专题4.8 相似多边形（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·新疆克孜勒苏·二模）下列哪组图形是相似图形（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形
3．（2024·天津红桥·一模）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知五边形五边形，且，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
5．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形；再连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形依次类推，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西晋中·模拟预测）如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·安徽六安·模拟预测）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ．
12．（23-24九年级上·山西晋中·期末）小明和妹妹为家人制作亲子T恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面积为，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，则妈妈T恤上矩形的面积为 ．
13．（2022九年级上·浙江·专题练习）将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形 （填写“不相似”或“相似”）．
14．（2021·四川成都·三模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°），则BD长 cm．
15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知矩形中，，在BC上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，则 ．
16．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．
17．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
18．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，……，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形．
(1)______． (2)求的值．
20．（8分）（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长．
21．（10分）（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
22．（10分）（22-23九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2．
(1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长；
(2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积．
23．（10分）（2021九年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
24．（12分）（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案：1．C
【分析】本题考查了相似图形的判定，属于简单题，熟悉相似图形的定义是解题关键．
【详解】解：A、图形不是相似图形；
B、图形不是相似图形；
C、图形是相似图形；
D、图形不是相似图形；
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可．
【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意．
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；
D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故选C．
3．A
【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可．
【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵五边形五边形，
∴，
∴或（舍去），
∵，
∴，
故选A．
5．B
【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解．
【详解】因为两个图形相似：
解得：
A选项正确，不符合题意；
B选项错误，符合题意；
C选项正确，不符合题意；
，
D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质；根据性质求出对应边和对应角是解题的关键．
6．D
【分析】根据，设，则，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算即可，本题考查了勾股定理，多边形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵正方形与正方形，
∴两个正方形相似，
∴正方形与正方形的面积之比为,
根据，设，
∴，
∴正方形与正方形的面积之比为,
故选D．
7．A
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例得到，即，设，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
∴，
设，
∴，即，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
故选A．
8．A
【分析】本题考查的是相似多边形的性质、图形的变化规律，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答．
【详解】解：矩形的面积，
由勾股定理得，，
则矩形与矩形的相似比为，
∵矩形矩形，
∴矩形的面积，
同理，矩形的面积
矩形的面积，
……
则矩形的面积为，
故答案为：A．
9．B
【分析】证明四边形是正方形，，进而可得阴影部分面积等于正方形的面积，根据相似图形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过作于点，于点，则四边形是矩形，
∵四边形是正方形，点在的对角线上，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴ 阴影部分面积等于正方形的面积，
又∵正方形与正方形相似，，
∴,
∴阴影部分面积与正方形的面积比，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似图形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．C
【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可．
【详解】如图，设．
根据题意，，
∴，
∵，
∴，
∵剩下的平行四边形与原来相似，
∴对应边成比例，
分两种情况讨论：
①，
∴，
设，分子分母同时除以，得：，
解得：；
②，
∴，
设，则：，
解得：，
两个答案都满足，
综上：的相邻两边与的比值是或；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
11．10
【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，
∴，解得：．
故答案为：10 ．
【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．
12．200
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意可知多边形的相似比为1:2，则面积比为1:4，据此解题即可．
【详解】解：由已知，每件T恤上的矩形都是相似的，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的相似比为，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的面积比为，
∵妹妹T恤上矩形的面积为，
∴妈妈T恤上矩形的面积为，
故答案为：200．
13．不相似
【分析】根据矩形的性质得出角对应相等，但是两矩形的对应边的比不相等，即可得出答案．
【详解】理由是：根据题意得：新矩形的边长为5、5、7、7，
∵原矩形的边长为3、3、5、5，
∴两矩形的对应边的比不相等，
∴两矩形不相似，
故答案为：不相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，矩形的性质的应用，能理解相似多边形的判定定理是解此题的关键．
14．2
【分析】已知△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．
【详解】解：将△ABC作旋转相似变换A（，90°），则cm，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中的旋转相似是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
整理得，，
∴（负值舍去），
由题意得，，
故答案为：．
16．100
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【详解】∵四边形四边形，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关舞是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．
17．
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案．
【详解】解：设，，则，
即，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即原矩形的较长边与较短边的比值是．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律.
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为，
∴矩形的面积和矩形的面积的比,
故答案为：.
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，关键是熟知相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
（1）先利用相似多边形的对应角相等得到，，再利用四边形的内角和为求解即可；
（2）根据相似多边形对应边成比例求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形四边形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形四边形，
∴，即，
解得．
20．，
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得．
【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是，
，
∵，，
，
解得，．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似多边形的性质
（1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可．
（2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可．
【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，
∴、纸的长与宽对应比成比例，得，
∴；
（2）∵纸的周长为286厘米，；
∴纸的周长．
22．(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可；
（2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形与矩形相似，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵，，
∴，
∴矩形的面积．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
23．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明四边形ABEF是菱形即可；
（2）根据相似列出比例式求解即可．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC；
(2)∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝6.
∵四边形ABCD与CEFD相似，
∴＝，即＝.
