专题4.4 平行线分线段成比例（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】平行线分线段成比例定理
定理：两条直线被一给平行线的截，所得的对应线段成比例.
【要点说明】平行线分线段成比例定理的常见变形图
【知识点二】平行线分线段成比例定理的推论
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例.
【知识点三】“A型图模型”与“8字型图模型”
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用平行线分线段成比例定理求线段的长
【例1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，．
(1)若，，求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1); (2);
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
（1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算；
（2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算．
解：（1），
，
，，，
，
解得；
（2），，
.
，
，
解得．
【变式1】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．
解：∵，
∴
∴,
解得，
故选：B．
【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可．
解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行，
点在数轴上表示的数是，
设点在数轴上表示的数为，
，即，
解得：，
即点在数轴上表示的数为4，
故答案为：4．
【题型2】利用平行线分线段成比例定理求比值
【例2】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可求，，即可求解．
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式1】（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值．
解：∵，
，
．
故选：B．
【变式2】（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型3】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值
【例3】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：．
【分析】本题考查平行线分线段成比例的推论，过点作，交于点，中，根据，可得，得出．中，根据，可得，等量代换可得．
证明：如图，过点作，交于点．
∵是的中线，
∴，
∵中，，
∴，
∴．
∵中，，
∴，
即，
∴．
【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解．
解：过点作交于点，如图，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，D为的中点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，若点F恰好为的中点，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，线段中点的含义，如图，过作，证明与，从而可得答案，熟记平行线分线段成比例是解本题的关键．
解：如图，过作，
∴，
∵为的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∵D为的中点，即，
∴，
∴，
故答案为：
【题型4】通过“中间比搭桥”求线段长或比值
【例4】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：； (2)求证：．
【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可．
（1）证明：由菱形可得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
解：A、，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
与的关系不确定，
不正确，不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
不正确，不符合题意；
C、，
，
，
，
，
正确，符合题意；
D、
，
由可得，
与的关系不确定，
不正确，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
【变式2】．（17-18九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【答案】
【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解．
解：∵，过点作，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【例2】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．
解:∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
设为x，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
得，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知在中，D是上一点，P是上一点．
(1)当D是的中点，若，证明：；
(2)当D是的中点，若，猜想与之间的数量关系；
(3)如果D是上任一点，P是上任一点，若，，猜想与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】（1）过D作交于点E，则利用条件可知是的中位线，是的中位线，利用三角形中位线定理可证得结论；
（2）过D作交于点E，利用平行线分线成比例的性质可得，，可得到其关系；
（3）过D作，交于点E，找到和的关系及和的关系可得到结论．
解：（1）如图1，过D作交于点E，
∵D是的中点，
∴E为中点，
∵，
∴，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
（2）关系式为：，
证明如下：如图2，过D作交于点E，
∵D是的中点，
∴E为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴；
（3）证明如下：
如图3，过D作，交于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，利用条件找到和的关系及和的关系是解题的关键．注意比例性质的应用．
【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键．
解： 如图，连接、，
则，
，，，
，，，，
．专题4.4 平行线分线段成比例（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】平行线分线段成比例定理
定理：两条直线被一给平行线的截，所得的对应线段成比例.
【要点说明】平行线分线段成比例定理的常见变形图
【知识点二】平行线分线段成比例定理的推论
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例.
【知识点三】“A型图模型”与“8字型图模型”
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用平行线分线段成比例定理求线段的长
【例1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，．
(1)若，，求的长；(2)若，求的长．
【变式1】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．12
【变式2】（2024·广东广州·一模）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是 ．
【题型2】利用平行线分线段成比例定理求比值
【例2】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值．
【变式1】（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．
【题型3】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值
【例3】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：．
【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，D为的中点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，若点F恰好为的中点，，则 ．
【题型4】通过“中间比搭桥”求线段长或比值
【例4】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接．
（1）求证：； (2) 求证：．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（17-18九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ．
【例2】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2、拓展延伸
【例1】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知在中，D是上一点，P是上一点．
(1)当D是的中点，若，证明：；
(2)当D是的中点，若，猜想与之间的数量关系；
(3)如果D是上任一点，P是上任一点，若，，猜想与之间的数量关系．
【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ．
