第2章 一元二次方程（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
5．在面积等于的所有矩形卡片中，周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足，那么的值为（ ）
A．1或 B．或2 C． D．
7．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．21 C．15或21 D．19
8．如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．一元二次方程的根是 ．
12．方程较大的根为，的小数部分为，则 ．
13．已知，则的值是 ．
14．在中，，，，则 ．
15．设是方程的两实数根，则 ．
16．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为 ．
17．定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解：
①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即；
②第二步，解整式方程，即；
③检验，是原方程的解．
仿照上述过程，可求出方程的解为 ．
18．某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路．
（1）若，则草坪总面积为 平方米．
（2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解方程：
（1）解一元二次方程：； （2）解方程：．
20．（8分）在中，，的长恰好是一元二次方程的一个实数根，求该三角形的面积．
21．（10分）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
22．（10分）某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示．
（1）求与函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？
23．（10分）阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将变形为，
．
．
．
．
或．
原方程有三个根：，，．
②换元法求解特殊的四次方程：
设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）；
②（换元法）；
【拓展延伸】
（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．
24．（12分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．
（1）点A坐标为________，线段__________．
（2）当矩形的面积为时，求P点的坐标．
（3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程，
∴且，
解得，
故选：．
2．B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的解题步骤变形后即可得到答案．
【详解】解：、∵，
∴，故本选项错误；
、∵，
∴，故本选项正确；
、∵，
∴，故本选项错误；
、∵，
∴，故本选项错误；
故选：．
3．A
【分析】本题考查了点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式．熟练掌握点坐标的特征，不等式的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由点在第二象限，可得，则，由，可得，然后判断作答即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键．
由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，即，
解得，，即，
∴，即，
解得，，，
∴方程一定有实数根，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，设矩形的长为，周长为，则宽为，可得，由求出的求值范围即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键．
【详解】解：设矩形的长为，周长为，则宽为，
则，
整理得，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴周长不可能是，
故选：．
6．C
【分析】此题考查了解分式方程，令，原方程变为，解得或，
进一步分两种情况进行求解即可．
【详解】解：令，则，
则原方程可化为，
解得或．
当时，方程，即，
∵，
∴分式方程无解；
当时，方程，即，
∴，
经检验是分式方程的解，
综上可知，的值为．
故选：C
7．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键．根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，求得三角形周长即可．
【详解】解；解二次方程，
，
，，
∵第三边的长为二次方程的一个根，
∴第三边为4或10，
∵三角形两边长分别为2和9，
∴第三边，即第三边，
∴第三边为10，
∴三角形的周长为，
故选∶B．
8．D
【分析】本题考查解一元二次方程，用数轴表示实数，先求出方程的两个根，再根据根的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴它们在数轴上的对应点的位置可以是D；
故选D．
9．A
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，多项式的次数和项数，根据多项式的次数和项数，求出的值，根据方程的解，得到，根的判别式，求出的取值范围，进行求出的最小值即可．
【详解】解：∵是四次三项式，
∴，解得：，
∴方程，转化为：，
∵方程有实数根，
∴，，
∴，，
∴；
故选A．
10．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键．
根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案．
【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8，
∴图2是，
即的几何解法，
故选：C．
11．，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，选择适合的方法可以简便运算；
运用因式分解解一元二次方程即可；
【详解】解：
移项：
提公因式：
或
或
故答案为：，
12．
【分析】本题考查解一元二次方程，无理数的估算，代入求值，先解方程求出x的值，确定a，b得值，然后代入计算即可．
【详解】解：解方程得，（舍去），
∵，
∴小数部分为，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，令，可得，由得到，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键．
【详解】解：令，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
14．或
【分析】本题主要考查勾股定理、一元二次方程的解法；如图，过点作于点，由题意可设，则有，然后根据勾股定理可得，进而求出或，最后分类求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
设，
则，
在中，由可得，
解得
当，即时，；
当，即时，；
的长度为或，
故答案为：1或7．
15．7
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
根据一元二次方程的解可得，根据根与系数的关系可得，再将化简即可求解．
【详解】解：∵是方程的两实数根，
∴，，即，
∴
，
故答案为：7．
16．
【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得．
∴菱形的边长
．
【点拨】本题考查了菱形的性质，根与系数关系定理，方程组，勾股定理，熟练掌握根与系数关系定理，方程组，勾股定理是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键．
按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可，
【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程
即 ，
解整式方程得，，
将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意，
即是原方程的解，
故答案为．
18． 30 1
【分析】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程．
（1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可；
（2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽．
【详解】解：（1）由图可得，
草坪的总面积是，
当时，
，
即时，草坪总面积为30平方米，
故答案为：30；
（2）由图可得，
草坪的总面积是，
路的总面积是，
∵草坪总面积恰好等于小路总面积，
，
解得(舍去)，
即此时的路宽为1米，
故答案为：1．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）先移项，再利用公式法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
整理得：，
，，，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
或，
解得，．
20．或
【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．由，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】解：，
，
解得：，，
如图①，当时，则三角形是等腰三角形：，，是高，，，
；
如图②，当时， ，，，
，
是直角三角形，，
该三角形的面积是：或．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得：；
（2）解：∵方程有两个实数根，，且，
，，，
，即，
平方得：，
整理得：，
解得：
22．(1)；
(2)商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可；
（1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点，，从而可以求出函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
则，
解得，，
即与函数关系式是；
（2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，设销售单价应定为元/千克，
，
解得，或，
又，
解得，，
故，
即商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为元．
23．（1）①，，；②，；（2）
【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可；
（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．
【详解】（1）①将变形为，
∴，
∴，
∴，
.