解得,BC＝3±3．
∵BC＞0，
∴BC＝
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算．
24．（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．
【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．专题4.8 相似多边形（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·新疆克孜勒苏·二模）下列哪组图形是相似图形（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形
3．（2024·天津红桥·一模）若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）已知五边形五边形，且，若，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
5．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，且，则正方形与正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形；再连接，以对角线为边，按顺时针方向作矩形的相似矩形依次类推，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西晋中·模拟预测）如图，正方形，点在对角线上，，分别交、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·安徽六安·模拟预测）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ．
12．（23-24九年级上·山西晋中·期末）小明和妹妹为家人制作亲子T恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面积为，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，则妈妈T恤上矩形的面积为 ．
13．（2022九年级上·浙江·专题练习）将邻边为3和5的矩形按如图的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形 （填写“不相似”或“相似”）．
14．（2021·四川成都·三模）在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应的线段的比值为k，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转变化的图形变换叫做旋转相似变换（k，θ），O为旋转相似中心，k为相似比，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变化A（，90°），则BD长 cm．
15．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知矩形中，，在BC上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的F点，若四边形与矩形相似，则 ．
16．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形四边形，若，，则的度数为 ．
17．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
18．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；……按照此规律作下去．若矩形ABCD的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，……，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形．
(1)______． (2)求的值．
20．（8分）（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长．
21．（10分）（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形．
(1)求的值．
(2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长．
22．（10分）（22-23九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2．
(1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长；
(2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积．
23．（10分）（2021九年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
24．（12分）（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．
（2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了相似图形的判定，属于简单题，熟悉相似图形的定义是解题关键．
【详解】解：A、图形不是相似图形；
B、图形不是相似图形；
C、图形是相似图形；
D、图形不是相似图形；
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可．
【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意．
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；
D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故选C．
3．A
【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可．
【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵五边形五边形，
∴，
∴或（舍去），
∵，
∴，
故选A．
5．B
【分析】由相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解．
【详解】因为两个图形相似：
解得：
A选项正确，不符合题意；
B选项错误，符合题意；
C选项正确，不符合题意；
，
D选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质；根据性质求出对应边和对应角是解题的关键．
6．D
【分析】根据，设，则，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算即可，本题考查了勾股定理，多边形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵正方形与正方形，
∴两个正方形相似，
∴正方形与正方形的面积之比为,
根据，设，
∴，
∴正方形与正方形的面积之比为,
故选D．
7．A
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例得到，即，设，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
∴，
设，
∴，即，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，
∴，
故选A．
8．A
【分析】本题考查的是相似多边形的性质、图形的变化规律，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答．
【详解】解：矩形的面积，
由勾股定理得，，
则矩形与矩形的相似比为，
∵矩形矩形，
∴矩形的面积，
同理，矩形的面积
矩形的面积，
……
则矩形的面积为，
故答案为：A．
9．B
【分析】证明四边形是正方形，，进而可得阴影部分面积等于正方形的面积，根据相似图形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过作于点，于点，则四边形是矩形，
∵四边形是正方形，点在的对角线上，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴ 阴影部分面积等于正方形的面积，
又∵正方形与正方形相似，，
∴,
∴阴影部分面积与正方形的面积比，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似图形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．C
【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可．
【详解】如图，设．
根据题意，，
∴，
∵，
∴，
∵剩下的平行四边形与原来相似，
∴对应边成比例，
分两种情况讨论：
①，
∴，
设，分子分母同时除以，得：，
解得：；
②，
∴，
设，则：，
解得：，
两个答案都满足，
综上：的相邻两边与的比值是或；
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
11．10
【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．
【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，
∴，解得：．
故答案为：10 ．
【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．
12．200
【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意可知多边形的相似比为1:2，则面积比为1:4，据此解题即可．
【详解】解：由已知，每件T恤上的矩形都是相似的，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的相似比为，
∴妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的面积比为，
∵妹妹T恤上矩形的面积为，
∴妈妈T恤上矩形的面积为，
故答案为：200．
13．不相似
【分析】根据矩形的性质得出角对应相等，但是两矩形的对应边的比不相等，即可得出答案．
【详解】理由是：根据题意得：新矩形的边长为5、5、7、7，
∵原矩形的边长为3、3、5、5，
∴两矩形的对应边的比不相等，
∴两矩形不相似，
故答案为：不相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，矩形的性质的应用，能理解相似多边形的判定定理是解此题的关键．
14．2
【分析】已知△ABC旋转相似变换A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD＝90°，利用勾股定理可求出BD的值．
【详解】解：将△ABC作旋转相似变换A（，90°），则cm，∠BAD=90°，
由勾股定理得：BD＝＝2（cm）．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的性质及勾股定理，理解题目中的旋转相似是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵矩形与矩形相似，
∴，即，
整理得，，
∴（负值舍去），
由题意得，，
故答案为：．
16．100
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【详解】∵四边形四边形，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】考查了相似多边形的性质，解题的关舞是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．
17．
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案．
【详解】解：设，，则，
即，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即原矩形的较长边与较短边的比值是．
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质.解题的关键是根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律.
【详解】∵四边形是矩形，
，
，
∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，
∴矩形的边长和矩形的边长的比为，
∴矩形的面积和矩形的面积的比,
故答案为：.
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查相似多边形的性质，关键是熟知相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
（1）先利用相似多边形的对应角相等得到，，再利用四边形的内角和为求解即可；
（2）根据相似多边形对应边成比例求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形四边形，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形四边形，
∴，即，
解得．
20．，
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得．
【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是，
，
∵，，
，
解得，．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了相似多边形的性质
（1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可．
（2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可．
【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，
∴、纸的长与宽对应比成比例，得，
∴；
（2）∵纸的周长为286厘米，；
∴纸的周长．
22．(1)
(2)2
【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可；
（2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形与矩形相似，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵，，
∴，
∴矩形的面积．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．
23．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明四边形ABEF是菱形即可；
（2）根据相似列出比例式求解即可．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC；
(2)∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝6.
∵四边形ABCD与CEFD相似，
∴＝，即＝.
解得,BC＝3±3．
∵BC＞0，
∴BC＝
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算．
24．（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54
【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确；
（2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积．
【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确．
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为：9×12＝54．
【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
