专题4.6 平行线分线段成比例（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·浙江衢州·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，与的垂线相交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级下·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（ ）．
A．5 B． C． D．
6．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中， 平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧交于点、 ；第二步，过 、 两点作直线，分别交、 于点 、；第三步， 连接、 ．若， ， ，则的长是（ ）
A．12 B．11 C．13 D．10
7．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，，，，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·陕西宝鸡·三模）如图，点是菱形边的中点，点在边上，连接，过点作交对角线于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2023·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，过点C作交于点E，连接，，若，则的长度是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
10．（22-23九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ．
12．（2024·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ．
13．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ．
14．（23-24九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ．
15．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，点C在x轴上，交y轴于M，，已知，点A的横坐标为，则B的坐标为 ．
16．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，，，则的长为 ．
17．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．
18．（23-24九年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024·浙江温州·二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，且，．
（1）求证：．
（2）延长交于点G，当，时，求的值．
20．（8分）（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
21．（10分）（2024·云南昆明·三模）如图，在等腰中，，点D是中点，交于点E，交于点F，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
22．（10分）（2024·北京朝阳·一模）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系．
23．（10分）（2024九年级下·全国·专题练习）已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）．
（1）求的长；
（2）擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）．
①若M是的中点，求的长；
②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
24．（12分）（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，．
（1）如图1，已知．
①求证：；
②若，求的值；
（2）如图2，若，，，求的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，将代入，即可求出的长．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．弄清楚对应线段是解题的关键．
【详解】，
，
，
，
，
解得
故选：C．
2．B
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．
【详解】解：过点D作，交于H，
则，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
3．A
【分析】过点作于点，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，
∵，，，
∴，，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
故选：A．
【点拨】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查的是平行线，全等三角形．熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，是解决问题的关键．
先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案．
【详解】如图，设与的交点为G，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键．
过A点作于点N，交于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得，进而可得，再利用勾股定理可得，结合三角形的面积即可求解．
【详解】过A点作于点N，交于点M，如图，
∵在矩形中，，
∴，，
∵直线且相邻两直线间距离相等，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可．
【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先证明，得出，即可得，，再根据，可得．
【详解】∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
8．C
【分析】由菱形的性质得，，再证是中位线，得，然后证是的中位线，得，即可得出结论．
【详解】解：四边形是菱形，，
，，
是菱形边的中点，，
∴
是的中点，
是中位线，
，
，
，
，
，
∴
是的中点，
是的中位线，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查了菱形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
9．B
【分析】延长交于点P，先说明，利用全等三角形的性质说明，再利用平行线分线段成比例定理说明是中位线，利用中位线的性质得结论．
【详解】解：延长交于点P．
∵，
∴．
在和中
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴是的中位线．
∴．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形的全等，掌握全等三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、三角形的中位线定理等知识点是解决本题的关键．
10．D
【分析】在上截取，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，，当共线时四边形的周长最小，根据相似比即可解得．
【详解】解：在上截取，作点D关于x轴的对称轴的对称点，连接，，
∴，，
∵，，
∴ 四边形是平行四边形，
∴，
∵为定值，
∴当共线时四边形的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴点E的坐标为．
【点拨】此题考查了轴对称的最值问题，解题的关键是根据题目要做出辅助线构造出最短路径．
11．/0.5
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．首先解得的值，再结合，由求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题．
【详解】解：作于点，
于E，
，
，
点D为边的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
13．/0.5
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可．
【详解】解：如图，过点作交于点．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】连接，，交于点M，利用轴对称图形和菱形对角线互相垂直平分的性质可知，再由平行线分线段成比例可得F是中点，E是中点，于是是的中位线，因此，在中利用勾股定理求得即可；
【详解】解：如下图，连接，，交于点M，
由折叠的性质可知垂直平分，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴，
∴，
∵M是中点，，
由平行线分线段成比例可知，
∴F是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵菱形的每一条对角线平分一组对角，，
∴，
中，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
【点拨】本题考查了轴对称图形的性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线和勾股定理等知识；综合性较强，利用菱形对角线的性质作辅助线是解题关键．
15．
【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的基础．过点A作轴于D，过点B作轴于E，根据判定，得到，根据已知条件求出，，2，再根据平行线分线段成比例定理得到，即可得解点B的坐标．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于D，过点B作轴于E，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，点A的横坐标为，
∴，，
∴2，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】由题目条件可证是的中位线，可得，由勾股定理可得，进而解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵点O是的中点，
∴
∴是的中位线，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的判定与性质，平行线分线段成比例，证明是的中位线是本题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了平行线平行线分线段成比例定理，同时也利用了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，如图，延长交于G，首先利用已知条件证明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出．
【详解】解：如图，延长交于G
，
∵E为的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∵E，F分别为边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．
【分析】过点作交于点，证明，得出，进而根据角平分线的性质，等面积法得出，进而得出是的中位线，是的中位线，在中，得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交于点，
∵，
∴
∵是的角平分线，
∴，
又∵
∴
∴，
又∵是的中线，
∴，则，
∵是的角平分线，设到的距离为，设到的距离为，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴是的中位线，
∴
又∵
∴
∴是的中位线，
∵
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，中位线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、平行线分线段定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得，然后根据证明三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得，进而得到，根据平行线等分线段定理可得，再根据可得，最后代入比例式即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：.
