第4章 图形的相似（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，若，，则等于（ ）
A． B．3 C． D．4
3．如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是1，则与之间的距离是（ ）
A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
4．如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
6．如图， ，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则( )
A． B． C． D．
8．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，，P为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若点C是线段的一个黄金分割点，，且，则 （结果保留根号）．
12．如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ．
13．如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为当时，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ．
15．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．
16．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点，连接，若，，则 ．
17．如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为 ．
18．如图，正方形中，，点P为射线上任意一点（与点B、C不重合），连接，在的右侧作正方形，连接．交射线于E．当长为1时，的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长．
20．（8分）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
21．（10分）如图，四边形中，，，点M在线段上，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
22．（10分）在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．
（1）求出的取值范围；
（2）当时，，两点之间的距离是多少？
（3）当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
23．（10分）如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．
①设的度数为，求的度数：
②猜想与之间的数量关系，并证明．
24．（12分）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：；
【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值；
【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长．
试卷第1页，共3页第4章 图形的相似（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，若，，则等于（ ）
A． B．3 C． D．4
3．如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是1，则与之间的距离是（ ）
A．2 B．1.4 C．3 D．2.4
4．如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
6．如图， ，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，射线和线段互相垂直，为线段上一点，点在射线上，且，作，并截取，连接并延长交射线于点，设，，则( )
A． B． C． D．
8．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，，，P为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若点C是线段的一个黄金分割点，，且，则 （结果保留根号）．
12．如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ．
13．如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为当时，则 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ．
15．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．
16．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点，连接，若，，则 ．
17．如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为 ．
18．如图，正方形中，，点P为射线上任意一点（与点B、C不重合），连接，在的右侧作正方形，连接．交射线于E．当长为1时，的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长．
20．（8分）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
21．（10分）如图，四边形中，，，点M在线段上，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
22．（10分）在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．
（1）求出的取值范围；
（2）当时，，两点之间的距离是多少？
（3）当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
23．（10分）如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．
①设的度数为，求的度数：
②猜想与之间的数量关系，并证明．
24．（12分）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：；
【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值；
【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出，代入所求式子中，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到的关系，再根据可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．B
【分析】由题意直接根据三角形的面积和点到直线的距离进行分析解答即可．
【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，
∴点A到BC的距离，
∵DE∥BC，
∴DE与BC的距离是.
故选：B.
【点拨】本题主要考查点到直线的距离，解答此题的关键是掌握三角形的面积公式．
4．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断A、B选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断C选项，从而解题．
【详解】解：A、，，
，不符合题意；
B、，，
，不符合题意；
C、，
，
，
，不符合题意；
D、，，
无法证明，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识．作于点，交于点，则，，所以，，再证明，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，交于点，
∴，
∵，
，
，
，，且，，
，
，，
∵，
，
，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选C．
7．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
即
整理得：．
故选：A．
8．A
【分析】依据翻折变换的性质得到DE＝CE、CF＝DF；设AD＝2k，则DB＝3k；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．
【详解】解：设AD＝2k，则DB＝3k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA＋∠FDB＝120°，
又∵∠EDA＋∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折叠得CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k，
