明，得出是等腰直角三角形，可以判断④．
解：是绕点逆时针旋转得到的，
，
，，，
又四边形是矩形，
，
，
即，
，
即，故①正确；
，
，
即是直角三角形，而不是直角三角形，故②错误；
在和中，
，
，
，
，，
，
即，故③正确；
在线段上取并连接，如图，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故④正确；
故答案为：①③④．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似．
【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
解：如图，在上取点G，使，连接，．
沿边翻折到，
，
又，
，，
，
又，
，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，
在中，，
，，
，
即的最小值为．
故选：D．
【方法7】作多条辅助线构造三角形相似；
【例7】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在四边形中，，于F，，，，则线段的长为 ．
【答案】12
【分析】题目主要考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
连接，在上截取，根据全等三角形的判定和性质得出，，设，再由平行线的性质及等量代换确定，得出，过点B作，根据等腰三角形的性质及相似三角形的性质求解即可．
解：连接，在上截取，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，于F，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点B作，
∴BG平分，
∴，
∴，
∵∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：12．
【变式1】（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长．
解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示：
则，，
，，
，
，点为的中点，
，
，
即点为的中点，
，
，，
平分，
，
，
即为等腰三角形，
根据等腰三角形三线合一定理得：，
，
在中，，，
，
，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
．
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键．
【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）中，，是边上的高，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作于点A，过点C作于点C，两条垂线交于点，证明，作的中点N，连接，，得到当点B、C、N在同一条直线上时，最短，得到，即可得到答案．
解：过点A作于点A，过点C作于点C，两条垂线交于点，
，
，，
，
是的高，
，
，
，
，
，
，
作的中点N，连接，，
，
，
当点B、C、N在同一条直线上时，最短．
．
故答案为：．
【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似；
【例8】（22-23九年级下·四川成都·自主招生）在中，，，．点D在边上，，垂足为E，，如图1，将绕点B顺时针旋转，连结，在上方作，的边与交点为F，连接，延长交于点M，如图2，在旋转的过程中，线段的最小值是 ．
【答案】
【分析】由，，，求得，再证明，则，求得，，，作交的延长线于点，连接并延长交于点，交于点，连接、，可证明，得，变形为，进而证明，则，，求得，再证明，则，且，推导出四边形是平行四边形，所以，由，得，求得线段的最小值是，于是得到问题的答案．
解：∵，，，
∴，
如图，∵于点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
如图，作交的延长线于点，连接并延长交于点，交于点，连接、，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值是，
故答案为：．
【点拨】此题重点考查勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ．
【答案】/0.75
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，解方程，解题的关键是正确作出辅助线．
如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，证出，解得．设，则，得出，，设，则，，列出方程即可求解
解：如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，使．
则，
∴，
即，
∴．
设，则，
∴，，，
∴，，
∴．
设，则，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2】（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形的边上的动点，于点F，G在上，且，P是平面内一动点，H是上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，以为斜边构造等腰直角三角形，则以O为圆心，以为半径的圆中的一个锐角圆周角为，过点O作于点Q，过点O作交的延长线于点P，，利用旋转解答即可．
解：连接，根据题意，得
，
∵，，
∴
∴，
以为斜边构造等腰直角三角形，则以O为圆心，以为半径的圆中的一个锐角圆周角为，
根据，得对角互补，
∴G的运动轨迹为以O为圆心，以为半径的圆的红色圆弧，
过点O作于点Q，过点O作交的延长线于点P，
则四边形是正方形，且，
∴，，
取，连接，
∵，，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
将四边形绕点A顺时针旋转，
则，
如图作，
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用，熟练掌握旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用是解题的关键．专题4.35 添加辅助线构造三角形相似的八种方法（题型梳理与方法分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形相似的方法。
【方法1】作平行线构造三角形相似...........................................1
【方法2】作垂直构造三角形相似.............................................2
【方法3】连接两点构造三角形相似...........................................3
【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似...................................4
【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似.....................................4
【方法6】截长补短构造三角形相似...........................................5
【方法7】作多条辅助线构造三角形相似.......................................6
【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似...........................7
第二部分【题型梳理与方法点拨】
【方法1】作平行线构造三角形相似
【例1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，点是的中点，连接，分别过点、点作、的平行线交于点，连接，交于点，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)设，当发生变化时，探究的值是否为定值，并说明理由．
【变式1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，，作交于点E，连接，点F是的中点，则 ．
【方法2】作垂直构造三角形相似
【例1】（23-24九年级上·陕西西安·期中）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，连接、，且，求证：；
（2）如图（2），在矩形中，，，、分别是、上的点，连接，过点作，分别交、于点、，且，，求的长．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，点C，E在线段上，，，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为 ．
【方法3】连接两点构造三角形相似
【例2】如图， 正方形，点F为中点， 点E为上一点， 满足，设， 则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A． B． C．5 D．6
【变式2】．如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似
【例4】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点，
(1)求证：；
(2)如果平分，求证：．
【变式1】正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M、N，过点F作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ， ．
【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似
【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．
【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（ ）
A．B．C． D．
【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ．
【方法6】截长补短构造三角形相似；
【例6】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ．
①；②；③；④．
【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【方法7】作多条辅助线构造三角形相似；
【例7】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在四边形中，，于F，，，，则线段的长为 ．
【变式1】（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为 ．
【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）中，，是边上的高，若，则的最小值为 ．
【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似；
【例8】（22-23九年级下·四川成都·自主招生）在中，，，．点D在边上，，垂足为E，，如图1，将绕点B顺时针旋转，连结，在上方作，的边与交点为F，连接，延长交于点M，如图2，在旋转的过程中，线段的最小值是 ．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ．
【变式2】（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形的边上的动点，于点F，G在上，且，P是平面内一动点，H是上的动点，则的最小值为 ．
