专题4.9 探索三角形相似的条件（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】相似三角形
【要点说明】
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即对应的点写在应对的位置上
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
【知识点二】相似三角形的判定定理
1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
【要点说明】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
【要点说明】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
【知识点三】相似三角形的常见图形及其变换：
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用“两角对应相等，两三角形相似”证明两三角形相似
【例1】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，．
（1）在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）；
（2）证明：．
【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定，掌握作图方法是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可．
（2）先证，再结合即可证明结论．
（1）解：如图，以为圆心，任意长为半径化弧，分别交，于，，
然后分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，作射线交于，
即为所求；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【变式1】（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，利用相似三角形的判定方法即可解答本题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决此题的关键．
解：∵，
∴，
∴，
∴当，或时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，．
（1）求证：；
（2）如果 ，则=________度．
【答案】(1)见解析；(2)70
【分析】（1）先证明，再证明即可；
（2）作交延长线于点G，得平行四边形，利用等腰三角形转化角即可完成证明．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：如图：作交延长线于点G，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．故答案为：70．
【点拨】本题主要考查了相似的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，其中添加辅助线是解决问题的关键．
【题型2】利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”进行证明
【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，且，，求证：．
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，，
再证明即可．
证明：，且，，
，
，且，
，
，
，
又∵，
【变式1】（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
解：∵平分，
∴，
当时，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
【变式2】（21-22九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．
证明：∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【题型3】利用“三边对应成比例，两三角形相似”进行证明
【例3】（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上
（1）求证：
（2）的的面积比为________．
【答案】(1)见解析；(2)，见解析．
【分析】（1）根据勾股定理求得两三角形三边长，按大小边顺序，求出两三角形对应三边比，根据“两三角形三边对应成比例，两三角形相似”得证．
（2）根据相似三角形性质“面积比等于相似比的平方”求解．
（1）解：由图知，，，，，，，
∴，，；
∴
∴
（2）解：∵
∴的的面积比为，即．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键．
【变式1】（2023·辽宁抚顺·三模）如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）
【答案】
【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于的三边之比就是与相似的三角形．
解：∵的三边之比是，
的三边之比是
的三边之比是，
的三边之比是．
∴与相似，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·广西百色·期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号）
① ② ③ ④
【答案】①②③
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键．
解：∵，
∴
即：
①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）；
④，不能判定；
故答案为：①②③
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
【例2】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明．
解：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
又，
．
2、拓展延伸
【例1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，在中，为上一点，且满足．
（1）求证：；
（2）当时，，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得，再结合可得，然后结合运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；
（2）先根据直角三角形的性质可得，再根据平行线的性质、等量代换可得，即是的角平分线、，进而说明，最后根据角平分线的判定定理即可解答．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：作 于 H．
∵，，
∴，
∵，
∴ ，
∵
∴，即是的角平分线，
∴，
∵
∴,
∵是的角平分线，，，
∴．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、30度所对的直角边等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．
【例2】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
【答案】(1)见解析；(2)或
【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论；
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可．
（1）证明：∵，，，
，
；
（2）解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
由勾股定理得：，
①当时，
，
，
，
，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上，
此情况不符合题意．
②当时，如图，
，
由（1）可知：，，
∴，
，
；
③当时，，
∵
是等腰三角形，，即，
．
综上，或．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．专题4.9 探索三角形相似的条件（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】相似三角形
【要点说明】
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即对应的点写在应对的位置上
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
【知识点二】相似三角形的判定定理
1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
【要点说明】此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
【要点说明】要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
【知识点三】相似三角形的常见图形及其变换：
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用“两角对应相等，两三角形相似”证明两三角形相似
【例1】（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，．
（1）在图中作出的内角平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）；
（2）证明：．
【变式1】（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．（写出一个即可）
【变式2】（22-23九年级上·山东青岛·期中）如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，．
（1）求证：；
（2）如果 ，则=________度．
【题型2】利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”进行证明
【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，，且，，求证：．
【变式1】（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，．
【变式2】（21-22九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：．
【题型3】利用“三边对应成比例，两三角形相似”进行证明
【例3】（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上
（1）求证：
（2）的的面积比为________．
【变式1】（2023·辽宁抚顺·三模）如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）
【变式2】（23-24九年级上·广西百色·期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号）
① ② ③ ④
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【例2】（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
2、拓展延伸
【例1】（22-23七年级上·全国·单元测试）如图，在中，为上一点，且满足．
（1）求证：；
（2）当时，，，求的长．
【例2】（2020九年级·全国·专题练习）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