或.
解方程得.
解方程得，，
∴原方程的根为：，，；
②，
设，则，方程变形为，
∴，
解得：，
当，时，无实根，舍去，
当，时，解得或；
∴原方程有两个根：，；
（2）解：方程的解为：，
由于，
∴，
，
，，
，
当时，
原式
．
24．(1)；4
(2)点的坐标为，或，．
(3)点的坐标为，即．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点、的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出线段的长度；
（2）由点在线段上可设出点的坐标，再利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式，代入求出值，将其代入点坐标中即可得出结论；
（3）假设存在，根据菱形的性质可得出为等腰三角形，结合的度数即可得出为等边三角形，进而可得出点的坐标，再根据菱形的性质分别以、、为对角线找出点的坐标，此题得解．
【详解】（1）当时，，
；
当时，，
，．
．
故答案为：；4．
（2）设点的坐标为，，
．
当时，有，
解得：，．
点的坐标为，或，．
（3）假设存在．
以点，，，为顶点的四边形为菱形，
为等腰三角形，
，，，
，
为等边三角形．
点为线段的中点，
点．
以点，，，为顶点的四边形为菱形分三种情况（如图所示）
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即；
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即；
以线段为对角线时，
，，，
点的坐标为，即．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、矩形的面积、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点、的坐标；（2）利用矩形的面积公式找出与之间的函数关系式；（3）分以、和为对角线三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标是关键．第2章 一元二次方程（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a、b、c为常数，点在第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（ ）
A． B． C． D．
5．在面积等于的所有矩形卡片中，周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数满足，那么的值为（ ）
A．1或 B．或2 C． D．
7．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．15 B．21 C．15或21 D．19
8．如图，数轴上点表示方程的两个根，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．一元二次方程的根是 ．
12．方程较大的根为，的小数部分为，则 ．
13．已知，则的值是 ．
14．在中，，，，则 ．
15．设是方程的两实数根，则 ．
16．若关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个菱形的两条对角线长，且该菱形的面积为11，则菱形的边长为 ．
17．定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解：
①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即；
②第二步，解整式方程，即；
③检验，是原方程的解．
仿照上述过程，可求出方程的解为 ．
18．某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路．
（1）若，则草坪总面积为 平方米．
（2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）解方程：
（1）解一元二次方程：； （2）解方程：．
20．（8分）在中，，的长恰好是一元二次方程的一个实数根，求该三角形的面积．
21．（10分）已知关于的方程．
（1）取什么值时，方程有两个实数根．
（2）如果方程有两个实数根，，且，求的值．
22．（10分）某商店以元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售（元/千克）之间函数关系如图所示．
（1）求与函数关系式；
（2）商店想在销售成本不超过元的情况下，使销售利润达到元，销售单价应定为多少？
23．（10分）阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将变形为，
．
．
．
．
或．
原方程有三个根：，，．
②换元法求解特殊的四次方程：
设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）；
②（换元法）；
【拓展延伸】
（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．
24．（12分）如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足分别为、．
（1）点A坐标为________，线段__________．
（2）当矩形的面积为时，求P点的坐标．
（3）平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．
试卷第1页，共3页