∴△AED与△BDF的相似比为7：8，
∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．
故选：A．
【点拨】主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比，学会根据条件用字母表示相应的线段长度．
9．D
【分析】根据勾股定理求出，记与的交点为O，由平行四边形的性质可得，，当最小时，最小；过O作，证得，从而利用相似三角形的性质求出的长，即可得到的最小值．
【详解】解：∵，，，，
∴在中，，
记与的交点为O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴当最小时，最小，
过O作，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的最小值为．
故选：D
【点拨】本题考查了勾股定理的运用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形．
10．A
【分析】过点作于点，由角平分线的性质结合正方形的性质易得，为等腰直角三角形，于是设，则 ，，进而，，再利用，由等角的余角相等得到，以此，利用相似三角形的对应边成比例列出等式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵平分，，，
∴，
由，，得为等腰直角三角形，
∴，
设，
则 ，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：．
故选：A．
【点拨】本题主要考查正方形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据角平分线的性质正确表示出、的长是解题关键．
11．/
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值”，结合题意列方程解题即可．
【详解】解：设，则，
根据黄金分割点的定义得到，
解得，（舍去），
∴，
故答案为．
12．
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【详解】，
设，则，，
四边形与矩形相似，
，则，
解得，（不合题意舍去），
经检验是原方程的解．
故答案为：．
13．2
【分析】根据，可得出，故，再由相似三角形的性质可得出的长，进而可得出结论．
【详解】解：，，，，
，
∴，
，即．
解得，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键．
14．
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键．
根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵将放大后得到．点，
∴与的相似比为，
∵，
∴，
∴点的坐标是，
∵与的相似比为，
则与的面积比是，
故答案为：；．
15．/
【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：过点B作交于H，
∴
∴，
∵，E是边上的中点，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，即
∴,
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查了基本作图，三角形的面积公式和相似三角形的判定和性质．先由作图得出平分，垂直平分，再根据三角形的面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：由作图得：平分，垂直平分，
，，
在中，，，，
，
，
，
，
，，
，则，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．/
【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形中位线的判定与性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，则，根据勾股定理求出，根据线段的和差求解即可．
【详解】解：过点作于点，交于点，
，，
，
∴H是的中点，
，，
，
∴，
∴，
∴F是的中点，
是的中位线，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
18．或
【分析】由题可分两种情况，当交点在线段上时，或当交点在线段延长线上时，分别将绕点顺时针旋转，可判定全等三角形，用勾股定理求出对应边的长度即可．
【详解】解：分两种情况：
（1）当交点在线段上时，
四边形为正方形，
将绕点顺时针旋转，如图1所示，与重合，且，，三点共线，
四边形是正方形，
，
，
由旋转可得，
，
，
连接，
在和中，
，
，
，
设，
正方形边长，，
，，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
（2）当交点在线段延长线上时，
同理旋转到，如图2所示，可得，
同理可证，
，
设，
正方形边长，，
，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
，，
，
，
即，
解得：；
综上所述：或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，利用旋转图形证三角形全等，根据勾股定理和相似图形求出对应线段的长度是解题的关键，本题难点在于利用旋转构造全等三角形．
19．,
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键．
先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
20．(1)米
(2)变短了，变短了米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
（1）通过证明，得出，即可解答；
（2）通过证明，得出，求出，即可解答．
【详解】（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，由得，而，所以，则，则四边形是矩形；
（2）由，，，根据勾股定理求得，再证明，则，求得．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
交的延长线于点，
，
，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
的长是．
【点拨】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)为或
【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键．注意相似有两种情况，考虑要周到．
（1）分别求出点P、Q在各自边上运动的时间范围，即可确定t的范围；
（2）当时，可分别求得的长度，由勾股定理即可求得P，Q两点之间的距离；
（3）分两种情况：；，利用相似三角形的性质即可求得t的值．
【详解】（1）解：由运动知，，．
∵，点P在线段上运动，
∴，
∴．
∵，点Q在线段上运动，
∴，
∴，
∴．
（2）当时，，，
在中，根据勾股定理，得．
（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且，
∴①当时，
∴，
∴，
∴．
②当时，
∴，
∴，
∴．
综上，当t为或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似．
23．（1）见解析；（2）①；②．证明见解析．
【分析】（1）作，垂足为，得∠NHB=90°，由四边形ABCD为正方形，可得∠B=∠NAB=90°，可证四边形ABHN为矩形，可证即可；
（2）①，由点与点关于直线对称，与四边形是正方形，可得，，，在等腰中，，由外角性质；
②.连接，，由对称性可知，，由勾股定理，，可证，可得．
【详解】证明：（1）作，垂足为，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠NAB=90°，∠NHB=90°，
∴∠B=∠NAB=∠NHB=90°，
∴四边形ABHN为矩形，
∴，
，
，又，
，
，
；
（2）①.
点与点关于直线对称，且四边形是正方形，
，，
，
在等腰中，，
又，
；
②.
证明：连接，，
由对称性可知，
即是等腰直角三角形，
∴FC，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
，
，
又，
，
，
．
【点拨】本题考查正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质．
24．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证；
（2）证明，利用线段比等于相似比即可求得；
（3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB．
【详解】解：（1）如图，∵，，，
∴，且，
∴，
∴，
∴
（2）如图2，连接BD，
∵，，
∴
在正方形ABCD中，，
∴，，
，
∴；
（3）如图，过点作，交于点，连接
又
即
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键．
