专题4.7 相似多边形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】相似图形
把形状相同的图形叫做相似图形.相似图形之间的互相变换称为相似变换.
如图（1）（2）
图1 图2
【要点说明】
（1）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；
（2）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.
【知识点二】相似多边形的性质
1.相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形；
2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比；
3.性质
(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似多边形对应对角线的比等于相似比；
(3)相似多边形周长的比等于相似比；
(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方.
【知识点三】相似多边形的判定
如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形相似.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】相似图形的认识
【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
【答案】与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可．
解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨．
【变式1】（23-24九年级上·广西北海·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断．
解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似；
故选：D．
【变式2】（22-23九年级下·江苏南京·期中）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．
【答案】
【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可．
解：如图：，，令，
设，则老师在黑板上写的文字大小为，
∵，
∴，
解得：，
∴老师在黑板上写的文字大小为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解．
【题型2】相似多边形
【例2】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．
【答案】运动或能使矩形与矩形相似，证明见解析
【分析】设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可．
解：设运动时间能使矩形与矩形相似，
由题意或，
解得：或．
当时，，
∵，
又∵与都是矩形，
∴矩形与矩形相似．
同理可证当时矩形与矩形相似．
【点拨】本题考查了相似多边形的判定，进行分类讨论是解题的关键．
【变式1】（2024·四川德阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
【答案】D
【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．
解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意；
C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式2】（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）．
【答案】/
【分析】连接，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出，最后根据勾股定理求解即可．
解：连接，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵菱形与菱形相似，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
即，解得：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等．
【题型3】相似多边形的性质
【例3】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2)
【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
【点拨】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．
【变式1】（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质是解题关键．表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
解：设原来矩形的长为，宽为，
则对折后的矩形的长为，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴，
解得，
∴．
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案．
解：设，，则，
即，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即原矩形的较长边与较短边的比值是．
故答案为：．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
解：，由折叠可得：，，
∵矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
【例2】（2015·四川成都·中考真题）已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形， ，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________．
【答案】（3n－1，0）．
【详解】试题分析：∵菱形的边长为2，=60°，∴=2，∴=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵=1，∴=，∴=3，点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0），
同理可得：
点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0），
点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0），
………
∴点An的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）．
考点：1．相似多边形；2．菱形的性质；3．规律型．
2、拓展延伸
【例1】如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ 的值为定值 ．
上述结论中正确的个数为 （ ） 个．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可以判断①正确；根据△DCB∽△ECF可以判断②正确；根据△EDC∽△EHG得，由AB=DC可知③错误；根据△DEH∽△DBA求出故④正确．
【详解】作 ，连接 ．
设运动时间为 ．
四边形 是矩形，，，
，
，，
，
，
，故①正确，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③错误，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上所述，①②④正确．
故选C.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，综合性较强，利用同角的余角相等证明角相等是解题的关键．
【例2】（2019·四川内江·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则 ．
【答案】．
【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答
【详解】设，则，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
，
∵，，
∴，
，
∴，
故答案为．
【点拨】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形专题4.7 相似多边形（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】相似图形
把形状相同的图形叫做相似图形.相似图形之间的互相变换称为相似变换.
如图（1）（2）
图1 图2
【要点说明】
（1）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同；
（2）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.
【知识点二】相似多边形的性质
1.相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形；
2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比；
3.性质
(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似多边形对应对角线的比等于相似比；
(3)相似多边形周长的比等于相似比；
(4)相似多边形面积的比等于相似比的平方.
【知识点三】相似多边形的判定
如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，那么这两个多边形相似.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】相似图形的认识
【例1】（23-24九年级下·全国·课后作业）观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
【变式1】（23-24九年级上·广西北海·期末）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级下·江苏南京·期中）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．
【题型2】相似多边形
【例2】如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．
【变式1】（2024·四川德阳·一模）下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似
【变式2】（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是 ．（用a的代数式表示）．
【题型3】相似多边形的性质
【例3】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．
(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．
【变式1】（23-24九年级上·上海金山·期末）将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是( )
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2015·四川成都·中考真题）已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形， ，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________．
2、拓展延伸
【例1】如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ 的值为定值 ．
上述结论中正确的个数为 （ ） 个．
A． B． C． D．
【例2】（2019·四川内江·中考真题）如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则 ．