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证；
（2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质：
（1）证明四边形是平行四边形，再证明，可得四边形是菱形；
（2）证明，再根据菱形的性质求解即可
【详解】（1）证明：，
即，
四边形是平行四边形 ，
是等腰三角形，且点D是中点，
平分（等腰△三线合一），
，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：是等腰三角形，且点D是中点，
，
，
，
，
，
点D是中点，
点E是中点，
，
菱形，
，
，
22．(1)图见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意连线即可；
（2）连接，与相交于点，根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的的判定和性质可得，根据平行线的判定得出，根据平行线分线段成比例定理即可证明；
（3）根据勾股定理可得，根据等边三角形的性质可得，根据锐角三角函数可求得，推得，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
（2）证明：连接，与相交于点，如图：
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵在菱形中，，
∴，，，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵，，
∴，
在中，，
∵是等边三角形，，
∴，
，
∴，
则，
则，
∴，
即．
【点拨】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是根据全等三角形的性质和平行线的判定推得．
23．(1)10
(2)①；②不发生变化，长度为
【分析】（1）设，根据折叠可得，，利用勾股定理，在中，，即，即可解答；
（2）①过点A作于点G，根据勾股定理求出的长，由，所以，在中，由，，所以，根据M是的中点，所以H是的中点，根据中位线的性质得到；
②作，交于点Q，求出，，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，最后代入即可得出线段的长度不变．
【详解】（1）解：设，则，，
在中，，
即，
解得：，
即．
（2）解：①如图2，过点A作于点G，
由（1）中的结论可得：，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵M是的中点，
∴
∴H是的中点，
∴．
②当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化；
作，交于点Q，如图3，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴．
∴，
∴．
∴当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为．
【点拨】此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等三角形．
24．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解；
（2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解．
【详解】（1）解：过作于，交于，如图：
①证明：设，
，
，
，，
，
，
；
②解：，为中点，
，
，
，
；
（2）解：延长至，使得，连接，如图：
，，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，即，，
，
，
．
在直角中．，
．
【点拨】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键．专题4.6 平行线分线段成比例（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023·浙江衢州·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，与的垂线相交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级下·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（ ）．
A．5 B． C． D．
6．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中， 平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、为圆心， 以大于 的长为半径作弧， 两弧交于点、 ；第二步，过 、 两点作直线，分别交、 于点 、；第三步， 连接、 ．若， ， ，则的长是（ ）
A．12 B．11 C．13 D．10
7．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，，，，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·陕西宝鸡·三模）如图，点是菱形边的中点，点在边上，连接，过点作交对角线于点，交于点．若，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2023·山东淄博·一模）如图，在四边形中，，过点C作交于点E，连接，，若，则的长度是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
10．（22-23九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为，，线段在边上移动，保持，当四边形的周长最小时，点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·辽宁营口·一模）在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ．
12．（2024·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ．
13．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ．
14．（23-24九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ．
15．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，点C在x轴上，交y轴于M，，已知，点A的横坐标为，则B的坐标为 ．
16．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，，，则的长为 ．
17．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．
18．（23-24九年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024·浙江温州·二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，且，．
（1）求证：．
（2）延长交于点G，当，时，求的值．
20．（8分）（2024·浙江温州·一模）如图，在中，平分交于点，为边上一点，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
21．（10分）（2024·云南昆明·三模）如图，在等腰中，，点D是中点，交于点E，交于点F，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
22．（10分）（2024·北京朝阳·一模）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系．
23．（10分）（2024九年级下·全国·专题练习）已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）．
（1）求的长；
（2）擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）．
①若M是的中点，求的长；
②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
24．（12分）（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，．
（1）如图1，已知．
①求证：；
②若，求的值；
（2）如图2，若，，，求的值．
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